中考数学二轮复习：几何计算题选讲

1 / 8 中考数学二轮复习：几何计算题选讲 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址八几何计算题选讲 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例 1如图，在矩形 ABcD中，以边 AB为直径的半圆 o 恰与对边 cD相切于 T，与对角线 Ac交于 P， PEAB 于 E， AB=10，求 PE的长 . 解法一：（几何法）连结 oT，则 oTcD ，且 oT=AB 5 Bc=oT=5,Ac= Bc 是 o 切线， Bc2=cPcA. Pc= ， AP=cA -cP=. PEBc ， PE=5=4. 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件 . 解法二：（代数法） PEBc ， . 2 / 8 设： PE=x，则 AE=2x， EB=10 2x. 连结 PB.AB 是直径， APB=900. 在 RtAPB 中， PEAB ， PBEAPE. .EP=2EB ，即 x=2（ 10 2x） . 解得 x=4.PE=4. 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系 . 解法三：（三角法） 连结 PB，则 BPAc. 设 PAB= 在 RtAPB 中， AP=10coS ， 在 RtAPE 中， PE=APsin,PE=10sincoS. 在 RtABc 中 ,Bc=5,Ac=.sin=, coS=.PE=10=4. 说明：在几何计算中，必须注意以下几点： （ 1）注意 “ 数形结合 ” ，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系 . （ 2）注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化 . （ 3）注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用 . 二 .其他题型举例 3 / 8 例 2.如图， ABcD 是边长为 2a 的正方形， AB 为半圆 o 的直径， cE切 o 于 E，与 BA的延长线交于 F，求 EF 的长 . 分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相 似三角形性质、以及正方形有关性质 .本题可用代数法求解 . 解：连结 oE， cE 切 o 于 E， oEcFEFoBFc ， ，又 oE=AB=Bc ， EF=FB 设 EF=x，则 FB=2x， FA=2x 2a FE 切 o 于 EFE2=FAFB ， x2= （ 2x 2a）2x 解得 x=a， EF=a. 例 3已知：如图， o1 与 o2 相交于点 A、 B，且点 o1在o2 上，连心线 o1o2交 o1 于点 c、 D，交 o2 于点 E，过点 c 作 cFcE ，交 EA的延长线于点 F，若 DE=2， AE= （ 1）求证： EF 是 o1 的切线； （ 2）求线段 cF的长； （ 3）求 tanDAE 的值 . 分析：（ 1）连结 o1A， o1E 是 o2 的直径， o1AEF ，从而知 EF是 o1 的切线 . （ 2）由已知条件 DE=2， AE=，且 EA、 EDc 分别是 o1 的切线和割线，运用切割线定理 EA2=EDEc，可求得 Ec=10.由 cFcE ，可得 cF是 o1 的切线，从而 Fc=FA.在 RtEFc4 / 8 中，设 cF=x，则 FE=x+.又 cE=10，由勾股定理可得：（ x+）2=x2+102，解得 x=.即 cF=. （ 3）要求 tanDAE 的值，通常有两种方法： 构造含 DAE的直角三角形； 把求 tanDAE 的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化） .在求正切值时，又有两种方法可供选择： 分别求出两线段（对边和邻边）的值； 整体求出两线段（对边和邻边）的比值 . 解：（ 1）连结 o1A， o1E 是 o2 的直径， o1AEF EF 是 o1 的切线 . （ 2） DE=2 ， AE=，且 EA、 EDc分别是 o1 的切线和割线 EA2=EDEc ， Ec=10 由 cFcE ，可得 cF是 o1 的切线，从 而 Fc=FA.在 RtEFc中，设 cF=x，则 FE=x+.又 cE=10，由勾股定理可得：（ x+）2=x2+102，解得 x=.即 cF=. （ 3）解法一：（构造含 DAE 的直角三角形） 作 DGAE 于 G，求 AG和 DG的值 .分析已知条件，在 RtAo1E中，三边长都已知或可求（ o1A=4， o1E=6），又 DE=2，且 DGAo1（因为 DGAE ），运用平行分线段成比例可求得 DG=从而tanDAE=. 解法二：（等角转化） 连结 Ac，由 EA 是 o1 的切线知 DAE=AcD. 只需求5 / 8 tanAcD. 易得 c AD=900，所以只需求的值即可 .观察和分析图形，可得 ADEcAE ， .从而 tanAcD= ，即 tanDAE=. 说明：（ 1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性 .如本题（ 2）求 cF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出 cE的长 . （ 2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握 . 例 4.如图，已知矩形 ABcD，以 A 为圆心， AD为半径的圆交Ac、 AB于 m、 E， cE的延长线交 A 于 F， cm=2， AB=4. （ 1）求 A 的半径； （ 2）求 cF的长和 AFc 的面积 . 解：（ 1） 四边形 ABcD是矩形， cD=AB=4 ，在 RtAcD 中，Ac2=cD2+AD2， （ 2+AD） 2=42+AD2，解得 AD=3. （ 2） A 作 AGEF 于 G.BG=3 ， BE=ABAE=1 ， cE= 由 cEcF=cD2 ，得 cF=. 又 B=AGE=900 ，BEc=GEA ， BcEGAE. ，即 SAFc=cFAG=. 例 5.如图， ABc 内接于 o ， Bc=4， SABc= ， B 为锐角，且关于 x 的方程 x2 4xcosB+1=0 有两个相等的实数根 .D 是劣弧 Ac上的任一点（点 D 不与点 A、 c 重合）， DE 平分 ADc ，交 o 于点 E，交 Ac于点 F. （ 1）求 B 的度数； （ 2）求 cE的长 . 6 / 8 分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化 . 解：（ 1） 关于 x 的方程 x2 4xcosB+1=0 有两个相等的实数根， = （ -4cosB） 2-4=0.cosB= ，或 cosB=-（舍去） . 又 B 为锐角， B=600. （ 2 ）点 A 作 AHBc ， 垂 足 为ABc=Bc• ;AH=BcABsin600= ，解得AB=6 在 RtABH 中， BH=ABcos600=6=3 ，AH=ABsin600=6 ， cH=Bc -BH=4-3=1.在 RtAcH中， Ac2+cH2=27+1=28.Ac= （负值舍去） .Ac=. 连结 AE，在圆内接四边形 ABcD中， B+ADc=1800 ， ADc=1200.又 DE 平分 ADc ， EDc=600=EAc. 又AEc=B=600 ， AEc=EAc ， cE=Ac=. 例 6.已知：如图， o 的半径为 r， cE 切 o 于点 c，且与弦 AB的延长线交于点 E， cDAB 于 D.如果 cE=2BE，且 Ac、Bc 的长是关于 x 的方程 x2 3（ r 2） x+r2 4=0 的两个实数根 .求（ 1） Ac、 Bc的长；（ 2） cD的长 . 分析：（ 1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得EcBEAc ， Ac=2Bc.又 Ac 、 Bc 是方程的两根，由根与7 / 8 系数关系可列出关于 Ac、 Bc 的方程组求解 .（ 2） cD 是RtcDB 的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应 .若过 c作直径 cF，连结 AF，则 RtcDBRtc AF，据此可列式计算 . 解：（ 1） cE 切 o 于 c， EcB=A. 又 E 是公共角，EcBEAc ， Ac=2Bc. 由 Ac、 Bc 的长是关于 x 的方程 x2 3（ r 2） x+r2 4=0的两个实数根， Ac+Bc=3 （ r-2）；AcBc=r2-4，解得 r=6， Bc=4 ， Ac=8. （ 2） co 并延长交 o 于 F，连结 AF，则 cAF=900 ，cFA=cBD.cDB=900=cAF ， cAFcDB ， .cD=. 说明：（ 1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角 形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（ 2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试 . 例 7.如图， ABc 内接于 o ， AB 是 o 的直径， PA 是过 A点的直线， PAc=B. （ 1）求证： PA 是 o 的切线； （ 2）如果弦 cD 交 AB 于 E， cD 的延长线交 PA 于 F，Ac=cEEB=65 ， AEEB=23 ，求 AB 的长和 FcB 的正切值 . 解：（ 1） AB 是 o 的直径， AcB=900.cAB+B=900 ，又 PAc=B ， cAB+PAc=900. 即 PA AB， PA 是 o8 / 8 的切线 . （ 2）设 cE=6a,AE=2x,则 ED=5a， EB=3x. 由相交弦定理，得 2x3x=5a6ax=a.