2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题六 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系限时训练 理.doc

第2讲直线与圆锥曲线的位置关系 (限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,4圆锥曲线的弦长问题2,5,6中点弦问题6轨迹方程7综合问题3一、选择题1.(2018广东珠海九月摸底)已知抛物线C:y2=4x,过点P(-2,0)作直线l与C交于A,B两点,直线l的斜率为k,则k的取值范围是(A)(A)(-22,0)(0,22)(B)-22,22(C)(-22,22) (D)-22,0)(0,22解析:设直线l的方程为y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=4x,得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0,当k=0时,不合题意,当k0时,=16(k2-1)2-16k40,所以0k2b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为.解析:不妨设C与渐近线y=bax垂直,则直线l:y=-ab(x+c),由y=-ab(x+c),y=bax,得M(-a2c,-abc),由y=-ab(x+c),y=-bax,得N(-a2ca2-b2,abca2-b2),因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点,所以abca2-b2=-2abc,即c2=-2(a2-b2),所以a2+b2=-2a2+2b2,所以a2b2=13,故双曲线的渐近线方程为y=33x.答案:y=33x三、解答题4.(2018珠海二模)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F(0,1).(1)求p的值;(2)过F的直线l交抛物线C于点A,B,以AB为直径的圆交x轴于点M,N,设AB中点为Q,求QMN的最小值,并求此时直线l的方程.解:(1)因为抛物线的焦点为F(0,1),所以p2=1,即p=2.(2)由(1)可知抛物线C:x2=4y,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以AB的中点Q为(2k,2k2+1),所以|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,在等腰三角形QMN中,QMN为锐角,sinQMN=2k2+12k2+2=1-12k2+21-12=12,所以QMN的最小值为6,此时k=0,即直线l的方程为y=1.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点为A,右顶点为B,离心率e=32.抛物线E:y=x28的焦点为F,P是抛物线E上一点,抛物线E在点P处的切线为l,且lAB.(1)求直线l的方程;(2)若l与椭圆C相交于M,N两点,且SFMN=5314,求椭圆C的标准方程.解:(1)因为e2=1-b2a2=34,所以ba=12,所以kAB=12,又lAB,所以直线l的斜率为12.设P(t,t28),由y=x28得y=x4,因为过点P的直线l与抛物线E相切,所以t4=12,解得t=2,所以P(2,12),所以直线l的方程为x-2y-1=0.(2)法一设M(x1,y1),N(x2,y2),由x24b2+y2b2=1,x-2y-1=0,得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=1-4b22,易知=4-8(1-4b2)0,解得b218,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=8b2-1.l:x-2y-1=0中,令x=0得y=-12,则l交y轴于点D(0,-12),又抛物线焦点为F(0,2),所以|FD|=2+12=52,所以SFMN=12|FD|x1-x2|=12528b2-1=5314,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为x216+y24=1.法二设M(x1,y1),N(x2,y2),由x24b2+y2b2=1,x-2y-1=0,得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=1-4b22,易知=4-8(1-4b2)0,解得b218,所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=8b2-1.|MN|=1+14|x1-x2|=528b2-1,l:x-2y-1=0,抛物线焦点为F(0,2),则点F到直线l的距离d=|0-4-1|5=5,所以SFMN=12|MN|d=12528b2-15=5314,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为x216+y24=1.6.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以b2a2=12,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点的坐标为(3,0),故a2-b2=3,因此a2=6,b2=3,所以M的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33,或x=0,y=3.因此|AB|=463.由题意可设直线CD的方程为y=x+n(-533n0,得b22+2k2. 由根与系数的关系,得x1+x2=-2bk1+k2,x1x2=b2-21+k2.由k1k2=y1x1y2x2=kx1+bx1kx2+bx2=3,得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2,即(k2-3)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0, 将代入,整理得