九年级数学竞赛辅助圆辅导教学案

1 / 5 九年级数学竞赛辅助圆辅导教学案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 【例题求解】 【例 1】如图，直线 AB 和 Ac 与 o 分别相切于 B、 c， P 为圆上一点， P 到 AB、 Ac 的距离分别为 4cm、 6cm，那么 P 到Bc的距离为 (全国初中数学联赛题 ) 思路点拨连 DF， EF，寻找 PD、 PE、 PF 之间的关系，证明PDFPFE ，而发现 P、 D、 B、 F 与 P、 E、 c、 F 分别共圆，突破角是解题的关键 注：圆具有丰富的性质： (1)圆的对称性； (2)等圆或同圆中不同名称量 的转化； (3)与圆相关的角； (4)圆中比例线段 适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓 “ 图中无圆，心中有圆 ” 【例 2】如图，若 PA=PB， APB=2AcB ， Ac与 PB交于点 P，且 PB=4， PD=3，则 ADDc 等于 () A 6B 7c 12D 16 2 / 5 (“TI” 杯全国初中数学竞赛题 ) 思路点拨作出以 P 点为圆心、 PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件 注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上 ，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法 【例 3】如图，在 ABc 中， AB=Ac，任意延长 cA 到 P，再延长 AB 到 Q，使 AP=BQ，求证： ABc 的外心 o 与 A， P， Q四点共圆 思路点拨先作出 ABc 的外心 o，连 Po、 oQ，将问题转化为证明角相等 【例 4】如图， P 是 o 外一点， PA切 o 于 A， PBc是o 的割线， ADPo 于 D求证： 思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定PBD 与 PcD 相似证明 PA2=PDPo=PBPc，B、 c、 o、 D 共圆， 这样连 oB，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的 注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务 【例 5】如图，在 ABc 中，高 BE、 cF相交于 H，且 BHc=135 ，3 / 5 G 为 ABc 内的一点，且 GB=Gc， BGc 3A ，连结 HG，求证： HG平分 BHF 思路点拨经计算可得 A=45 ， ABE ， BFH 皆为等腰直角三角形，只需证 GHB=GHF= 由 BGc=3A=135=GHc ，得 B、 G、 H、 c 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明 注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解 学力训练 1如图，正方形 ABcD 的中心为 o，面积为 1989cm2， P 为正方形内一点，且 oPB=45 ， PA： PB=5： 14，则 PB 的长为 (北京市竞赛题 ) 2如图，在 ABc 中， AB=Ac=2， Bc 边上有 100个不同的点Pl、 P2， P100 ，记（ i=1， 2， 100 ），则 = 3设 ABc 三边上的高分别为 AD、 BE、 cF，且其垂心 H 不与任一顶点重合，则由点 A、 B、 c、 D、 E、 F、 H 中某四点可以确定的圆共有 () A 3 个 B 4 个 c 5 个 D 6 个 (2000年太原市竞赛题 ) 4 / 5 4如图，已知 oA=oB=oc，且 AoB=Boc ，则 AcB 是 BAc的 () A倍 B是倍 c D 5如图，在等腰梯形 ABcD中， ABcD ， AB=998， cD=1001，AD=1999，点 P 在线段 AD 上，满足条件的 BPc=90 的点 P的个数为 () A 0B 1c 21D不小于 3 的整数 (全国初中数学联赛题 ) 6如图， AD、 BE 是锐角三角形的两条高， SABc=18 ，SDEc=2 ，则 coSc等于 () A 3B c D 7如图；已知 H 是 ABc 三条高的交点，连结 DF， DE， EF，求证： H 是 DEF 的内心 8如图，已知 ABc 中， AH是高， AT是角平分线，且 TDAB ，TEAc 求证： (1)AHD=AHE ； (2)(陕西省竞赛题 ) 9如图，已知在凸四边形 ABcDE 中， BAE=3 ， Bc=cD=DE，且 BcD=cDE= 求证： BAc=cAD=DAk ， 5 / 5 (全国初中数学联赛题 ) 10如图， P 是 o 外一点， PA 和 PB 是 o 的切线， A， B为切点， Po 与 AB 交于点 m，过 m 任作 o 的弦 cD求