二项式定理_1

1 / 55 二项式定理 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 二项式定理 1 1掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题 2理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题 3理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题 4掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题 排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数 原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯 “ 重复 ” 或 “ 遗漏 ” 的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题 2 / 55 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当另外利用二项式定理及二项式 系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现 第 1 课时两个计数原理 1分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N种不同的方法 2分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法， ，做 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N种不同的方法 3解题 方法：枚举法、插空法、隔板法 例 1.高三 (1)、 (2)、 (3)班分别有学生 48,50,52 人 (1)从中选 1 人当学生代表的方法有多少种？ (2)从每班选 1 人组成演讲队的方法有多少种？ (3)从这 150名学生中选 4 人参加学代会有多少种方法？ (4)从这 150名学生中选 4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？ 3 / 55 解：（ 1） 48 50 52 150 种（ 2） 485052 124800 种（ 3）（ 4） 变式训练 1：在直角坐标 x o y 平面上，平行直线 x=n，（ n=0， 1， 2， 3， 4， 5）， y=n，（ n=0， 1， 2， 3， 4， 5），组成的图形中，矩形共有（） A、 25个 B、 36个 c、 100个 D、 225个 解：在垂直于 x 轴的 6 条直线中任意取 2 条，在垂直于 y 轴的 6 条直线中任意取 2 条，这样的 4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道： 得到的矩形共有个，故选 D。 例 2.(1)将 5 封信投入 6 个信箱，有多少种不同的投法？ (2)设 I 1,2,3,4,5,6， A 与 B 都是 I 的子集， AB 1,3,5，则称 (A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？ (3)随着电讯事 业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来 7 位电话号码升为 8 位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？ (电话号码首位不为 0) 解：（ 1） 65（ 2） 27（ 3）电话号码首位不为 0： 9107 9106 107 变式训练 2：一个圆分成 6 个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑 6 种颜色。 请问： 6 个小扇形分别着上 6 种颜色有多少种不同的着色方法 ? 4 / 55 从这 6 种颜色中任选 5 种着色 ,但相邻两个扇形不能着相同的颜色 ,则有 多少种不同的着色方法 ? 解： 6 个小扇形分别着上 6 种不同的颜色 ,共有种着色方法 . 6 个扇形从 6 种颜色中任选 5 种着色共有种不同的方法 ;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有 ;因此满足条件的着色方法共有种着色方法 . 例 3.如图 A， B， c， D 为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（） D A A、 8 种 B、 12种 c、 16种 D、 20种 Bc 解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有 =4种方法； 第二类：一个岛最多建设两座桥，例如： A B c D，D c B A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法； 根据分类计数原理知 道共有 4+12=16种方法 变式训练 3：某公司招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，5 / 55 另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案 解：用分步计数原理先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有 2(3 3)3 36种 例 4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则 单位时间传递的最大信息量是（） A、 26B、 24c、 20D、 19 3512 B46A 67612 8 解：要完成的这件事是： “ 从 A 向 B 传递信息 ” ，完成这件事有 4 类办法： 第一类： 1253 第二类： 1264 第三类： 1267 第四类；： 1286 可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是 3；第二类单位时间传递的最大信息量是 4； 6 / 55 第三类单位时间传递的最大信息量是 6；第四类单位时间传递的最大信息量是 6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选 D 变式训练 4： 7 个相同的小球，任 意放入 4 个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？ 解：首先要清楚： “ 每个盒子都不空 ” 的含义是 “ 每个盒子里至少有 1 个球 ” 。 于是，我们采用 “ 隔板法 ” 来解决。在 7 个小球中的每两个之间分别有 6 个空，我们从 6 个空中任意选 3 个分别插入 3块隔板，则这 3 块隔板就把 7 个小球分成 4 部分，而且每一部分至少有 1 个球。即有 =20 种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有 20种放球放法。 注；（ 1）本题若采取 “ 分类讨论 ” 的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。 （ 2）隔板法只能用于 “ 各个元素不加区别 ” 的情况，否则不能使用 两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成 第 2 课时排列 1一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素，7 / 55 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 排列的定义包含两个基本内容：一是 “ 取出元素 ” ；二是“ 按照一定顺序排列 ” 因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列 2从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素 的所有排列的个数，叫做从个为不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号Amn表示排列数公式 Amn 这里 mn ，其中等式的右边是个连续的自然数相乘，最大的是，最小的是 3 n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列，全排列数用 Ann表示，它等于自然数从 1 到n 的连乘积，自然数从 1 到 n 的连乘积叫做 n 的阶乘，用表示 4解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法 5排列问题常用框图来处理 例 1、 (1)元旦前 某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？ (2)同一排 6 张编号 1， 2， 3， 4， 5， 6 的电影票分给 4 人，8 / 55 每人至少 1 张，至多 2 张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？ （ 3）（ 06 湖南理 14）某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行那么安排这 6 项工程的不同排法有多少种数？ 解：（ 1）分类： 9 种 （ 2）假设五个连续空位为一个整元素 a，单独一 个空位为一个元素 b，另 4 人为四个元素 c1、 c2、 c3、 c4问题化为a,b,c1,c2,c3,c4 的排列，条件是 a,b不相邻，共有 48种； （ 3）将丙，丁看作一个元素，设想 5 个位置，只要其余 2项工程选择好位置，剩下 3 个位置按甲、乙（两丁）中唯一的，故有 20种 变式训练 1：有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分 ,将这 9 个球排成一列有 _种不同的方法 . 解： 9 个球排成一列有种排法 ,再除去 2 红、 3 黄、 4 白的顺序即可 , 故共有排法种。答案 :1260 例 2 5 男 4 女站成一排，分别指出满足下 列条件的排法种数 (1)甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种 (2)甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种 9 / 55 (3)甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种 (4)甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种 (5)5名男生站在一起， 4 名女生站在一起的排法有 种 (6)女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种 (7)甲与乙、丙都不相邻的排法有种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的 排法有种 (8)甲乙丙三人至少有 1 人在两端的排法有种 (9)甲乙之间有且只有 4 人的排法有种 解： (1)8！ ,88 ！ (2)28 ！ ,67 ！ (3)9 ！ ,1,21 (4)7!8 ！ 777 ！ (5)25 ！ 4 ！ (6)5！ ,5 ！ 4 ！ 2 (7)9！ 28 ！ 2 27 ！ ,36 ！ 2 (8)9！ 6 ！ (9)捆绑法 24 ！也可用枚举法 247 ！ 变式训练 2：从包含甲的若干名同学中选出 4 人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任 2 名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学10 / 55 竞赛，则共有 72 种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？ 解： 5 例 3.在 4000 到 7000 之间有多少个四个数字均不相同的偶数 解：分两类 类 5 在千位上： 15 280 类 4 或 6 在千位上： 24 448 故有 280 448 728个 变式训练 3： 3 张卡片的正反面上分别有数字 0 和 1， 3 和 4，5 和 6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（ 6 可做 9 用） 解：若 6 不能做 9 用，由于 0 不能排百位，此时有 542 40个这 40个三位数中含数字 6 的有 232 142 20个，故 6 可做 9 用时，可得三位数 40 20 60个 例 4.(1)从 6名短跑运动员中选 4人参加 4100 米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？ (2)一排长椅上共有 10个座位，现有 4 人就坐，恰有 5 个连续空位的坐法有多少种？ 解：（ 1） 先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有 5 300种 60 对 （ 2）假设五个连续空位为一个元素 A， B 为单独一个空位元素，另 4 个为元素 c1， c2， c3， c4 间题转化为 A， B， c1，11 / 55 c2， c3， c4排列，条件 A， B 不相邻，有 480种 . 变式训练 4：某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种（用数字作答） 解： 96 1解排列应用问题首先必须认真分析题意看能否把问题归结为排队（即排列）问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理（注意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等） 2解有约束条件的排列问题的几种策略 a.特殊元素，特殊位置优先定位（也有个别例外情况， 见例1） b.相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理 c.正难则反，等价转换 3解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法 4由于排列问题的结果一般数目较大不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同 第 3 课时组合 12 / 55 1一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mn) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 2排列与组合的共同点，就是都要 “ 从 n 个不同元 素中，任取个元素 ” ，而不同点就是前者要 “ 按一定的顺序成一列 ” ，而后者却是 “ 不论怎样的顺序并成一组 ” 从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 cmn表示 组合数公式 在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续个自然数之积，最大的数为，最小的数是，分母是，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式，它的分子是，分母是与的积 3组合数性质： 例 1.某培训班有学生 15名，其中正副班长各 一名，先选派13 / 55 5 名学生参加某种课外活动 . (1)如果班长和副班长必须在内有多少种选派法 . (2)如果班长和副班长有且只有 1 人在内有多少种派法 . (3)如果班长和副班长都不在内有多少种派法 . (4)如果班长和副班长至少有 1 人在内，有多少种派法 . 解； (1) 286(2) 1430(3) 1287 (4) 1716 变式训练 1：从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加某个座谈会，若这 4 个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（） A 140B 120 c 35D 34 解： D 例 2.从 4名男生和 3名女生中选出 3人 ,分别从事三项不同的工作 ,若这 3 人中至少有 1 名女生 ,则选派方案共有 () A、 108种 B、 186 种种 D、 270种 解：没有女生的选法有 ,至少有 1 名女生的选法有种 , 所以选派方案总共有： 31=186 种。故选 B. 变式训练 2：从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任 (每班一位班主任 )，要求这 3 位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（） A 210种 B 420 种 14 / 55 c 630种 D 840 种 解： B 例 3.(1)把 10 本相同的书分给编号 1,2,3 的阅览室，要 求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？ (2)以平行六面体 ABcD A1B1c1D21 的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？ (3)一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯 15 只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有 6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？ 解：（ 1）先在编号为 1， 2， 3 的阅览室中依次放入 0， 1， 2本书，再用隔板法分配剩下的书有 15 种，（ 2）平行六面体中能构成三角形个数 56为任取两个有种情况，其中共面的有 12，因而不共面的有 12种（ 3） 变式训练 3：马路上有编号为 1， 2， 3， 4.10 的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有 _种 . 解： 20用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有 615 / 55 个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的 3 个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有种关灯方法 例 4.四面体的顶点和各棱中点共有 10个点， (1)在其中取 4 个共面的点，共有多少种不同的取法？ (2)在其中取 4 个不共面的点，共有多少种不同的取法 解： (1)四个点共面的取法可分三类第一类：再同一个面上取，共有 4 个面；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有 6 个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的 4 个中点，共有 3 个面故有 69种 (2)用间接法共 141个面 变式训练 4：在 1， 2， 3100 这 100 个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法 (1)其和是 3 的倍数 (2)其差是 3 的倍数 (大数减小数 ). (3)相加，共有多少个不同的和 . (4)相乘，使其积为 7 的倍数 . 解： (1)1650(2)1617(3)197(4)1295 1解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题区别组合问题和排列问题的唯一标准是 “ 顺序 ” 需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题 16 / 55 2要注意准确理解 “ 有且仅有 ”“ 至多 ”“ 至少 ”“ 全是 ”“ 都不是 ”“ 不都是 ” 等词语的确切含义 3组合问题的一般可抽象为 “ 选派 ” 模型来处理另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。 4避免重复和遗漏 第 4 课时排列组合综合题 1解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想 . 2解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则 (1)按元素性质进行分类 (2)按事情发生的过程进行分步 . 3处理排列组合综合性问题时一般方法是先取 (选 )后排，但有时也可以边取 (选 )边排 . 4对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于 综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题 . 例 1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： （ 1）甲必须在排头； （ 2）甲必须在排头，并且乙在排尾； 17 / 55 （ 3）甲、乙必须在两端； （ 4）甲不在排头，并且乙不在排尾； （ 5）甲、乙不在两端； （ 6）甲在乙前； （ 7）甲在乙前，并且乙在丙前； （ 8）甲、乙相邻； （ 9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻； （ 10）甲、乙、丙不全相邻 解析：（ 1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排 “ 排头 ”有种，再排其它 4 个位置有种，所以共有 ： =24 种 （ 2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数： =6 种 （ 3）首先排两端有种，再排中间有种， 所以甲、乙必须在两端排法种数为： =12 种 （ 4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为： 2+=78种 （ 5）因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种， 所以甲、乙不在两端排法种数为 =36 种 （ 6）因为甲、乙共有 2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为： 2 ！ =60种 （ 7）因为甲、乙、丙共有 3！种顺序， 所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为： 3 ！ =20种 18 / 55 （ 8）把 甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为 =48 种 （ 9）首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生 3 个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这 3 个空中的两个有，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为 =24 种 （ 10）因为甲、乙、丙相邻有 ， 所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为 =84 种 变式训练 1：某栋楼从二楼到三楼共 10 级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则不同的上楼方法有（） A 45种 B 36种 c 28种 D 25种 解：步走 10 级，则其中有两步走两级，有 6 步走一级一步走两级记为 a，一步走一级记为 b，所求转化为 2 个 a 和 6个 b 排成一排，有多少种排法故上楼的方法有 c 28种；或用插排法 例 2.(1)某校从 8名教师中选派 4名教师同时去 4个远地区支教（每地 1 人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？ (2)5 名乒乓选手的球队中，有 2 名老队员和 3 名新队员，现从中选出 3 名队员排成 1、 2、 3 号参加团体比赛，则入选19 / 55 的 3 名队员中至少有一名老队员，且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有多少种？ 解：（ 1）分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有种 （ 2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有种 变式训练 2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是（） A 504B 210 c 336D 120 解： A 504故选 A 例 3.已知直线 ax+by+c=0 中的系数 a， b， c 是从集合 -3，-2， -1， 0， 1， 2， 3中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？ 解：首 先把决定 “ 直线条数 ” 的特征性质，转化为对 “a ， b，c” 的情况讨论。 设直线的倾斜角为，并且为锐角。 则 tan= 0,不妨设 a b,那么 b 0 当 c0 时 ,则 a 有 3 种取法 ,b 有 3 种取法 ,c 有 4 种取法 ,并且其中任意两条直线不重合 ,所以这样的直线有334=36 条 当 c=0 时 ,a 有 3 种取法 ,b 有 3 种取法 ,其中直20 / 55 线 :3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 重合 , 所以这样的直线有33 -2=7条 故符合条件的直线有 7+36=43条 变式训练 3：将 5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每 个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有 _种 . 解： 例 4.从集合 1， 2， 3， 20 中任选 3 个不同的数，使这3 个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？ 解： a， b， ca， b， c 成等差数列要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有 A A 180(个 ) 变式训练 4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得 3分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一球队打完 15 场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？ 解：设该队胜负平的情况是：胜 x 场，负 y 场，则平 15(x y)场， 依题意有： x9 。故有 3 种情况，即胜、负、平的场数是： 9， 0， 6； 10， 2， 3； 11， 4， 0 1排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解 . 2排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无21 / 55 序，这是一个核心问题 . 3对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解 . 第 5 课时二项式定理 1 (a b)n (nN) ，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式 ，其中的系数叫做二项式系数式中的叫做二项展开式的通项，用 Tr 1 表示，即通项公式 Tr 1是表示展开式的第 r 1 项 2二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项 “ 等距离 ” 的两项二项式系数相等，即： 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当 n 是偶数时， n+1 是奇数，展开式共有 n+1项，中间一项，即： 第项的二项式系数最大，为；当 n 是奇数时， n+1是偶数，展开式共有 n+1项，中间两项，即第项及 每项，它们的二项式系数最大，为 二 项 式 系 数 的 和 等 于 ，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是： 22 / 55 3二项式定理主要有以下应用 近似计算 解决有关整除或求余数问题 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为 “ 赋值法 ” ） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 杨辉三角形 例 1.(1)（ 06湖南理 11）若 (ax 1)5的展开式中 x3的系数是 80，则实 数 a 的值是 (2)（ 06 湖北文 8）在的展开式中， x 的幂指数是整数的有项 (3)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)6 展开式中 x2项的系数为 解：（ 1） 2（ 2） 5 项（ 3） 35 变式训练 1：若多项式 ,则 () A、 9B、 10c、 9D、 10 解：根据左边的系数为 1,易知，左边的系数为 0,右边的系数为 , 故选 D。 例 2.已知 f(x) (1+x)m+(1+x)n，其中 m、 nN 展开式中 x的一次项系数为 11，问 m、 n 为何值时，含 x3项的系数取得23 / 55 最小值？最小值是多少？ 由题意 ，则含 x3项的系数为 ，当 n 5 或 6 时 x3系数取得最小值为 30 变式训练 2：分已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ,其中 ,则展开式中常数项是 () A、 45iB、 45ic、 45D、 45 解析：第三项 ,第五项的系数分别为 , 依据题意有： , 整理得 即解方程 (n 10)(n 5) 0 则只有 n=10适合题意 .由 , 当时 ,有 r=8, 故常数项为 =45故选 D 例 3.若求（） +（） + （） 解：对于式子： 令 x=0，便得到： =1 令 x=1，得到 =1 又原式：（） +（） + + （） = 原式：（） +（） + （） =XX 注意： “ 二项式系数 ” 同二项式展开式中 “ 项的系数 ” 的区24 / 55 别与联系 变式训练 3：若，则 的值是（） A B 1 c 0D 2 解： A 例 4.已知二项式，（ nN ）的展开式中第 5 项的系数与第 3项的系数的 比是 10： 1， （ 1）求展开式中各项的系数和 （ 2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（ 1） 第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10： 1， ，解得 n=8 令 x=1得到展开式中各项的系数和为 (1-2)=1 (2)展开式 中第 r 项 ,第 r+1 项 ,第 r+2 项的系数绝对值分别为 , 若第 r+1项的系数绝对值最大 ,则必须满足： 并且 ，解得 5r6 ； 所以系数最大的项为 T=1792；二项式系数最大的项为T=1120 变式训练 4： 已知 ()n 的第 5 项的二项式系数与第三项的二项系数的比是 14:3，求展开式中不含 x 的项 . 25 / 55 求 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5 的展开式中 x2项的系数 . 解： 1注意 (a b)n及 (a b)n展开式中，通项公式分 别为及这里且展开式都有 n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题 2二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关 3应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍 4求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加 1 或减 1通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧 26 / 55 排 列组合二项式定理章节测试题 一、选择题： 1.的展开式中的系数为（） A 10B 5c D 1 123 312 231 2.将 1， 2， 3 填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（） A 6 种 B 12种 c 24种 D 48种 3.的展开式中的系数是（） A B c 3D 4 4.设则中奇数的个数为（） A 2B 3c 4D 5 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 () A B c D 6.某班级要从 4 名男士、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（） 27 / 55 7.从 5名男生和 5名女生中选 3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（） 8.某市拟从 4个重点项目和 6个一般项目中各选 2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 () A 15B 45c 60D 75 9.展开式中的常数项为（） A 1B c D 张卡片上分别写有数字 1， 2， 3， 4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（） A B c D 11.一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有（） A 24种 B 36种 c 48种 D 72种 12.在的展开式中，含的项的系数是（） （ A） -15（ B） 85（ c） -120（ D） 274 13.若 (x+)n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中 x4项的系数为（） 28 / 55 (A)6(B)7(c)8(D)9 二、填空题： 14.从 10名男同学， 6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的 3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种（用数字作答） 15.的展开式中常数项为；各项系数之和为（用数字作答） 16.（ x+） 9 展开式中 x2的系数是 .（用数字作答） 17.记的展开式中第 m 项的系数为，若，则 =_. 18.展开式中的常数项为 19.的展开式中的系数为 (用数字作答 ) 20.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别 由6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种（用数字作答） 21.展开式中的系数为 ¬_。 22.从甲、乙等 10名同学中挑选 4 名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有_种。 23.的二项展开式中的系数为（用数字作答） 24.有 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于29 / 55 10，则不同的排法共有种（用数字作答） 25.用 1， 2， 3， 4， 5， 6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答 ) 三、解答题 26由 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数字。 （ 1）能组成多少个无重复数字的四位数？ （ 2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （ 3）能组成多少个无重复数字且被 25个整除的四位数？ （ 4）组成无重复数字的四位数中比 4032大的数有多少个？ 27已知的展开式中前三项的系数成等差数列 （ 1）求 n 的值； （ 2）求展开式中系数最大的项 排列组合二项式定理章节测试题答案 一选择题： 30 / 55 二填空题： ， 32 31 / 55 三、解答题 26解：（ 1） (2) (3) (4) 27解：（ 1）由题设，得， 即，解得 n 8， n 1（舍去） （ 2）设第 r 1 的系数最大，则 即解得 r 2 或 r 3 所以系数最大的项为， 说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用 五年高考荟萃 XX年高考题 一、选择题 1.（ XX广东卷理） XX年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种种种种 32 / 55 【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法 36种，选 A. 2.（ XX 北京卷文）用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（） A 8B 24c 48D 120 【答案】 c .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识 .属于基础知识、基本运算的考查 . 2 和 4 排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个） .故选 c. 3（ XX北京卷理）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A 324B 328c 360D 648 【答案】 B 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识 .属于基础知识、基本运算的考查 . 首先应考虑 “0” 是特殊元素，当 0 排在末位时，有（个）， 当 0 不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个） .故选B. 4.（ XX全国卷 文）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，33 / 55 则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 （ A） 6 种（ B） 12种（ c） 24种（ D） 30种 答案： c 解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修 2 门的种数 =36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 =6，故只恰好有 1 门相同的选法有24种。 5.（ XX全国卷 理）甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (D) （ A） 150种（ B） 180种（ c） 300种 (D)345种 解 :分两类 (1)甲组中选出一名女生有种选法 ; (2)乙组中选出一名女生有种选法 .故共有 345种选法 .选 D 6.(XX 湖北卷理 )将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学 生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 【答案】 c 【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是 7.（ XX四川卷文） 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，34 / 55 若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 【答案】 B 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人 “ 捆 ” 在一起记作A，（ A 共有种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、 B 之间（若甲在 A、 B 两端。则为使 A、 B 不相邻，只有把男生乙排在 A、 B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 62 12种排法（ A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 124 48种不同排法 解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人 “ 捆 ” 在一起记作 A，（ A 共有种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生 A、 B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 =24种排法； 第二类： “ 捆绑 ”A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共有 12 种排法 第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间 “ 捆绑 ”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 12种排法 三类之和为 24 12 12 48种。 35 / 55 8.（ XX全国卷 理）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 种种种种 解：用间接法即可 .种 .故选 c 9.（ XX辽宁卷理）从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ A） 70种（ B） 80种（ c） 100种（ D） 140种 【解析】直接法：一男两女 ,有 c51c42 56 30 种 ,两男一女 ,有 c52c41 104 40种 ,共计 70种 间接法：任意选取 c93 84 种 ,其中都是男医生有 c53 10种 ,都是女医生有 c41 4 种 ,于是符合条件的有 84 10 4 70种 . 【答案】 A 10.（ XX湖北卷文）从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 种种种种 【答案】 c 【解析】 5 人中选 4 人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有 =60 种 ,故选 c 36 / 55 11.（ XX湖南卷文）某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B】 A 14B 16c 20D 48 解 :由间接法得，故选 B. 12.（ XX 全国卷 文）甲组有 5 名男同学、 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （ A） 150种（ B） 180种（ c） 300种（ D） 345种 【解析】本小题考查分类计算原理、 分步计数原理、组合等问题，基础题。 解：由题共有，故选择 D。 13.（ XX 四川卷文） 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 【答案】 B 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人 “ 捆 ” 在一起记作A，（ A 共有种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、 B 之间（若甲在 A、 B 两端。则为使 A、 B 不相邻，只有把男生乙排在 A、 B 之间，此37 / 55 时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 62 12种排法（ A 左 B 右和 A 右 B 左 ）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 124 48种不同排法 解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人 “ 捆 ” 在一起记作 A，（ A 共有种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生 A、 B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 =24种排法； 第二类： “ 捆绑 ”A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共有 12 种排法 第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间 “ 捆绑 ”A 和男生甲也只有一种排法 此时共有 12种排法 三类之和为 24 12 12 48种 14.（ XX陕西卷文）从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (A)432(B)288(c)216(D)108 网 答案 :c. 解析 :首先个位数字必须为奇数，从 1， 3， 5， 7 四个中选择一个有种，再丛剩余 3 个奇数中选择一个，从 2， 4， 6 三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。38 / 55 则共有故选 c. 15.(XX 湖南卷理 )从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不 同选法的种数位 c A85B56c49D28 【答案】： c 【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有 =7，所以共有42+7=49，即选 c 项 16.（ XX 四川