固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质

第三章晶格动力学和晶体的热性质,格波：有什么特点（与机械波比较）声学支、光学支：意义是什么布里渊区：为什么有这个概念,重点,难点,在第一章，假定原子在格点位置上静止不动。称其为平衡位置。实际上原子绕平衡位置附近振动。晶格振动对固体的热学、声学和光学性质有重要影响。包括金属的超导电性也与晶格振动相关。本章主要讨论晶格振动的描述格波,2,回忆、长波近似：弹性波,机械振动在介质中形成波（横波、纵波）当波长很长时，可以不考虑原子的性质，而把固体当作连续介质，相应的波称为弹性波（机械波）。满足连续性波动方程例：一维纵波方程：,3,你知道哪些？,取行波解:,对横波，这种色散关系也成立例：真空中的光,4,线性色散关系,线性色散关系对长波有效,我们将看到，当波长很短a时，与弹性波偏离增加，需考虑晶格的结构格波这是本章的重点,当减小时，晶格的不连续性变得更重要，原子开始对波产生散射，散射的结果是减小波速而阻碍波的传播这是本章的重点主要结论,5,3.1简正模和格波,一、微振动理论,例：单谐振子,7,一般的，晶体有N个原子，3N个自由度，对应3N个位移分量ui。引入约化坐标,两原子间势能:,取平衡位置附近：小振动:忽略高阶项,8,9,N个原子：,3N个耦合谐振子,10,处理这样的问题，有标准的线性代数方法：（1）求本征值,（2）坐标变换,Qi：简正坐标，它表示所有原子q以同样的频率振动，称为简正模（单模）,二、格波,可以证明，在某个简正模下，所有原子都以同样频率振动：,11,原子振动形成平面波，由于只在格点处有振动，称为格波,N个原子振动，等于3N个独立谐振子，等价于3N个独立的格波,3.2一维单原子链振动,一、运动方程及其解,本节从最简单的晶格模型一维单原子链出发，讨论格波的特点N个原子（相同）排在一直线上，间距为a，位移为ul,13,14,一般方法：,最近邻近似：,简单的：相邻原子间作用力：,第l个原子:,15,可以严格求解，设如下的“格波”形式解,A，为待定常数，带入方程得：,16,二、格波特性,1.色散关系,17,波的（群）速度：,波的速度与频率有关，且有周期性：,长波极限（连续介质）,18,这对应固体中的声，无色散,长波极限下：,19,短波极限下：,驻波，波速是0,布里渊区（BZ）*：由于周期性，q和q+Kh代表同一振动模（所有原子振动没有变化）所以q的取值限制在：,20,例：晶格对下面两种波的“感受”完全一样,3波恩冯卡门边界条件：,前面没有考虑边界效应，相当于无穷长链。有限长链考虑边界。驻波条件：假定两端不动，而中间原子振动。周期性边界：两端原子也振动，但假定右端和左端相连接，这相当于一个首尾连接的大圆环本书取第二种边界条件。由于宏观固体很大，边界效应不重要，采用两种边界条件都可以，周期性边界在数学上更简便。,21,加上边界条件后，解的形式不变，仅对波数q提出限制：,22,23,第一布里渊区共有N个振动模式,均匀分布。定义（态）波矢密度：单位波矢数内的模数,小结,一维单原子链（N）振动，有N个简正模，每个模是简谐格波：,24,q取决于边界条件：,25,26,取决于运动方程得到的色散关系：,波振幅A取决于能量,晶格中任意振动，可以分解为这些格波的线性叠加,单链的频率谱成为带，即有最低、最高频率,3.3一维双原子链振动,本节讨论最简单的复式晶格,模拟双原子分子,27,一、运动方程及其解,设有两种原子，m,M，各N个（N个原胞），晶格常数为a,28,在最近邻近似下，运动方程：,29,取行波解:只假设两种原子振幅不一样,振幅满足：,30,二、声学波和光学波,1.周期性与布里渊区,31,32,2.声学支,长波极限：q0，,色散关系是线性关系，故称为声学支元胞中两原子运动一致，像刚体分子一样，它们的质心振动和单原子链等价。,在布里渊区边界,重原子振动，轻原子不动这是驻波,33,34,3.光学支,长波极限：q0，,q0时，两种原子相对振动，保持质心不变,对离子晶体，这是两种离子的电偶极矩振荡，能够对+的红外光产生强烈共振吸收，所以称为光学支。,35,在布里渊区边界,重原子不动，轻原子振动这是驻波,36,采用周期性边界：,共N个q模，2N个模，与自由度一致，所以得到了全部振动模。,37,三、波恩冯卡门边界条件,小结,一维双原子链（N）振动，有N个独立波矢,38,每个波矢量q，有2个独立模，共有2N个独立模,39,晶格中任意振动，可以分解为这些格波的线性叠加,两种模分别形成两个带，带间有带隙,3.4三维晶格的振动格波量子声子,一、三维晶格的振动,三维情况可以以一维情况类似推得出一些结论，而不需严格求解系统：N=N1N2N3个元胞，每个元胞中有n个原子有N个独立波矢：,41,在q空间中是均匀分布的。每个点子占据的体积为：,42,每个q，有3n个独立模s，它们形成3个声学支，3-3光学支,43,也可以定义态密度：波矢空间中，单位体积元的模数,量子力学中，谐振子有分立的本征能量,44,二、量子理论声子,1.补充知识：谐振子量子理论,声子：简谐振动的量子（如同光子）声子可以产生，消失，对应于振子的激发声子遵从BoseEinstein统计（s=0)声子是系统原子激体振荡的效应,45,关于，有两种等价的观点：,1）激发态：谐振子处在第n个激发态2）声子：体系有n个声子,2.晶格振动量子理论等价于3nN个独立谐振子,46,用量子理论描述，每个模的本征能量：,等价地：晶格振动有3nN种声子,47,3.声子的统计理论,T=0K时，声子数n=0（谐振子处在基态）。T0K时，声子的数目在平均数上下变化。其中，有nqs个声子的概率：,配分函数,T0K时，平均声子数：,48,声子的能量,由于不同模是独立的，晶格振动的总声子平均数，总平均热激发能：,49,4.声子的准动量,声子是一种能量子，有粒子性，有能量，还有准动量：,电子、光子等与晶格振动的作用，可以描述为声子的吸收和发射。如光的散射过程：,3.7晶格振动比热容,晶体的比热包括：晶格热容，（价）电子热容。请回忆这两种热容,一、经典理论杜隆替定律,N个原子的振动分成3N个独立的振动自由度3N个谐振子，按经典统计，每个自由度的平均能量：,比热,51,与温度和材料无关，但实验上测定，当T0k时，C0,二、晶格比热量子理论,晶格比热,52,晶格振动的平均热能,53,要得到比热，必需先知道晶格振动的本征波矢，然后完成求和。困难在于，实际晶格的本征波矢q很难得到。,三、Einstein模型及其比热(1907),Einstein假设所有的原子以相同的频率0振动设：,定义:爱因斯坦温度,54,55,与经典值一致。原因：高温时，声子能量远小于热激发能kBT，近似为连续能级。,56,（1）高温极限：,（2）低温极限：,原因：T0时，振动被冻结在基态上，很难激发。,TE的值由实验数据拟合得到。大多数固体TE在100300K，金刚石为1320K。,57,成功：能够定性说明固体比热和温度的关系，特别是低温时趋于0。不足：在低温时，趋于0的速度过快原因：其假设过于简单，缺少低能声子爱因斯坦模型的实质：该模型的声子对应光学声子。,58,要得到比热的精确结果，需要完成求和。由于q在倒空间是准连续的，求和用积分代替：,四、声子态密度,波矢密度：在q空间单位体积元内的模式数,59,转换到对频率积分,声子态密度表示单位频率间隔内的模式数。约束条件：,60,推导,61,62,不同维度的表达：,例：爱因斯坦模型,五、德拜模型和德拜比热(1912),Debye考虑声子频率的分布。假设一：晶格振动为连续介质中的弹性波。有1个纵波，2个横波，满足色散关系：,63,假设二：有截止波矢，qqD的波不存在,对应的截止频率：,64,在截止频率内：,65,德拜态密度：,66,引入德拜温度：,德拜温度是未定参数，它可以（1）由平均速度定义；（2）与实验数据拟合。,成功：在低温时，较精确不足：温度较高时，德拜温度变化。该模型用弹性波假设，没有反映格波特性。,低温极限：,67,Einstein模型处理光学支比较合适Debye模型处理声学支比较合适,习题,3.1，3.2补充习题：证明：长波下单原子链运动方程为可化为连续介质弹性波动方程,68,复习思考题,什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一