热力学与统计物理学思考题及习题.pdf

热力学与统计物理学思考题及习 题 第一章 热力学的基本定律 1.1 基本概念 1 试求理想气体的定压膨胀系数 、定容压强系数 和等温压缩系数 。 2 假设压强不太高，1摩尔实际气体的状态方程可表为 , 式中 只是 温度的函数。求 和 ，并给出在 时的极限值。 3 设一理想弹性棒，其状态方程是 式中 是常数， 是张力 为零时 棒的长度，它只是温度 的函数。试证明： (1) 杨氏弹性模量 ； (2) 线膨胀系数 ，其中 ，A为弹性棒的横截 面积。 4 某固体的 ， ，其中 、 为常数，试用三种方法求其状态方程。 5 某种气体的 及 分别为： , ,其中 、 、 都是常数。求此气 体的状态方程。 6 某种气体的 及 分别为： ， 。其中 是常数。试证明： (1) ； (2) 该气体的状态方程为： 。 7 简单固体和液体的体胀系数 和压缩系数 的值都很小，在一定的温度范围内可以近似视为常数。试证明其状态方 程可表为： 。 8 磁体的磁化强度m是外磁场强度H和温度 的函数。对于理想磁体，从实验上测得： ， ， 。 其中 是居里常数。试证明其状态方程为：m = 。 9 求下列气态方程的第二、第三维里系数： (1) 范德瓦耳斯方程 ； (2) 克劳修斯方程 。 1.2 热力学第一定律 11摩尔范德瓦耳斯气体，在准静态等温过程中体积由 膨胀到 ，求气体所作的功。 2 某种磁性材料，总磁矩 与磁场强度 关系是 ，其中 是材料的体积， 为磁化率，在弱磁场中某一温度区域内 ， 为常数，现保持体积恒定，通过下列两个过程使 增加为 ： (1) 等温准静态地使 增加为 ； (2) 保持 恒定，使温度由 变为 。 试在 图上画出过程曲线，并确定环境所作的功。 3 理想气体经由图中所示两条路径 ； 准静态地由初态 变化 A(p1V1T1) B C(p2V2T2) D V p 到终态 ：试证明： (1) 内能 是状态的函数，与路径无关。 (2) 功和热量与过程有关。 题3图 4 小振幅纵波在理想气体中的传播速度为 , 为周围气压， 为相应气体的密 度。试导出： (1) 等温压缩及膨胀时气体中的声速； (2) 绝热压缩及膨胀时气体中的声速。 5 设理想气体的 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 和 关系。在这 个关系中用到一个函数 ，其表达式为 。 6 一固体的状态方程为 ，内能为 ，其中 都是常数，试计算 和 。 7 热容量为 （常数）、温度为 的物体作为可逆机的热源，由于热机吸热作功而使物体 的温度降低。设冷源的温度为 ，试求出当物体的温度由 下降到 的过程中所放出的热量有多少转换成机械功？不能作功的热量有多少？ 8 有一建筑物，其内温度为 ，现用理想热泵从温度为 的河水中吸取热量给建筑物供暖， 如果热泵的功率（即转换系数）为 ，建筑物的散热率为 ， 为常数。 (1) 求建筑物的平衡温度； (2) 如果把热泵换为一个功率为 的加热器直接对建筑物加热，说明为什么不如用热泵合算。 *9讨论以热辐射为工作物质的卡诺循环。辐射场的内能密度由斯忒藩 玻耳兹曼定律 给出，式中 为绝对温度， 为常数，辐射压强 由状态方程 给出。 1.3 热力学第二定律 1 从同样的 态到 态，若是可逆过程，则 ，若是不可逆过程，则 。有人认为上两式右端一样，但一个是等式，另一个是不等式，可见熵 与过程有关，或者说，仅在可逆过程中，熵是态函数。特别是 仅对可逆过程成立，所以熵不是态函数。这种认识对吗？为什么？ 2 已知态 的熵 小于态 的熵 ，由熵增加定理，这是否意味着由态 不可能通过 一个不可逆过程到达态 ？ 3 如图所示的循环过程，热机吸收热量多少？作功多少？效率多少？ 300 T 0 5000 1000 400 S A B C 题3图 4 在宇宙大爆炸理论中，初始局限于小区域内的辐射能量以球对称方 式绝热膨胀，随着膨 胀，辐射冷却。已知黑体辐射能密度 ，辐射压强 ，其中 为常数。设 时熵为零，求熵的表达式以及温度 与辐射球半径 的关系。 5 有 和 两个容器，每个容器内都包括含有 个相同的单原子分子理想气体温表，起 初这两个容器彼此绝热，两容器内气体的压强均为 ，温度分别为 和 。现将两个容器进行热接触，但各自的压强仍保持在 值不变，试求二者热平衡后整个系统的熵变量。 6 两部分完全相同的经典理想气体，具有相同的压强 和粒子数 ，但它们分别装在体 积为 和 容器中，温度分别为 和 。现将两容器接通，试求其熵的改变量。 7 两相同的理想气体，开始分别处于两个大小不同的容器中，它们具 有相同的温度 和相 同的粒子数 ，但具有不同的压强 和 。现将两个容器连通，使两个容器内的气体通过扩散达到平衡，在此过 程中系统与外界无热量交换也未作功，求其熵的改变量。 8 已知水的比热为 。 (1) 有 的水与 的大热源接触，当水温达到 后，水的熵改变了多少？热源的熵改变了多少？水与热源的总熵改变了 多少？ (2) 若 的水先与 的热源接触达到平衡，再与 的热源接触达到平衡，则整个系统的熵改变了多少？ (3) 若使整个系统的熵不变，水应如何从 变至 ？ 9 在1atm和略低于 的条件下，水的比热为 ，冰的比热为 ， 为摄氏温度，冰的熔解热为 。试计算温度为 的 过冷水变为 的冰后熵的改变量，并判定此过程能否自动进行。 10有两个相同的物体，其热容量为常数，初始温度为 。今让一致冷机在此两物体之间工作，使其中一个物体的温度降低到 为止。假设物体维持在定压下并且不发生相变，证明此过程所需的最小 功为 。 11有两个相同物体，初温各为 和 ，有一热机工作于此两物体之间，使两者温度变成相等，证明热机所能 作的最大功为 。 第二章 均匀闭系的热力学关系及其应用 2.1 均匀闭系的热力学关系 1. 试证明以下热力学关系，并思考其意义。 (1) ； ； 。 (2) ； ； 。 (3) ； 。 (4) 。 (5) ； ； 其中 ， 。 (6) 。 (7) ，并由此导出 。 (8) ； 2. 水的膨胀系数在0 之间为负值，当在此温度范围作可逆绝热膨胀时，温度升高还 是降低？ 3. 利用自由能 和吉布斯函数 的定义证明能态方程和焓态方程。 4. 某气体内能 ，其中 为正的常数。试求其状态方程并说明 ， 的物理意义。 5. 1摩尔气体的状态方程为 ，其中 是常数。在 时，其定容摩尔热容量 趋于常量 ，试计算其内能。 6. 试证明 摩尔理想气体从压强 等温降至压强 所作的最大功为 7. 试证明1摩尔范德瓦尔斯气体的绝热方程是 常数。 8. 试证明以 、V为自变量时， 是特性函数。 9. 已知某气体满足下列关系： ， 。其中 为常数， 只是 的函数，在低压下1摩尔气体的定压热容量为 ，试证明： (1) ；（2）状态方程为 ；（3） 。 2.2热力学关系的应用 1. 理想气体的 与压强有关吗？ 2. 范德瓦耳斯气体的 与体积有关吗？ 3. 试应用热力学第二定律证明：平衡辐射场的单色能量密度在辐射场 内到处均匀，且与腔 壁的材料及形状无关。 4. 要想利用焦尔汤姆逊效应冷却气体，试问可选取初始条件应该 是 大于 零、等于零还是小于零？说明理由。 5. 对1摩尔范德瓦耳斯气体，试求：（1） ；（2）通过自由膨胀由 到 引起的 温度变化 。 6. 实验表明：表面张力系数仅是温度的函数，即 ，且 。 试求：（1）表面膜由表面积 可逆等温膨胀到 所吸收热量； (2) 可逆绝热膨胀引起的温度变化。 7. 设在弹性限度内弹簧的恢复力与伸长量成正比，比例系数 是温度的已知函数。今把处 于大气中的弹簧拉长 ，最终达到平衡态。求弹簧的自由能、熵和内能的变化（设大气温度不 变）。 8. 试证明遵从居里定律 的顺磁介质的等磁化强度热容量及内能仅是温度的函 数。 9. 已知超导体的磁感应强度 。 求证：（1） 与 无关，只是 的函数； (2) (3) 。 10. 对电介质建立热力学方程，并证明： ， 式中 和 分别为电介质的电矩、压强、电场强度、体积、恒定电场中的热容量和 熵，并说明二等式的意义。 11. 容积为 ，具有理想反射壁空腔的平衡辐射，突然扩大到容积 （包括原有的容积 ） 的空腔。这是一个不可逆绝热过程。试证明： (1) ； (2) 。 2.3热力学第三定律 1. 根据德拜定律，低温时晶体的热容量 与热力学温度的3次方成正比： 。 试证明晶体的定压热容与定容之差 在 时与温度的7次方成正比。 2. 试根椐热力学第三定律证明，顺磁介质的居里定律 在足够低的温度下不能 成立。 第三章 相平衡和化学平衡 3.1多元均匀开系的热力学基本方程 1. 试证明： (1) ； 。 (2) ； 。 2. 已知 ，试证明 3. 克拉玛斯函数的定义是 。试证明 全微分为 ， 并由此证明 ，利用此结论再证明例3的（4）式。 3.2热力学系统的平衡条件 1. 在只有膨胀功的情况下，试证明： (1) 与 不变时，平衡态的 最小；（2） 与 不变时，平衡态的 最小； (3) 与 不变时，平衡态的 最大；（4） 与 不变时，平衡态的 最大。 2. 由 出发，试证明 (1) ， ； （2） ， ； (3) ， 。 以上各广延量都是1摩尔的量。 3.3相平衡 1. 1摩尔物质作如图所示的卡诺循环，两条等温线的温线的温度分别为 和 ，已知 ， ， ， ， ，在 时潜热为 ，设物质的气态可视为理想气体。 (1) 说明 各是什么状态； (2) 在 图中画出相应的图形； (3) 计算一循环中物质所作的功。 p 0 v A B C I II III p v A B C D E F vA vB vC 题1图 题5图 2. 固态氨的蒸气压方程为 ，液态氨的蒸气压方程为 其中压强的单位为 。假设气相可视为理想气体，凝聚相的比容相对于气相可以忽略不计。 试求： (1) 三相点的温度； (2) 三相点处三个潜热的数值。 3. 对用克拉珀龙方和描述的相变过程，试证明： (1) 物质摩尔内能的变化为： ； (2) 若一相是气相，可视为理想气体，另一相是凝聚相，则上式简化 为： 。 4. 试证明：在分界面是曲面的情形下，相变潜热仍为 。 5. 在 图上范德瓦耳斯气体等温线的极大点与极小点连成一条曲线 ，如右图所 示。试证明这条曲线的方程为 ，并说明这条曲线分割出的区域I、II、III的意义。 3.4化学平衡 1. 绝热容器中有隔板隔开，一边装有 摩尔的理想气体，温度为 ，压强为 ；另一边装有 摩尔的理想气体，温度亦为 ，但压强为 。今将隔板抽去 (1) 试求气体混合后的压强； (2) 若两种气体是不同的，试计算混合后的熵； (3) 若两种气体是全同的，试计算混合后的熵。 2. 求化学反应 的分解度与平衡恒量之间的关系。 3. 甲醇脱氢的反应方程为（气体） 。已知在 时，平衡恒量 ，求当甲醇的投料量为1摩尔时，氢的最大产量是多少? 第六章 统计物理学的基本概念 6.1粒子运动状态的描写 1. 何谓经典粒子、量子粒子、全同粒子、定域子、非定域子？ 2. 何谓 空间、相格、相格数？ 3. 试举例说明量子描述向经典描述过渡的条件。 4. 一光子的能量 与动量 的关系为 ，其中 为光速。若光子在容器 中自由运动，试求其能量在 之间的量子态数（对应每一个动量 有两个偏振方向）。 5. 已知二维谐振子的能量为 ，试求其态密度。 6.2系统运动状态的描述 1. 何谓系统的微观状态、宏观状态？二者关系如何？ 2. 何谓非简并性条件？非简并性条件成立时，费米子系统、玻色子系统 与定域子系统与定域子系统三者的微观状态数有何关系？ 6.3 统计物理学的基本假设 1. 何谓等概率原理？其意义如何？ 2. 何谓时间平均值？何谓统计平均值？二者有何关系？ 第七章 最概然统计法 7.1最概然统计法的理论基础 1. 何谓 分布、 分布？何谓最概然分布？ 2. 在什么条件下量子系统可用经典方法计算？什么条件下 分布和 分布都过渡到 分布？ 3. 的物理意义是什么？ 4. 判定下列情况服从经典统计还是量子统计： (1) 锗中的自由电子，其数密度为 ； (2) 银中的自由电子，其数密度为 。 5. 试计算氢和氧的简并温度，设其粒子数密度与标准条件下的粒子数密 度 （ ）相同。 6. 试问晶体中自由电子数密度为何值时，其电子气的简并温度等于 ？ 7. 一个线性谐振子，其能谱为 ， ，且系统温度足够 ）。 (1) 试求振子处于第一激发态与基态的概率之比； (2) 若振子仅占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。 8. 由单原子组成的顺磁气体，每单位体积中有 个原子，当温度不太高时可看成每个原子都处于基态，其固有磁矩 在外磁场H中只能取平行于H和反行于H两种取向，气体服从 分布。试计算： (1) 一个原子处于 与H平行状态的几率； (2) 一个原子处于 与H逆平行状态的几率； (3) 一个原子的平均磁矩 ； (4) 写出气体的磁化强度，并讨论 H 和 H 两种极限情况。 9. 考虑两个晶格格点组成的系统，每个格点上固定一个原子（自旋 为1），其自旋可以取三个方向，原子能量分别为1，0，-1，且能级无 简并，两原子之间无相互作用。试求该系统的 和 。 10.试证明，对于理想的 、 、 气体，熵可分别代表为 。其中 是能级 的量子态上的平均粒子数， 是对粒子的所有量子态取和。 11.一粒子数 很大的定域子系，处在外磁场H中，每个粒子的自旋为1/2。求系统的微 观态数与总自旋 分量 的函数关系，并确定系统的微观态数最大时的 的值。 12. 如图所示，一个一维的链由 个节组成，当节和链平行时，节的长度为 ，当节和链垂直时，节的长度为零。每个节只有这两个非简并的状态， 平均链长是 。 (1) 用 表示出链的熵； (2) 求温度 、张力 和长度 之间的关系，设铰点可以自由活动； (3) 什么情况下结论给出胡克定律？ 13. 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的位置构成新的一 层，晶体将出现缺位。晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷，如图所示。以 表示晶体中的原子数， 表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体体积的变化，试由自由能取极小值 的条件证明，当温度为 时， (n ) 其中 为原子在表面位置与下常位置的能量差。 14*. 考虑由 个没有相互作用的粒子组成的系统，每个粒子固定于某个位置并具有磁 矩 。整个系统处于外磁场B中，所以每个粒子总处于能量为 或 的两个态中之一上。把这些粒子看成是互相可以区别的。 (1) 试写出 的表达式，并求出使 为极大的 值。 (2) 将系统的内能 视为连续值，试证明该系统可以处于负温度状态。 7.2.麦克斯韦玻耳兹曼分布的应用 1. 某遵从 统计分布的由 个粒子组成的理想气体系统，其粒子的能量动量关系为 ，在不考虑其内部结构的条件下，试求其热力学函数 、 、 和 。 2. 某满足 统计的理想气体处在重力场中。设想一个很高的圆柱筒垂直地放在地面 上，筒内粒子数为 。假设筒内的理想气体处于同一温度，试求该系统的内能和定容热容 量。 3. 被吸附在表面上的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作二维的 理想气体，试计算其摩尔热容，设表面的大小不变。 *4. 今有单原子分子组成的理想气体，遵从 分布律。若两分子的相对速度为 。试计算 的平均值 ，并将结果用 表出。 5. 从一容器的狭缝中射出一分子束，试求该分子束中分子的最概然速率 和最概然能量 。求得的 和 与容器内的 和 是否相同？为什么？ * 6. 今有 个理想气体分子，盛在截截积为 、高度为 的容器内，处于重力场的作用下。试求： (1) 分子数密度按高度的分布； (2) 若在容器的顶部开一面积为 的小孔，凌晨位时间内从小孔飞出的分子数是多少？ *7. 某遵从 分布的系统，其粒子的能量为 ，其中 、 为常数。试求粒子的平均能量。 8. 假设双原子的振动是非简谐的，振动能量的经典表达式为 式中后两项是非简谐的修正项，其数值远小于前面两项， ， 、 均为常数。试证明：振动的内能和定容热容量分别为 其中 。 *9. 个刚性双原子分子（例如 ）组成的理想气体，该分子有永久磁矩 ，放在感应强度为B的磁场中，分子的能量为： 试证明： (1) 分子的配分函数为： 其中I是分子的转动惯量； 。 (2) 磁化强度（单位体积内的总磁矩之和）为 其中 称为朗之万函数。 (3) 讨论高温 和低温 时的情况。 7.3费米锹拉克分布和玻色爱因斯坦分布的应用 1. 在室温 时，电子占据费米能级、比费米能级高 、比费米能级低 的态的概率分别为多大？ 2. 若某能极高于费米能级 ，温度从10 变到 ，问电子占有该能极的概率改变多少？ 3. 试计算 时自由电子气体中一个电子能量的相对涨落。 4. 设金属中的传导电子可以近似地看成理想费米气体。再设金属宏观静 止，其费米能级为 。试在绝对零度下 (1) 计算 和 （ 为电子速度的 分量）； (2) 证明总能量的平均值 是广延量。当总体积 固定时， 与总粒子数 并不成线性关系，为什么？ 5. 相对率性电子气体，其能量动量关系为 （其中 为光速， 为电子质量），试在 时计算电子数密度，用费米能级 表示。 6. 某种样品中的电子服从 分布，其态密度有如下特征： 时， ； 时， 。设电子的总数为 。 (1) 试求 时的化学势 和总能量 ； (2) 试证明系统的非简并条件为 ； (3) 试证明当系统强烈简并（ 很低）时 。 7. 考虑由 个无相互作用的电子组成的电子气体，假定电子是非相对论性的。试求 出 时，与下列情形相应的费米能量： (1) 粒子只能沿长度为 的线段运动； (2) 粒子只能在一个面积为 的二维平面上运动。 8. 试导出二维空间黑体辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。 9. 宇宙中充满着 的黑体辐射光子，这可以看作是大爆炸的痕迹。 (1) 试求出光子数密度依赖于温度 的解析表达式，可保留一个数值因子。 (2) 试近似计算 时光子的数密度。 10. 如果声子服从 统计而非 统计，则固体热容量的德拜理论发生什么变化？在这样的假设下，试求 远低于德拜温度和远高于德拜温度时热容与温度的关系（常数系数不必 算出）。 11. 试证明：对玻色气体， ；对费米气体 。 第八章 系综统计法 8.1基本概念 1. 何为 空间？ 空间与 空间有什么区别和联系？ 2. 何谓统计系综？引入统计系综的意义何在？ 3. 请读者举出自已所熟悉的例子，说明系综平均值等于时间平均值。 8.2微正则系综 1. 试证明：当 很大时，系统的能量在 之间的状态数近似等于系统的能量小于、等于 状态数。 2. 考虑 个自旋为1/2，磁矩为 的定域粒子，粒子间相互作用很弱，将此系统置于磁场 中。 (1) 求系统总能量为 时的微观态数 ； (2) 求 与温度 的关系； (3) 在什么情况下出现负温度？ (4) 求系统的总磁矩 与 关系（用 和 将 表出）。 3. 处于室温下的任一宏观系统，当其能量增加 时，系统所有可能的微观态数增加的百分数是多少？若系统吸收一个可 见光（波长为 cm）的光子，系统的状态数增加多少？ 8.3正则系综 1. 由 个单原分子组成的理想气体系统处于温度为 的平衡态，试求系统能量的最可几值。结果说明什么？ 2. 对正则系统，试证明： (1) ； (2) 当粒子数 很大时 ，其中 。 3. 由两个相互独立的粒子组成的系统，每个粒子可处于能量分别为 和 的任一状态中，系统与大热源平衡。试就下列诸情况写出系统的配分函 数。 (1) 服从 统计，粒子可分辨； (2) 服从 统计，粒子不可分辨； (3) 服从 统计； (4) 服从 统计。 4. 一固体包含有 个自旋为1的非相互作用的核，每个核均可处在由量子数 ， 的三个态中的任一个态。由于固体内电荷与内部场的相互作用，一个核 在 态或 态具有相同的能量 ，而在 态时其能量为零。试求系统的熵及 的极限情况