2020考研数学水平测试之线性代数测试(基础试题)(含详细答案).docx

2020考研数学水平测试之线性代数测试（基础试题）（含详细答案）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)13阶行列式=中元素的代数余了式=（ ）A-2B-1C1D22设矩阵A=，B=，P1=，P2=，则必有（ ）AP1P2A=BBP2P1A=BCAP1P2=BDAP2P1=B3设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ ）AA-1C-1BC-1A-1CACDCA4设3阶矩阵A=，则A2的秩为（ ） A0B1C2D35设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（ ）A1B2C3D46设向量组线性相关，则向量组中（ ）A必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7设是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）ABCD8若2阶矩阵A相似于矩阵B=，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（ ）ABCD9设实对称矩阵A=，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ ）ABCD10若3阶实对称矩阵A=（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ）A0B1C2D3二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)11已知3阶行列式=6，则=_.12设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=_.13设A=，则A2-2A+E=_.14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=，则A=_.15.设3阶矩阵A=，则A-1=_.16.设向量组=（a,1,1）,=（1,-2,1）, =（1,1,-2）线性相关，则数a=_.17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非零解向量=_.18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为=(1，1)T,=(1，k)T，则数k=_.19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_.20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.已知3阶行列式=中元素的代数余子式A12=8，求元素的代数余子式A21的值.22.已知矩阵A，B=,矩阵X满足AX+B=X，求X.23.求向量组=(1,1,1,3)T，=(-1,-3,5,1)T，=(3,2,-1,4)T，=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.24.设3元齐次线性方程组，（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.25.设矩阵B=，（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P-1BP=26.设3元二次型,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形.四、证明题（本题6分）27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.C 9.D 10.D1.【解析】2【解析】 本题考查的是矩阵的初等变换，是初等矩阵表示矩阵作了一次l、2两行对换，故令，则P也是一个初等矩阵，PA就表示A作了一次1、2两行的对换，且将对换后的矩阵的第2行加到第1行得到的新矩阵，即，故本题正确选项为A3【解析】由于A.B、C均为可逆矩阵，且ABC=E，故，即，所以4【解析】故的秩为17【解析】 选项A、C、D都线性相关，如A: D: 故本题选B9【解析】 由实对称矩阵A可知：故二次型的规范形为二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1112-41314. 1516-217（或官柏非震倍数）18-119-42011.【解析】因为故12.【解析】15【解析】 故16.【解析】 由于向量组线性相关，令则知a= -218. 【解析】 因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以11+1k-0 故k= -1.19. 【解析】 因AB，故A、B的特征值相同，则B+E的特征值为1，-1，4，则B+E=1（-1）4= -4三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）20解 （3分）故z=-2 （5分）（9分）22解 由AX+B=X，得(E-A)X=B （2分）又可逆，且（6分）所以（9分）23解（3分）（6分）从而为一个极大无关组（极大无关组不唯一） （8分）且24解 (1)由方程组的系数行列式得a= -2或a=l，（2分）此时r(A)=2或r(A)=1，均小于3，方程组有非零解 （4分）(2)当a= -2时，得到基础解系（5分）此时全部解为（A为任意常数）； （6分）当a=l时，得到基础解系此时全部解为为任意常数）25解(1)由得到B的特征值为对于，由于(E- B) x=0有两个线性无关解，故B有3个线性无关的特征向量，从而a可与对角矩阵相似(2)对于，两个线性无关的特征向量为对于，对应的特征向量取，则P可逆，则有26解二次型的矩阵由得A的特