B智巧趣题教师版.doc

智巧趣题 教学目标数学问题中有许多趣题，它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有利于我们思维的拓展，同时激发对数学的兴趣。学海导航知识要点本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观察生活中的各类事实，学会用数学方法巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。例题精讲【例1】 (超常、超常3)集市上有位卖鱼的老人，3条鱼5元，这时来了3个人，准备一起买者3 条鱼，可是每人都是2元的钱，卖鱼的老人又没有零钱找，最后三个人觉得6元买3条鱼也挺值就每人出2元买了. 卖鱼的老人越想越觉得不合适，怎么能多收1元呢？于是他坐车去追买鱼人，追上时卖鱼的老人说：“多收你们1元，坐车用4角，还剩6角，退给你们每人2角.”可是3个人怎么算也不对，每人出2元，又退了2角，等于每人出1元8角，共5元4角，再加上坐车的4角，一共5元8角，怎么少2角呢？ 你知道为什么吗？ 【分析】 其实没少.应当5元4角加上退回的6角共6元.(超常2、超常1)3人去餐馆吃饭，每人出10元，结帐时共花25元，找回5元，用剩下的5元买了2元的水果，剩下3元每人退1元，结果一算账：每人实际出9元，共27元，加上卖水果的2元，共29元，怎么少了1元呢？【分析】 27元包括25元的餐费和2元的水果，再加上退的3元共30元.【例2】 (超常、超常3)用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎个饼需要分钟（假定正反面各需分钟），问煎个饼至少需要几分钟？【分析】 先煎第一个饼和第二个饼的正面用分钟，再煎第一个饼的反面和第三个饼的正面用分钟，接着煎第二个饼和第三个饼的反面用分钟，共用分钟。（超常2）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎个饼需要分钟（假定正反面各需分钟），问煎个饼至少需要几分钟？【分析】 是奇数，所以如果两个两个地煎，最后肯定会剩下一个，结合上题煎个饼的例子，可以先两个两个地煎好个，最后的个再用分钟煎完，因此一共需要分钟。（超常1）（年月日“数学大王”邀请赛三年级第题）烤烧饼时，第一面需要烤分钟，第二面需要烤分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放个烧饼。要烤个烧饼至少需要分钟。【分析】第一次烤的正面和的正面，需要分钟；第二次烤的反面和的正面，需要分钟；第三次烤的反面和的反面，需要分钟；所以要烤个烧饼至少需要分钟。【例3】 (超常)一个人带着一只狐狸、一只鹅和一些玉米渡河，每次只能带一样，可是人不在时，狐狸要吃鹅，鹅要吃玉米.那么应该怎样渡河呢？ 【分析】 先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带回来，第三次带玉米过河，自己划船，第四次再把鹅带过去即可.（超常3）有3个商人和3个随从在河岸边,他们都想过河,只有一艘船,没有船夫,而且船一次只能载2个人.任何时候船过了河,只要这6个人没过完,都得人回来接,怎么才能顺利过河呢?要求任何时候都不得随从数目大于商人数目,防止他们劫财.【分析】 第1次：1商1从过河，商回， 第2次：2从过河，1回，第3次：2商过河，1商1从回， 第4次：2商过河，从回， 第5次：2从过河， 第6次：再回，接最后一个随从过河。（超常2）小王骑牛赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁头牛，甲牛过河需分，乙牛过河需 分，丙牛过河需分，丁牛过河需分。每次只能赶两头牛过河。问要把这头牛都赶到对岸去，最少需几分？【分析】 为了使总时间最少，则过河时用时多的牛要一起赶，返回时要骑用时少的牛，所以在赶牛时要先把用时少的牛赶到对岸去，这样返回时就可以骑回来。具体方法如下：先将甲、乙两头牛赶到对岸，用时分钟，然后骑甲牛回来，再赶丙、丁两头牛区对岸，骑乙牛回来，最后骑甲、乙两头牛到对岸，整个过程一共用时（分钟）。（超常1）有4个人要过一座桥。他们都站在桥的某一边，要让他们在17分钟内全部通过这座桥。这时是晚上。他们只有一个手电筒。最多只能让两个人同时过桥。不管是谁过桥，不管是一个人还是两个人，必须要带着手电筒。手电筒必须要传来传去，不能扔过去。每个人过桥的速度不同，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。 第一个人：过桥需要1分钟； 第二个人：过桥需要2分钟； 第三个人：过桥需要5分钟； 第四个人：过桥需要10分钟。比如，如果第一个女人与第4个女人首先过桥，等她们过去时，已经过去了10分钟。如果让第4个女人将手电筒送回去，那么等她到达桥的另一端时，总共用去了20分钟，行动也就失败了。怎样让这4个女人在17分钟内过桥？还有别的什么方法？【分析】 第一个人,第二个人先过桥-用时2分钟第一个人回来送手电-用时1分钟第三个人,第四个人再过桥-用时10分钟第二个人回来送手电-用时2分钟第一个人,第二个人最后过桥-用时2分钟共用了17分钟。【例4】 (超常、超常3)一个人带着两只桶去沟边取水，一只桶可盛3千克水，另一只可盛5千克水，现在要取4千克水，应该怎样取？【分析】 先把盛3千克水的小桶盛满水，倒进盛5千克的大桶里，把小桶盛满水，再倒入大桶里，因为大桶里已经有3千克的水，当倒满5千克时，小桶还剩下1千克的水把大桶里的水全倒掉，然后把小桶里的1千克水倒进大桶里，再把小桶装满水倒入大桶里，这时大桶里正好有4千克水（超常2）有大、中、小个瓶子，最多分别可装入水克，克和克，现在大瓶中装满水，希望通过水在个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出装克水的刻度线，问最少倒几次水？【分析】 次，详见下表（单位：克）：大中小（超常1）今有升果汁一瓶，要用升和升的两种容器分成升一份的两份果汁，怎么分？【分析】设个容器分别为（升）、（升）、（升）。（升的容器）（升的容器）（升的容器）原来倒水到，使倒满倒水到，使倒空倒水到，使倒满倒水到，使倒空倒水到，使倒满倒水到，使倒满倒水到，使倒空倒水到，使倒空倒水到，使倒满倒水到，使倒空【例5】 (超常)有颗珍珠，其中有一颗假珍珠，但外观和真的一样，看不出来是假的，只是假珍珠比真珍珠轻一些，你能利用天平不用砝码，只称两次就找出假的珍珠吗？怎样称呢？【分析】 如果每次在每个托盘里只放一颗珍珠的话，那么天平低的那一颗是假的，9颗珍珠，可能需要称四次才行如果每个托盘中每次称两颗，那么如果不平衡，取轻的一侧托盘中的两颗珍珠再称，分别置于两个托盘内，较低一侧的为假的但是这样也有可能要称三次，不合要求那么第一次在左右两托盘各放置3颗珍珠： 如果不平衡，那么较高的一侧的3颗中有一颗是假的从中任取两颗分别放在两托盘内： 如果不平衡，较低的一侧的那颗珍珠是假的；如果平衡，剩下的那颗是假的； 如果平衡，剩下的三颗中必有一颗为假的从中任取两粒分别放在两托盘内：如果不平衡，较高的一侧的那颗珍珠是假的；如果平衡，剩下的那颗是假的所以只需要称两次就可以找出假的珍珠（超常3、超常2、超常1）有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？【分析】 解决这个问题有一个巧妙的方法：将10箱钢珠分别编为110号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠从10号箱中取10个钢珠，共取出个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重550克，如果轻了()克，那么第号箱就是次品这是因为每个次品钢珠比正品轻1克，那么轻了克说明取出的55个钢珠中有个是次品，那么是从第号箱中取出的，说明第号箱就是次品在这个方法中，第10号箱也可以不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么第10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品【例6】 (超常)将一根绳子对折、对折再对折，然后从绳子中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？【分析】 绳子对折、对折再对折后共被对折成（段），在绳子中间剪一刀相当于在原来的绳子上剪了刀，所以共被剪成段。（超常3）将一根绳子对折次后从中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？【分析】 绳子对折次后被对折成（段），在绳子中间剪一刀相当于在原来的绳子上剪了刀，所以共被剪成（段）。（超常2、超常1）将一根绳子对折次后从中间剪一刀，绳子被剪成多少段？【分析】 对折次后被对折成段，所以共被剪成段。【例7】 （超常、超常3）在一块黑板上将重复次得到位数，先删去这个数中从左至右数所有位于奇数位上的数，再删去所得数中所有位于奇数位上的数字，依此类推，最后删去的是哪个数字？【分析】 每次留下的应该是位上的数字，所以最后剩下的是第位数，所以最后删的是。（超常2、超常1）把，这个数均匀排成一个大圆圈，从开始数：隔过划掉，隔过划掉，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，问：最后剩下哪个数？【分析】 若正好有个数，则最后剩下的应该是第一个数，所以当划掉个数时，此时剩下的数正好是，接下来的第一个数就应该是最后留下的数，为。【例8】 （超常、超常3、超常2、超常1）（年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛五年级年级决赛第题）在下面个圆圈中分别填入数字，（已填出）。从开始顺时针走步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填（），则从这个圆圈开始顺时针走步进入另一个圆圈。依次下去，走次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写。请给出两种填法。【分析】因为从开始一共要走步，最后一个填入的数字是；因为，所以数字在数字的对面；尝试后可得如下填法。【补充】柳卡趣题：在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。尽管为此问题大家进行过广泛的探讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题。这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡趣题”。【分析】 “柳卡问题”也是一类相遇问题。如果设每艘轮船的速度是x海里昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么)，即为x海里。因此，同下一轮船相遇的时间应是x(x+x)=05(昼夜)，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到72=14(艘)从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。【补充】（年第三届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级第题）图中有个围棋子围成一圈，现将同色的相邻两子之间放入一个白子，在不同色的相邻两子之间放入一个黑子，然后将原来的个棋子拿掉，剩下新放入的个棋子，如图，这算一次操作，如果继续这样操作下去，这一圈的个子中最多有个是黑子。【分析】若要出现个黑子，则前一次操作时，所有的棋子必须是黑白相隔；因为有个棋子，所以不可能出现黑白相隔的情况，所以也不可能出现个黑子的情况；如图所示，经过次操作，图出现了个黑子；所以这一圈的个子中最多有个是黑子。课后精练【练习1】 (超常、超常3、超常2、超常1)有个人去买葱，他问多少钱一斤.卖葱的人说：“元斤”.买葱的人说：“我想全买了，不过要从中间切开秤，葱叶角斤，葱白角斤，你卖不卖？” 卖葱的人一想：“角+ 角=元”正好，他就全卖了.但是后来发现自己赔了，同学们，你们知道为什么吗？【分析】 葱叶角斤，葱白角斤相当于元钱买斤葱，卖葱的人当然赔了.【练习2】 （超常、超常3）（年第届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第题）妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗茶壶要用分钟，烧开水要用分钟。洗茶壶要用分钟，洗茶杯要用分钟，拿茶叶要用分钟。小明估算了一下，完成这些工作要分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？【分析】 先洗水壶用分钟，接着烧开水用分钟，在等待开水的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶。水开了就沏茶，总共用了分钟。又因为烧开水的分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用分钟是最少的。（超常2、超常1）小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做大米饭和炒鸡蛋，有两个炉灶。估计一下，洗锅要用分钟，洗米要用分钟，做大米饭要用分钟，打鸡蛋要用分钟，洗炒勺要用分钟，烧油要分钟，炒鸡蛋要分钟。你认为最合理安排需要几分钟能做好饭菜？【分析】 做大米饭的时间最长，因此我们应该考虑在煮大米饭的同时做其他事情以节省时间，做大米前洗锅和洗米是必须的，所以至少需要（分钟）。【练习3】 (超常)红蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，从蓝墨水中吸一滴滴到红墨水中.这时红墨水中的蓝墨水多还是蓝墨水中的红墨水多？ 【分析】 如果算红蓝墨水的混合比例算不出来.我们可以这样想 如果红墨水中混进蓝墨水，那么这些蓝墨水必然挤占了同样体积的红墨水.所以红墨水中的蓝墨水和蓝墨水中的红墨水一样多.（超常3）（年月日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）小华和爸爸分享“红、黑甜品”（红豆沙加芝麻糊）。方法是：小华先将两勺红豆沙倒进盛载芝麻糊的碗中，搅匀后再取回两勺放入原先盛载红豆沙的碗中，混成后，爸爸问小华：“如果混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样，那么混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量比较，哪一个多？”。小华的正确答案是。【分析】因为混合前红豆沙与芝麻糊的体积一样；所以混合后红豆沙含芝麻糊的分量与芝麻糊含红豆沙的分量一样多。（超常2）甲组有26个男生，乙组有20个女生，从甲乙两组中各选出相同数量的人交换，这样交换10次后，甲组中女生的人数多还是乙组中男生的人数多？ 【分析】 一样多.（超常1）欣欣喝一杯牛奶，第一次喝了这杯牛奶的，用水加满；第二次又喝了杯里的，又用水加满；第三次又喝了杯里的，又用水加满；之后她把这一杯全部喝完。想想欣欣喝的牛奶多还是水多？【分析】首先整体上欣欣喝了杯牛奶；欣欣加了次水，每次都是整个杯子，一共加了杯水，所以欣欣一共喝了杯水；所以欣欣喝的牛奶和水一样多。【练习4】 (超常、超常3、超常2、超常1)甲乙两人从相距千米的两地同时出发相向而行，甲带着一条狗，甲出发时狗开始在甲乙两人之间来回奔跑，即碰到乙就掉头跑，碰到甲就再掉头跑，如此往复，直至甲、乙相遇为止.如果狗的速度等于甲乙两人的速度和，掉头时间忽略不计，那么狗跑了多