全国高中数学联赛A卷一试解答.pdf

2019 年全国高中数学联合竞赛一试（年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准 卷） 参考答案及评分标准 说明： 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 . 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次， 第分为一个档次， 第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次 分为一个档次，不得增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分 1. 已知正实数a满足 8 (9 ) aa aa=，则log (3 ) a a 的值为 答案答案： 9 16 解解：由条件知 1 8 9aa=，故 9 16 39aa aa=，所以 9 log (3 ) 16 a a = 2. 若实数集合1, 2,3, x的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素 之和，则x的值为 答案答案： 3 2 - 解解：假如0 x，则最大、最小元素之差不超过max3, x，而所有元素之和 大于max3, x，不符合条件故0 x 根据条件得 22 24,23aABaabAF=-=+， 可知2,1ab=， 且 22 22 3EFab=-= 由椭圆定义知24PEPFa+=，结合2PEPF=得 () 2 222 212PEPFPEPFPEPFEF+=+-=， 所以EPF为直角，进而 1 1 2 PEF SPEPF D = 5. 在1, 2,3,10中随机选出一个数a，在1,2,3,10- -中随机选出一 个数b，则 2 ab+被 3 整除的概率为 答案答案： 37 100 解解：数组( , )a b共有 2 10100=种等概率的选法 考虑其中使 2 ab+被 3 整除的选法数N 若a被 3 整除，则b也被 3 整除此时,a b各有 3 种选法，这样的( , )a b有 2 39=组 若a不被 3 整除， 则 2 1(mod3)a， 从而1(mod3)b- 此时a有 7 种 选法，b有 4 种选法，这样的( , )a b有7428 =组 因此92837N=+=于是所求概率为 37 100 6. 对任意闭区间I，用 I M 表示函数sinyx=在I 上的最大值若正数a满 足 0, , 2 2 aaa MM=，则a的值为 答案答案： 5 6 p或 13 12 p 解解： 假如0 2 a p ， 则由正弦函数图像性质得 0, , 2 0sin aaa MaM，此时 0, 1 a M=，故 , 2 1 2 aa M=于是存在非负整数k，使得 513 222 66 kaakpppp+由对称性， 不妨设W在x轴上方与x轴相切于F，故W的方程为 222 (1)()xyrr-+-= 将 2 4 y x=代入并化简，得 2 2 2 120 4 y yry -+-= 显然0y，故 2 222 2 1(4) 1 2432 yy ry yy + =-+= 5 分 根据条件，恰有一个正数解y，该y值对应W与G的唯一公共点 考虑 22 (4) ( )(0) 32 y f yy y + =的最小值 由平均值不等式知 4 3 222 4444 44 3333 yyy +=+ ，从而 3 2 144 3 ( )16 3239 f yy y = 当且仅当 2 4 3 y =，即 2 3 3 y =时，( )f y取到最小值 4 3 9 15 分 由有解可知 4 3 9 r 又假如 4 3 9 r ，因( )f y随y连续变化，且0y + 及 y+时( )f y均可任意大， 故在 2 3 0, 3 及 2 3 , 3 + 上均有解， 与解的 唯一性矛盾 综上，仅有 4 3 9 r =满足条件（此时 1 2 3 , 33 是W与G的唯一公共点） 20 分 11. （本题满分（本题满分 20 分）分）称一个复数数列 n z为“有趣的”，若 1 1z=，且对 任意正整数n，均有 22 11 420 nnnn zz zz + +=求最大的常数C，使得对一切有趣 的数列 n z及任意正整数m，均有 12m zzzC+ 解解：考虑有趣的复数数列 n z归纳地可知 * 0() n znN由条件得 2 *11 4210() nn nn zz n zz N + + = ， 解得 *1 13i () 4 N n n z n z + - =因此 1 1 13i1 42 n n nn zz zz + + - + =，故 * 1 11 11 () 22 N n nn zzn - = 5 分 进而有 *1 1 1 133i3 1() 242 N n nnn nn n z zzzn z + + - += += 记 * 12 ()N mm Tzzzm=+ 当 * 2 ()Nms s=时，利用可得 12212 2 s mkk k Tzzzz - = +-+ 212 2 3 2 kk k zz - = -+ 21 2 333 223 k k - = =-= 10 分 当 * 21()Nmss=+时，由、可知 21212 22121 11 133 23 22 skk ssk ksks zzz +- - = += + =-+= 当1m=时， 11 3 1 3 Tz= 以上表明 3 3 C =满足要求 15 分 另一方面，当 * 1221 221 13i13i 1,() 22 N kk kk zzzk + + - +- - =时，易验证知 n z为有趣