江苏省2019高考数学二轮复习第22讲三角函数应用题课件.ppt

第22讲三角函数应用题,第22讲三角函数应用题1.如图,某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,已知A为120,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若AP+AQ=200米,如何使得三角形地块APQ面积最大?(2)已知竹篱笆长50米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方米100元,求围墙总造价的取值范围.,解析(1)设AP=x米,则AQ=(200-x)米,所以SAPQ=x(200-x)sin120=2500(米2),当且仅当x=200-x时取等号,即AP=AQ=100(米),Smax=2500(米2).(2)由=,得AP=100sinAQP,AQ=100sinAPQ,故围墙总造价y=100(AP+2AQ)=10000(sinAQP+2sinAPQ)=10000cosAQP,因为0AQP,cosAQP,所以y(5000,10000).答:围墙总造价的取值范围为500010000元.,2.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200m,斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.(1)若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲乙两人之间的距离;(2)设CEF=,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且DEF=,请将甲乙之间的距离y表示为的函数,并求甲乙之间的最小距离.,解析(1)依题意得BD=300m,BE=100m,在ABC中,cosB=,B=,在BDE中,由余弦定理得:,DE2=BD2+BE2-2BDBEcosB=3002+1002-2300100=70000,DE=100.答:此时甲乙两人之间的距离为100m.(2)由题意得EF=2DE=2y,BDE=CEF=,在直角三角形CEF中,CE=EFcosCEF=2ycos,在BDE中,由正弦定理得=,即=,y=,0,所以当=时,y有最小值50.,答:甲乙之间的最小距离为50m.,题型一三角函数与解三角形的综合应用题,例1(2018南京高三第三次模拟)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧组成,其中AC为200米,ACBC,A为.若在半圆弧,线段AC,线段AB上各建一个观赏亭D,E,F,再修两条栈道DE,DF,使DEAB,DFAC.记CBD=.(1)试用表示BD的长;(2)试确定点E的位置,使两条栈道长度之和最大.,解析(1)连接DC.在ABC中,AC=200米,ACBC,A=,所以CBA=,AB=400米,BC=200米.因为BC为直径,所以BDC=,所以BD=BCcos=200cos米.(2)在BDF中,DBF=+,BFD=,BD=200cos,所以=,所以DF=400cossin,BF=400cos2,所以DE=AF=400-400cos2,所以DE+DF=400-400cos2+400cossin=sin2-cos2+3=200sin+300.因为0,所以f()为增函数;当时,f()0,记APB=,CPD=,则tan=,tan=,由tan(+)=tan45=1,化简得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-(舍去),所以AC=AP+PC=2120+420=500米.答:两索塔之间桥面AC的长度为500米.(2)设AP=x米,点P处的承重强度之和为L(x).则L(x)=60,且x(0,500),即L(x)=60ab,x(0,500),记l(x)=+,x(0,500),则l(x)=+,令l(x)=0,解得x=250,当x(0,250)时,l(x)0,l(x)单调递增;所以x=250时,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值,最小值为.答:两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为.,题型三解三角形与导数的应用题,例3(2018扬州高三第三次调研)如图,某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD,ABCD,ABBC,AB=3百米,CD=2百米.该区域内原有道路AC,现新修一条直道DP(宽度忽略不计),点P在道路AC上(异于A,C两点),BAC=,DPA=.(1)用表示直道DP的长度;(2)计划在ADP区域内种植观赏植物,在CDP区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元,种植经济作物的成本为每平方百米1万元,新建道路DP的成本为每百米1万元,求以上三项费用总和的最小值.,解析(1)过点D作DD垂直线段AB,垂足为D.在RtABC中,因为ABBC,BAC=,AB=3百米,所以BC=百米.在RtADD中,易知AD=1百米,DD=百米,所以AD=2百米,则sinDAD=,故DAD=,又BAC=,所以DAP=,在ADP中,由正弦定理得=,所以DP=,.(2)在ADP中,由正弦定理得=,所以AP=,.所以SAPD=APPDsin=sin=,.又SADC=ADDCsinADC=22sin=.所以SDPC=SADC-SAPD=-,.设三项费用总和为f(),则f()=2+1+1=+=+,.所以f()=,令f()=0,则=.,列表:,所以当=时,f()min=2.答:三项费用总和的最小值为2万元.,【核心归纳】利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等建立目标函数,再利用导数研究函数的单调性、极值与最值.,3-1(2018盐城高三年级第三次模拟)如图所示的是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为400米,AOB=,且OL平分AOB.现拟在OC上选取一点P,修建三条路PO,PA,PB供游人行走观赏,设PAO=.(1)将三条路PO,PA,PB的总长表示为的函数l(),并写出此函数的定义域;(2)试确定使得l()最小的的值.,解析(1)在APO中,由