一元一次不等式的解法(教师版).doc

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组一元一次不等式的解法（基础）知识讲解【学习目标】1理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2. 能够熟练解一元一次不等式；3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式(单项式或多项式)；只含有一个未知数；未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“”、“”、“”或“”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“”连接，等号没有方向要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用（2）解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；移项时不要忘记变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变要点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围其含义：解集中的每一个数值都能使不等式成立；能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示如：不等式x-26的解集为x8(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，xa或xa向右画；对边界点a而言，xa或xa向左画 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1下列式子中，是一元一次不等式的有哪些? (1)3x+50 (2)2x+35 (3) (4)2 (5)2x+y8【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数【答案与解析】解：(2)、(3)是一元一次不等式【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：不等式的左右两边分母不含未知数；不等式中只含一个未知数；未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可 类型二、解一元一次不等式2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来 【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的【答案与解析】解：去括号，得：移项、合并同类项，得：系数化1得：这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向举一反三：【变式】不等式2(x+1)3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ).【答案】C.3. （2016连云港）解不等式，并将解集在数轴上表示出来【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可【答案与解析】解：去分母，得：1+x3x3，移项，得：x3x31，合并同类项，得：2x4，系数化为1，得：x2，将解集表示在数轴上如图：【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键去分母时，不要漏乘不含分母的项举一反三：【变式】若,问x取何值时，【答案】解：, 若，则有即 当时，4.关于x的不等式2x-a-1的解集为x-1，则a的值是_【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x-1即可得到关于a的方程，解方程即可求解【答案】【解析】由已知得：，由，得【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号举一反三：【变式1】如果关于x的不等式(a+1)xa+1的解集是xl，则a的取值范围是_【答案】.【变式2】求不等式1+2的非正整数解【答案】解：1+26+3（x+1）122（x+7）6+3x+3122x143x+2x1214635x11x2所以非正整数解为0，1，2类型三、不等式的解及解集5.对于不等式4x+7(x-2)8不是它的解的是( ).A5 B4 C3 D2【思路点拨】根据不等式解的定义作答【答案】D【解析】解：当x5时，4x+7(x-2)418，当x4时，4x+7(x-2)308，当x3时，4x+7(x-2)198，当x2时，4x+7(x-2)8故知x2不是原不等式的解【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的6.不等式x1在数轴上表示正确的是 ( ).【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可【答案】C【解析】解：不等式x1在数轴上表示为:故选C【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )A2x4B.2x4 C.2x4 D.2x4【答案】B.【巩固练习】一、选择题1下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）.A.5+48B.2x1C.2x5D.3x0 2已知ab，则下列不等式正确的是( ). A-3a-3b B C3-a3-b Da-3b-33.下列说法中，正确的是( ). Ax3是不等式2x1的解 Bx3是不等式2x1的唯一解Cx3不是不等式2x1的解 Dx3是不等式2x1的解集4.在下列解不等式的过程中，错误的一步是（）A去分母得5（2+x）3（2x1） B去括号得10+5x6x3C移项得5x6x310 D系数化为1得x35.不等式的非负整数解有（ ）. A 1个 B2个 C3个 D4个 6.（2016六盘水）不等式3x+22x+3的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD二、填空题7用“”或“”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质： (1)如果x+25，那么x_3；根据是_ (2)如果，那么a_；根据是_ (3)如果，那么x_；根据是_(4)如果x-3-1，那么x_2；根据是_8. 若a0，则关于x的不等式axb的解集是_； 若a0，则关于x的不等式以axb的解集是_9.不等式x4的解集是 10.不等式的非负整数解为 11.（2017新城区校级模拟）不等式x+20的最大正整数解是12.若m5，试用m表示出不等式(5m)x1m的解集_三、解答题13解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来（1）5x122（4x3）； （2）114a取什么值时，代数式32a的值： (1)大于1？ (2)等于1？ (3)小于1？15y取什么值时，代数式2y3的值：(1)大于5y3的值？(2)不大于5y3的值？16求不等式6411x4的正整数解 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】考查一元一次不等式的概念；2. 【答案】D；【解析】考查一元一次不等式的性质；3. 【答案】A ；4. 【答案】D； 【解析】解：去分母得，5（2+x）3（2x1）去括号得，10+5x6x3，移项得，5x6x310，合并同类项得，x13，系数化为1得，x13，故D错误故选D5. 【答案】C； 【解析】先求得解集为，所以非负整数解为：0,1,2；6.【答案】D；【解析】解：3x+22x+3移项及合并同类项，得x1，故选D二、填空题7. 【答案】(1)，不等式基本性质1；(2)，不等式基本性质3； (3)，不等式基本性质2；(4)，不等式基本性质1；8.【答案】，； 【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数，不等号改变方向.9.【答案】x2； 【解析】解：x43（x4）4x10 3x124x10 3x4x10+12x2 x2故答案为：x210【答案】0，1，2；【解析】解不等式得11.【答案】5【解析】解：x+20，移项，得：x2，系数化为1，得：x6，故不等式x+20的最大正整数解是512.【答案】 【解析】，所以(5m)x1m，可得：三、解答题13.【解析】解：（1）去括号得：5x128x6，5x8x6+12，3x6，x2，在数轴上表示不等式的解集为：；（2）去分母得：3（3x2）5（2x+1）15，9x610x+515，9x10x15+5+6，x4，x4，在数轴上表示不等式的解集为：14.【解析】解：(1)由3-2a1，得a1；(2)由3-2a1，得a =1；(3)由3-2a1，得a115.【解析】解：(1)由2y-35y-3，得y0；(2)由2y-35y-3，得y0 16.【解析】 解：先解不等式的解集为x,所以正整数解为1，2，3，4，5 拓展：【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？（1） （2） （3） （4） （5）【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断【答案与解析】解：(1)是一元一次不等式（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是1次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等式，是一元一次方程【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：不等式的左右两边分母不含未知数；不等式中只含一个未知数；未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可 类型二、解一元一次不等式2.求不等式的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后根据不等式的性质2去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数【答案与解析】解：原不等式可化为：去分母，得6（4x10）15（5x）10（32x）去括号，得24x6075+15x3020x移项，得24x+15x+20x30+60+75合并同类项，得59x165把系数化为1，得x，解集x的非负整数解是：0，1，2，数轴表示是：【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质举一反三：【变式1】解不等式：【答案】解：去括号，得移项、合并同类项得：系数化1，得故原不等式的解集是.【变式2】代数式的值不大于的值，求x的范围【答案】解：根据题意得：解不等式，去分母得：63（3x1）2（12x），去括号得：69x+324x，移项得：4x9x263，合并同类项得：5x7，解得：x3.m为何值时，关于x的方程：的解大于1？【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式【答案与解析】解： x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1 由 解得m2【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围举一反三：【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则 【答案】1或2.4.（2016杭州模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足xy3.5，求出满足条件的m的所有正整数解【思路点拨】先解出方程组再解不等式【答案与解析】解：由方程组的两个方程相减得：xy=0.5m20.5m23.5，m3，满足条件的m的所有正整数解为m=1，m=2【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出的具体值能得出关于m的不等式是解此题的关键类型二、不等式的解及解集5.若关于的不等式只有三个正整数解，求的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围 【答案】.【解析】解：不等式只有三个正整数解，三个正整数解为：1，2，3，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解举一反三：【变式】已知的解集中的最大整数为3，则的取值范围是 【答案】.类型四、逆用不等式的解集6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集 【思路点拨】先根据第一个不等式确定的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解【答案】.【解析】解：由的解集为可知得：，即将上式代入，化简整理得：，又所以.【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定【巩固练习】一、选择题1已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是( ) .Am1 Bm1 Cm-1 D不能确定2由得到，则a应该满足的条件是（ ）.Aa0 Ba0 Ca0 Da为任意实数3已知，如果，则x的取值范围是（ ）.Ax2 Bx2 Cx-2 Dx-24设a，b是常数，不等式+0的解集为x，则关于x的不等式bx-a0的解集是（）Ax Bx- Cx- Dx5（2016南充）不等式1的正整数解的个数是（）A1个B2个C3个D4个6.关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ）. A0 B2 C -2 D-4 二、填空题7（2016绍兴）不等式+2的解是 8若不等式（3m-2）x7的解集为x，则m的值为 9比较大小：_.10已知-4是不等式的解集中的一个值，则的范围为_.11若关于x的不等式只有六个正整数解，则a应满足_.12.已知的解集中的最小整数为，则的取值范围是 .三、解答题13若m、n为有理数，解关于x的不等式(m21)xn14.当x为何值时，代数式-x+3的值比6x-3的值大15.当时，求关于x的不等式的解集16.已知A2x23x2，B2x24x5，试比较A与B的大小【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】，所以；2. 【答案】C；【解析】由得到，不等式两边同乘以，不等号方向没变，所以；3. 【答案】B； 【解析】