不定积分概念和第一类换元法.pptVIP

第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,已知F(x),第四章不定积分,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章不定积分,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,一、原函数与不定积分的概念,引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x),满足,在区间I上的一个,则称F(x)为f(x),如引例中,的一个原函数为,暨南大学珠海学院苏保河主讲,原函数.,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,定理1.,的原函数存在.,(下章证明),因为初等函数在定义区间上连续，,所以初等函数在定义区间上有原函数,暨南大学珠海学院苏保河主讲,定理2,一个原函数都可记为,(C为任意常数).,证,又知,故,即,即,暨南大学珠海学院苏保河主讲,定义2,在区间I上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,若,则,(C为任意常数),C又称为积分常数不可丢!,例如,记作,注,暨南大学珠海学院苏保河主讲,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例1设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,暨南大学珠海学院苏保河主讲,二、基本积分表,注从不定积分定义可知:,或,或,(k为常数),暨南大学珠海学院苏保河主讲,或,或,暨南大学珠海学院苏保河主讲,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例2求,解原式=,例3求,解原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,三、不定积分的性质,推论,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例4求,解原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例5求,解原式=,例6求,解原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例7求,解原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,第二节,第一类换元法,第四章不定积分,暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲,第一类换元法,定理1,则有换元公式,(也称配元法,即,凑微分法),暨南大学珠海学院苏保河主讲,例1求,解令,则,故,原式=,解法2(直接凑微分):,暨南大学珠海学院苏保河主讲,想到公式,例2求,解,令,则,想到公式,暨南大学珠海学院苏保河主讲,原式,例2求,解法2(直接凑微分):,想到公式,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例3求,想到,解,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例4求,解,类似可得,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例5求,解,原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例6求,解原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例7求,解原式=,例8求,解原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例9求,解法1,解法2,两法结果一样,暨南大学珠海学院苏保河主讲,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法,利用恒等变形,及基本积分公式进行积分,积分性质,3.第一类换元法(凑微分法),暨南大学珠海学院苏保河主讲,作业,P2041(2,4,6,8,10,11,13,14);2(2,6,8,9,11,13,14,16,18).,P1901(3,5,13,14,16,18,20,21,23,24,25,26);2;4*.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,下次课内容:不定积分的第一类换元法第五章第一节定积分的概念与性质,1若,是,的原函数,则,提示,已知,课外练习,暨南大学珠海学院苏保河主讲,2若,的导