化归方法在中学数学中的应用.doc

化归方法在中学数学中的应用马晓青，任孚鲛太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要：在求解中学数学问题时，通过化归方法，可以使原问题简单化。具有较强的方向性、目的性。直接求解是比较困难的，通过分析、观察，用化归方法将庞大的问题转换成简易的问题，把不常见的或难以处理的问题转换成常见的或已经处理过的问题。通过化归方法，学会分析和处理题目，进而培养学生的思维能力和处理问题的技能。关键词：转化；映射；解题策略引言研究数学史，就可以发现有很多的人通过不同的方面阐述了化归方法在数学中的思想，在指导思维的法则中笛卡尔提出了通用的法则：第一，把不同类别的问题转化成数学问题；第二，把各种不同类别的数学问题转化成代数问题；第三，把不同类别的代数问题转化成方程式的求解。 化归思想是运用转化或进一步转化，把待处理的问题转换成比较容易处理的问题，或转换成一个已经处理了的问题，进而转换成大家所熟悉的常识性的问题，其模式图如下图1：图11 化归的基本思想1.1 含义化归方法是分析、解决中学数学问题的关键，也是解决问题常用的策略。所谓的化归思想方法，就是把待处理或未处理的问题，通过不同的转换过程，就可以转换成已经处理或者比较容易处理的问题，进而是求解原问题的一中方法。1.2 作用我们求解问题时，通过发现、分析、讨论，将难以解决的问题转换成熟悉的、或能处理的问题。（1）代数方面，在解一般方程或不等式时，把多元转化为一元、高次化为低次、分式化为整式、无理化为有理等；（2）在解三角函数时，可以通过三角的诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，把不同名的三角函数化成同名的三角函数；（3）解立体几何时，把复杂的图形转化成简单的图形，把空间的复杂问题化为平面简易问题。 2 化归方法遵循的基本原则 在数学学习中，为了能更好更快的掌握化归方法，我们需要遵循以下的化归原则：2.1 具体化原则具体化的化归原则是指把抽象的转化成具体的，分析和解决问题时尽可能将原问题简单、具体，用具体的式子来表示抽象的语言描述，把握其中的数量关系，明确原问题中的不同概念间的联系。例1.求函数的最大值。分析：通过观察函数，此函数结构复杂，不能用常规方法求解，只能将其具体化。由函数中的根式联想到距离问题，此问题的关键是两个根式内的被开放式通过拼凑化成平方和的形式。由此可转化为：求点到点与点距离之差的值最大，转化成求抛物线上的一点，使的值最大化。2.2 熟悉化原则熟悉化是我们将不常见的问题转化成常见的问题，有一定的解题模式，也很容易把握。通常，我们通过已有知识和经验，从而解决原问题。如把不是等差和不是等比的数列通过一些转化，化成等差数列和等比数列。例2.设复数和满足关系式，其中是复数且，试证明.分析：本题运用熟悉的知识即实数的充要条件是，即可使原题目得到解决。因为 ,.2.3 和谐统一性原则和谐统一原则是指我们在解题时，应把待解决的问题根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等特征，使其和谐、匀称和恰当，在量形、关系方面进行统一，以达到数学的内在美。例3.已知均为实数，且，证明.分析：观察题目，不妨将左右两边平方。证明： ，两边相加得 即 .2.4 简单化原则简单化是我们把比较难的问题转化为简单的容易处理的问题，把原问题中比较庞大的数据采用某种转化，化成比较简单的，从而去解决复杂的原问题。例4.比较与的大小.分析：观察发现，直接判断有点难度。可以先从简单的入手：，可以找到一个关系式：当时，就有从而就可以比较时，.2.5 低层次原则低层次是在求解数学中的问题时，考虑高维与低维、高次与低次、多元与少元的转化，通常是由高到低、由大到小、由多到少。2.6 正难则反原则正难则反原则即在数学问题的探索时，在正面分析遇到挫折时要思量从反面去尝试解决，当直接求解不了时要考虑从另一个方面去解决，在正向推导的过程中遇到挫折时可以进行反向推导，这就是所谓的正难则反。3 化归的基本方法化归的目的是复杂问题简单化、含糊问题明朗化、未知问题常识化。于是映射法、参数法、转化法、分割法、消元法、变形法均为化归常用的方法。3.1 映射法映射指的就是徐利治教授等概括的“关系映射反演方法”，实际上，它就是化归原则的数学化与形式化。其思维模式图如下图2图23.2 命题转化法例5.解不等式：分析：我们通过“命题转化法”将不等式的未知量由一元转化成二元的特殊情况。 即有 3.3 分割法在解决几何问题时通常采用分割法，在遇到一个复杂的图形时，把这个图形分割成一个或几个简单的图形，方便于我们求解和运用。同样适用于其他数学问题，分析一个大问题时运用分割法转化成与原问题等价的几个小问题，进而使原问题的求解简便化，其模式如下图3图3例6.在如图4的三棱锥中，且，的公垂线段，求证.分析：如果直接求则不容易 求出，注意到， 则平面，平面可用局部法，将原棱锥分割为，则 图43.4 消元法由于求解一元一次方程的问题十分容易，在求两元一次方程组（或元一次方程组）时，我们采取消元，这等价于把解两元（元）一次方程组的问题化归成求一元一次方程的问题。例7.求解方程组解：本题采取“消元”法，通过“加减”、“代入”来解方程组，即： 得 ；再把代入化简可得所以原方程组的解为 .3.5 变形法（1）恒等变形法恒等变形化归法是等价转化思想的体现，表现形式有很多种。如多项式的恒等变形（即把一个多项式用一个与它恒等的多项式替换）、三角式的恒等变形（即把这个三角式用一个恒等与它的三角式代换）、分式的恒等变形、有理式的恒等变形等。恒等变形的目的是把一个复杂的问题通过适当的变化，可以化未知为已知、化暗为明、化繁琐为简便。例8.已知，求.分析：此题采取对对数恒等式的化归，可以把未知的运算化成。因为，所以所以 （2）放缩变形法在不等式的证明中，经常通过“舍掉一些正（负）项”而使得不等式的和变大或减小，或者在分式中把分子和分母通过扩大或减小。这种化归方法是根据不等式的传递性而研究的，是不等价转化思想的体现。例9.求证 .分析：本题通过放缩变形法，使得不等式的值变大或缩小。左边 （放大）右边 （缩小）所以 4 用化归法解题的常用策略4.1 一般化与特殊化相互转化策略一般化与特殊化是经常使用的解题策略，在求解数学问题时，正确运用二者之间彼此转化的技巧。（1）特殊化特殊化是在求解某个一般性的数学问题碰到挫折时，特殊的情形是我们解题的关键所在，进一步把求解特殊情形的思路借鉴和使用与一般问题中，从而使原问题得到解决。（2）一般化一般化是特殊化的相反过程，把一般的题型分解成若干个简单的题型，或者把一般的题型转化成简单的题型，即要想求解问题，先求解一般的问题，通过两者间的联系使问题特殊化，进一步求得问题。例10.计算 .分析：观察这道题目我们发现数字较大，运算繁琐。通过转化使原题目一般化，减少其运算量，进而设，则原式 4.2 数形结合策略数形结合策略是分析问题的关键所在，也是求解问题重要的思路，把数转化成形，把形转化成数，使命题转换，解题方向、解题目标、解题方法都发生了变化，从而为解题带来了很大方便。例11.，求证分析：观察不等式的左边就可以转化成平面上两个点之间的距离公式。左边 可以转化为点到点，的距离之差，因此问题可以转化为证明线段外一点到两端点的距离之差的绝对值小于1。4.3 抽象与直观的相互转化策略例12.设，且，试求的最小值. 分析：为了尽快解决此题，不妨将和分别理解为点和到原点的距离。取等号时，反向共线，此时：4.4 进退互化策略在解题时，有时要以退求进，有时要先考虑进再考虑退，恰当地运用进与退的转化是非常重要策略。一个数学问题，如果直接下手遇到困难时，应调转方向去考虑一个更特殊的问题，从而解决我们遇到的问题。（1） 推进到一般；（2） 以退求进；例13.在锐角中，求证.分析：考虑从局部入手，从一个角的三角函数或两个角的三角函数式着手考虑。因为、为锐角，所以，即因为，所以.由于正弦函数在上是增函数，所以即,同理得,三式相加得4.5 反客为主策略在解一些数学题，有一些明显的主要变量，但是直接解决有困难，因此我们可以转移视线，启动次要变量，甚至启动常量，通过对次要变量或常量的解决，或者通过次要变量或常量在解决过程中反映出来的与主要变量的关系，最终来解决问题。例14.解方程.分析：我们可以采用反客为主的方法，变一元四次方程为一元二次方程，把暂时当成已知数，而把已知数16当作未知数。设，则原方程化为于是 ，即4.6 正反相辅策略我们在求解数学问题时，很多情况下先考虑已知条件，依据一些解题模式，从正面进行思考。如果正向思维解决不了时，进行逆向思维，把正向化为反向。例15.设方程中，至少其中一个方程有实数解，求的所取得值的范围.分析：先考虑当这三个方程都无实数解时的情形。由一元二次方程的判别式得 从而有 所以当方程均为实解时，的取值为 .故当或时，至少一个方程有实数解。4.7 分和并用策略分和并用是在求解问题中进行分割或分解，使原问题化归为几个小问题，然后利用加法、合成使原问题的求解简单化，这就是化一为多、以分求和的策略，分和并用的策略主要为：拼凑、拆与并、割与补等。5 用化归方法解题时应注意的问题（1）在运用化归方法求解有些问题时进行不下去，不能死板的停滞在化归方法上，要勇于创新，在新的领域进行探索，在探索中不断提升自己的能力；（2）进行转化时要有目的和方向，把大问题化为小问题，把复杂问题简单化，确保化归方法的有效进行；（3）注意化归方法间的相等性，使其在逻辑上准确；（4）应用化归方法求解数学问题时，注意学生知识能力的束缚和别的教学能力的阻碍；（5）注重学生的数学的分析问题的能力和解题技巧能力；（6）在学习化归思想的同时，相应的进行其他数学思想的学习。参考文献1马忠林，郑毓信.数学方法论M.广西教育出版社，1996.84.2王子兴.数学方法论M.中南工业大学出版社，1997.63.3任樟辉.数学思维理论M.广西教育出版社，2001.1.4吕凤祥.中学数学解题方法M.哈尔滨工业大学出版社，2003.10.5王连笑.解数学竞赛题的常用策略M.上海教育出版社，2005.10.6罗声雄.数学的魅力：初等数学概念演绎M.武汉出版社，1999.7钱珮玲，邵光华数学思想方法与中学数学M.北京师范大学出版社，2000.3.8罗莎彼得.无穷的玩艺M.南京大学出版社，1985.84.9王仲春，李元中等.数学思维与数学方法论M.北京：高等教育出版社，199110浙江师大学报J.自然科学，2000，B(08):62-63.11朱成杰.数学思想方法数学研究的几项新成果J.数学通报，1996(11)12沈涛.化归思想下的解题策略J.雅安职业技术学院报，2003，(6):84-86.13朱淑花.数学解题中的化归思想J.潍坊学院报，2005，(2):90-92.14毛欣辉.化归法在数学解题中的应用J.宁波教育学院报，2002，4(3):O12-42.15Juli，Gainsburg.Real-world connections in secondary mathematics teachingJ.Journal of Mathematics Teacher Education，2008，Vol.11 (3)：199-219.16A. Susan Gay，Is Problem Solving in Middle School Mathematics “Normal”J.Middle School Journal，1999，Vol.31 (1)：41-47.Reduction method in the application of the middle school mathematicsAbstract:In solving mathematics problems, through the transforming method, can simplify the original problem. With strong direction and purpose . If is more difficult to solve directly, through analysis and observation , with the transforming method will be a huge problem into a simple problem, the unusual or difficult to dea