东南大学几何与代数第四章习题讲解.ppt

,几代习题（第四章）,王小六,东南大学线性代数课程,关于作业,第四章的习题解析参见笔记,错误的说法：线性有关（应该是线性相关）不线性相关（应该是线性无关）,习题四(B)10,1,2,t线性无关,1,2,s线性无关,1,2,t线性无关,1,2,s线性无关,“当且仅当”其实就是“充要条件”,要证两个方向,习题四(B)10,1,2,t线性无关,1,2,s线性无关,错误的证法：,1,2,t线性无关,由k11+k22+kss=，可得k1=k2=ks=0.,k11+k2(1+2)+ks(1+2+s)=,(k1+k2+ks)1+(k2+ks)2+kss=,1,2,s的系数全为0,1,2,s线性无关,习题四(B)12,要求的是“充要条件”,向量组1,2,3线性无关,由k11+k22+ks3=可推出,k1=k2=k3=0.,k11+k22+ks3=只有零解,(1,2,3),k1k2k3,=,只有零解,(a1+b2,a2+b3,a3+b1),k1k2k3,=,只有零解,习题四(B)12,(a1+b2,a2+b3,a3+b1),k1k2k3,=,只有零解,(1,2,3),k1k2k3,=,只有零解,a0bba00ba,k1k2k3,=,只有零解,a0bba00ba,由1,2,3的线性无关,习题四(B)17,与第12题类似,习题四(B)19,求极大无关组，两种方法(1)先求秩r，找r个无关向量(2)将向量以列向量形式构成矩阵，做初等行变换,习题四(B)20(1),xyz,=,2y-3zyz,=,210,-301,y,+z,基向量:(210),(-3,0,1),习题四(B)20(2),2369245,20001000,基向量,行变换,2369245,0030020-1,是基向量(参见引理4.1和例4.15),列变换,不是基向量,习题四(B)23,1T2T,1T2T,=,C,1=c111+c212,2=c121+c222.,C=,c11c12c21c22,因为此时1,2,1,2是行向量，所以,12,12,=,CT,或者等价地，,25（1）向量组正交化后还需单位化,27,29注意两点:(AB)T=BTAT;矩阵乘法不能随意交换,31有两种角度：化成阶梯形；行列式,35其实只需证向量组线性无关（因为已知解空间的维数是3）；如果要说明向量组可以线性表示任一个解向量，请把系数求出来。,注：在此题的证明过程中，有些同学似乎用了这样的错误结论：设k0,k1,kt不全为零，然后得到k0+k1+kt不等于零.,方法一：令线性组合等于零，然后证系数全为零；方法二：先证与Ax=的线性无关的解向量所构成的向量组是线性无关的（需证明），然后再证题中的向量组是无关的,36（2）要说明构成基础解系，前提是不为零向量,37在求导出组的基础解系时，一定要利用导出组的通解来求,40（1）与32题是一样的；（2）线性表示的系数最好要具体写出来.,有的书中此题答案有误：第一行第二个元素应该为-1+2t,本门课程的内容体系,本门课程：研究矩阵的理论,第二章矩阵矩阵的定义和运算；可逆矩阵:特殊矩阵;分块矩阵:为了更方便的运算;初等变换:矩阵之间的一种变换；,第五章：相似变换(方阵),第六章：可逆变换(实对称阵),特征值,惯性指数,矩阵世界，纷繁复杂，如何找到不变的永恒,秩,第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间,寻找向量空间的极小生成元(基),寻找向量组的极大无关组,研究向量组中向量间的关系（线性相关性）,有了基,就有了坐标；,定义内积,引入正交的概念,构造一组标准正交生成元,两个应用,刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间),刻画Ax=b的解空间，即寻找基础解系等,第三章几何空间(R3):可