云南省红河州2018届高三数学复习统一检测试题 理（含解析）.docVIP

2018年红河州高中毕业生统一检测理科数学试卷第卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出，求出与的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【详解】集合中的不等式，解得： 集合，故选：D【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2.2.纯虚数满足z+1z=24i，则的共轭复数为（ ）A. 2i B. 2i C. 4i D. 4i【答案】B【解析】【分析】设z=bi，bR，由复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得b，进而得到所求的共轭复数【详解】由题意，设z=bi，bR，则z+1z=bi+1b=b+bbi=24i, 则复数相等的条件可得b=2bb=4,b=2,z=2i,z=2i. 故选B.【点睛】本题考查复数的模和共轭复数的概念，以及复数相等的条件，考查运算能力，属于基础题3.3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为（ ）A. 112 B. 19 C. 16 D. 14【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出出现向上的点数之和大于8的偶数包含的基本事件的个数，由此能求出出现向上的点数之和大于8的偶数的概率【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=66=36 ，出现向上的点数之和为大于8的偶数包含的基本事件有：4,6,（5，5），6,4,（6，6）， ，共有m=4 个，出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率p=mn=436=19.故选B【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用4.4.等比数列an的首项a1=4，前n项和为Sn，若S6=9S3，则数列log2an的前10项和为（ ）A. 65 B. 75 C. 90 D. 110【答案】A【解析】【分析】由an的首项a1=4，前n项和为Sn，S6=9S3，求出q，可得an=2n+1, ，再求数列log2an前10项和【详解】an的首项a1=4，前n项和为Sn，S6=9S3，41q61q=941q31q， 解得q=2,an=42n1=2n+1, log2an=n+1, 故数列log2an的前10项和为2+3+4+.+11=102+112=65. 故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础5.5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推， 例如6613用算筹表示就是： ，则26337用算筹可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据新定义直接判断即可【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则26337用算筹可表示为，故选：B【点睛】本题考查了新定义的学习，属于基础题6.6.在ABC中，CM=2MB，AN+CN=0，则（ ）A. MN=23AB+16AC B. MN=23AB+76ACC. MN=16AC23AB D. MN=76AC23AB【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点M是靠近点B的三等分点，又点N是AC的中点。MN=MC+CN=23BC+12CA =23(ACAB)12AC =16AC23AB故选C【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.7.7.若x,y满足x2xy+10x+2y20，则x2+y2的最小值为（ ）A. 1 B. 255 C. 13 D. 45【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，由x2+y2的几何意义，计算目标函数的最小值【详解】不等式组x2x-y+10x+2y-20表示的平面区域如图所示，则x2+y2的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，O点到直线x+2y-2=0的距离最小，由点到直线距离公式，可得d=112+22,，所以d2=45. ，所以x2+y2的最小值为45故选D.【点睛】本题主要考查了线性规划以及两点间的距离公式应用问题，利用数形结合是解题的关键8.8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值是（ ）A. 2 B. 12 C. 3 D. 13【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出满足条件i2006时的S值，模拟程序的运行结果，即可得到答案【详解】模拟程序的运行，可得：S=2，i=1； 满足条件i2006，执行循环体，S1+2123，i2 ；满足条件i2006，执行循环体，S131+312，i3 ；满足条件i2006，执行循环体，S1+(12)1(12)13，i4；满足条件i2006，执行循环体，S=1+13113=2，i=5；，观察规律可知：S出现周期为4，当i=2006=4501+2 时，结束循环输出S，即输出的S=12故选：B【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，其中利用模拟程序执行过程的方法，求解程序的运行结果是解答此类问题常用的方法，属于基础题9.9.已知双曲线x2my23m=1 的一个焦点为0,4，椭圆y2nx2m=1的焦距为4，则m+n=（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意可得m=4 ，代入可得椭圆的方程，由焦距可得关于n的方程，解之可得【详解】由题意可得m0，且42=3mm ，解得m=4，故椭圆y2n-x2m=1的方程可化为x2n+y24=1，故其焦距2c=2n4=4或2c=24n=4，解得n=8 ，或n=0 （此时方程不表示椭圆，舍去），故m+n=4故选C【点睛】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的焦距和椭圆的焦距，属中档题10.10.若命题“x6,2，23cos2x+sin(2x3)+m0”为假命题，则m的取值范（ ）A. (32,+) B. (13,+) C. (,32) D. (123,+)【答案】A【解析】【分析】命题“x6,2，23cos2x+sin(2x-3)+m0”是假命题，可得：x6,2，23cos2x+sin(2x3)+m0为真命题由此可求m的取值范围.【详解】x6,2，23cos2x+sin(2x3)+m0为假命题，等价于x6,2，23cos2x+sin(2x3)+m0为真命题不妨设：y=23cos2x+sin(2x3)+m =3(1+cos2x)+12sin2x32cos2x+m=12sin2x+32cos2x+m+3 =sin(2x+3)+m+3由6x2，知232x+343，从而32sin(2x+3)32于是ymin=32+m+3=32+m0，即m32，故选A【点睛】本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.11.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（ ）A. 13 B. 29 C. 23 D. 19【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，根据对应的长方体求出外接球的半径，由柱体、球体的体积公式求出该几何体的体积与其外接球的体积之比【详解】由三视图可知该几何体如图中的三棱锥ABCD，VABCD=13SBCDh=1312242=83，三棱锥外接球的直径2R=AC，从而4R2=AC2=22+22+42=24，于是，外接球的表面积为S=4R2=24，所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为8324=19,故选D【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力12.12.设函数fx=xlnx，gx=12x2，给定下列命题： 若方程fx=k有两个不同的实数根，则k(1e,0)；若方程kfx=x2恰好只有一个实数根，则kx20，总有mgx1gx2fx1fx2恒成立，则m1；若函数Fx=fx2agx有两个极值点，则实数a(0,12).则正确命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，零点，极值以及恒成立问题.【详解】对于，f(x)的定义域(0,+)，f(x)=lnx+1，令f(x)0有lnx1即x1e，可知f(x)在(0,1e)单调递减，在（1e，+）单调递增，f(x)min=f(x)极小值=f(1e)=1e，且当x0时f(x)0，又f(1)=0，从而要使得方程f(x)=k有两个不同的实根，即y=f(x)与y=k有两个不同的交点，所以k(1e,0)，故正确对于，易知x=1不是该方程的根，当x1时，f(x)0，方程kf(x)=x2有且只有一个实数根，等价于y=k和y=xlnx只有一个交点，y=lnx1(lnx)2，又x0且x1，令y0，即lnx1，有xe，知y=xlnx在（0,1）和（1，e）单减，在（e，+）上单增，x=1是一条渐近线，极小值为。由y=xlnx大致图像可知kx20时，mg(x1)g(x2)f(x1)f(x2)恒成立，等价于mg(x1)f(x1)mg(x2)f(x2)恒成立，即函数y=mg(x)f(x)在(0,+)上为增函数，即y=mg(x)f(x)=mxlnx10恒成立，即mlnx+1x在(0,+)上恒成立，令r(x)=lnx+1x，则r(x)=lnxx2，令r(x)0得lnx0，有0x0)有两个不同极值点，等价于F(x)=lnx+12ax=0有两个不同的正根，即方程2a=lnx+1x有两个不同的正根，由可知，02a1，即0a12，则正确.故正确命题个数为3，故选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数有关性质，属于基础题目解题时注意利用数形结合，通过函数图象得到结论第卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.13.在ABC中，A=23，AB=2，且ABC的面积为32，则BC=_.【答案】7【解析】【分析】根据三角形的面积公式，代入题中数据算出AC=1，再根据余弦定理加以计算，可得|BC=7【详解】由面积S=12ABACsinA=122AC32=32，可得AC=1，由余弦定理可得BC2=AB2+AC22ABACcos23=7，所以BC=7.【点睛】本题给出三角形的一边、一角，在已知面积的情况下求另一边长着重考查了余弦定理、三角形的面积公式等知识，属于基础题14.14.若0nx5dx=25，则2x1n的二项展开式中x2的系数为_【答案】180【解析】0n|x5|dx=25，n=10则(2x1)10的二项展开式中，x2的系数为C10222(1)8=180即答案为18015.15.设函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x0)的焦点F的直线与该抛物线相交于A,B两点，且FA=2FB，若直线AB被圆x2+y2=2p所截得的弦长为4，则p=_.【答案】3或6【解析】【分析】由题设直线AB方程为x=my+p2，代入y2=2px有y22pmxp2=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则根据FA=2FB可得y1=2y2，结合韦达定.理可得m=24，又由直线AB被圆x2+y2=2p所截得的弦长为4，即可求出p【详解】抛物线y2=2px(p0)的焦点F(p2,0)，设直线AB方程为x=my+p2，代入y2=2px有y22pmxp2=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，从而y1+y2=2pm ，y1y2=p2， 由FA=2FB可得y1=2y2，联立可得m=24，于是直线AB方程为x=24y+p2，即4x2y2p=0，从而圆心(0,0)到直线AB的距离为d=2p18，又圆的半径为r=2p，弦长为4，从而有2p4p218=4，解得p=3或6.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线被圆所截得的弦长的求法，属于中档题三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.17.已知数列an是首项为正数的等差数列，数列1anan+1的前n项和为n2n+1.（1）求数列bn的通项公式；（2）设bn=(an+1)2an，求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n1；(2)Tn=4+(3n1)4n+19.【解析】（）设数列an的公差为d，令n=1,得1a1a2=13，所以a1a2=3.令n=2,得1a1a2+1a2a3=25，所以a2a3=15.解得a1=1,d=2，所以an=2n1.（）由（）知bn=2n22n4=n4n,所以Tn=141+242+.+n4n,所以4Tn=142+243+.+(n1)4n+n4n+1,两式相减，得3Tn=41+42+.+4nn4n+1=4(14n)14n4n+1=13n34n+143,所以Tn=3n194n+1+49=4+(3n1)4n+19.考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.视频18.18.某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图（物理成绩用表示，化学成绩用表示）（图1）和生物成绩的茎叶图（图2）. （图1）住校生 非住校生 2 6 9 8 5 4 4 3 1 7 4 5 7 7 9 9 6 5 8 2 2 5 7 （图2）（1）若物理成绩高于90分，我们视为“优秀”，那么以这20人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；（2）若化学成绩高于80分，我们视为“优秀”，根据图1完成如下列联表，并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；住校非住校优 秀非优秀附：（K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d）PK2k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）若生物成绩高于75分，我们视为“良好”，将频率视为概率，若从全年级学生中任选3人，记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量，求出的分布列和数学期望.【答案】（1）710；（2）没有；（3）95.【解析】【分析】（1）由图（1）可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人.记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件A，利用古典概型可求至少有1人是住校生的概率；（2）根据题意列出列联表，求出K2，即可判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；（3）由图（2）可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为1220=35， 故从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数服从二项分布，由此可求的分布列和数学期望.【详解】（1）由图（1）可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人.记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件A，则P(A)=C22+C21C31C52=710. （2）列联表为住校非住校优 秀84非优秀26计算K2=20(86-24)21281010=1033.3， 经查表K23.33.841, 故没有95%的把握认为优秀率与住校有关； （3）由图（2）可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为1220=35， 故从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数服从二项分布，分布列为（或B(3,35)）：0123P8125361255412527125数学期望为E()=np=335=95.【点睛】本题考查古典概型，独立性检验及二项分布的有关知识，属中档题.19.19.如图所示，三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，ABC是边长为4的正三角形，BCD是顶角BCD=120的等腰三角形，点P为BD的上的一动点.（1）当BD=3BP时，求证：AP BC；（2）当直线AP与平面BCD所成角为60时，求二面角PACB的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）证明；取BC中点为M，连接MA，MP，由ABC为正三角形知BCAM，由余弦定理可证BCMP，即BC平面AMP，即可证明AP BC；（2）以点M为坐标原点，MB,MQ,MA所在直线分别为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角P-AC-B的余弦值.【详解】（1）证明；取BC中点为M，连接MA，MP，由ABC为正三角形知BCAM，在BCD中BD=43，可得BP=13BD=433，BMP中，由余弦定理可得MP2=BM2+BP2-2BMBPcos30=43，从而MP2+BM2=4+43=163=BP2，即BCMP， 所以BC平面AMP，于是BC AP，即AP BC； （2）由（1）知AM平面BCD，则AP与平面BCD的夹角为APM=60，在直角APM中，可得PM=2，则点P为线段BD的中点， 以点M为坐标原点，MB,MQ,MA所在直线分别为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系（由（1）知点Q为靠近B的三等分点）,则点A(0,0,23),B(2,0,0),C(-2,0,0),Q(0,233，0)，从而AC=(-2，0，-23)，AB=(2，0，-23)，BQ=(-2，233，0)， 于是AP=AB+BP=AB+12BD=AB+32BQ=(-1,3,-23)，设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z)，则mAC=0mAP=0，即x+3z=0x-3y+23z=0，不妨取z=1，得m=(-3,1,1)， 又平面ABC的一个法向量为MQ=(0,233，0)，从而cos=MQmMQm=2335233=55，故二面角P-AC-B的余弦值为55.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属中档题.20.20.设A,B分别是x轴，y轴上的两个动点，点R在直线AB上，且AR=32RB，AB=2+3.（1）求点R的轨迹C的方程；（2）设点M2，0，N2，0，过点F1，0的直线与曲线C交于P,Q两点（P在x轴上方），若MP与NQ的斜率分别为k1,k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】（1）x24+y23=1；（2）13.【解析】【分析】（1）设R(x,y)，A(m,0),B(0,n)，则由AR=32RB知(x-m,y)=32(-x,n-y)，由从而x-m=32(-x)y=32(n-y)，即m=2+32xn=2+33y由AB=2+3，得到动点R的轨迹C的方程（2）设直线PQ方程为x=my+1，且P(x1,y1),Q(x2,y2)，集合韦达定理可求得k1k2为定值13.【详解】（1）设R(x,y)，A(m,0),B(0,n)，由AR=32RB知(x-m,y)=32(-x,n-y)， 从而x-m=32(-x)y=32(n-y)，即m=2+32xn=2+33y， 由AB=2+3知m2+n2=（2+3）2，联立可得x24+y23=1，即为点R的轨迹C的方程.（2）设直线PQ方程为x=my+1，且P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立x=my+1x24+y23=1可得(3m2+4)y2+6my-9=0，从而y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，于是my1y2=32(y1+y2)，又k1k2=y1x1+2x2-2y2=y1(my2-1)y2(my1+3)=my1y2-y1my1y2+3y2=32(y1+y2)-y132(y1+y2)+3y2=y1+3y23(y1+3y2)=13，故k1k2为定值13.【点睛】本题考查曲线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21.21.已知函数f(x)=x2(a+2)x+alnx，其中常数a0（）当a2，求函数f(x)的单调递增区间； （）设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(x0)处的切线方程为l:y=g(x)， 若h(x)g(x)xx00在D内恒成立，则称P为函数y=h(x)的“类对称点”，当a=4时，试问y=f(x)是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a2,+)，单调递减区间为(1,a2)；（）当x0=2时，函数y=f(x)存在“类对称点”【解析】试题分析：（）求出函数的导数，结合的范围求出函数的单调区间即可；（）法一：a=4时，求出f(x)的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0xx0时，f(x)2，a21由f(x)0，即2(xa2)(x1)x0得0xa2， 由f(x)0得1xa2；所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a2,+)，单调递减区间为(1,a2)；（）解法一：当a=4时，f(x)=2x26x+4x所以在点P处的切线方程为g(x)=2x06x0+4x0(xx0)+x026x0+4lnx0 令(x)=f(x)g(x)则(x)=x26x+4lnx(2x0+4x06)(xx0)(x026x0+4lnx0)易知(x0)=0； 又(x)=2x+4x6(2x0+4x06) =2(xx0)(12x0x)=0则x=x0或x=2x0当0x0x0，令(x)0，则x0x2x0，所以函数(x)在(x0,2x0)上单调递减，所以当x(x0,2x0)时，(x)(x0)=0，从而有x(x0,2x0)时，(x)xx02时，2x0x0，令(x)0，则2x0x(x0)=0，从而有x(2x0,x0)时，(x)xx0x0时，(x)(x0)=0，(x)xx00当xx0时，(x)0故(x)xx00恒成立所以当x0=2时，函数y=f(x)存在“类对称点”.（）解法二当a=4时，f(x)=2x26x+4x所以在点P处的切线方程为g(x)=2x06x0+4x0(xx0)+x026x0+4lnx0若函数f(x)=x2(a+2)x+alnx存在“类对称点” P(x0,f(x0)则等价当0xx0时，f(x)x0时f(x)g(x)恒成立 当0xx0时f(x)g(x)恒成立，等价于x26x+4lnx2x026x0+4x0(xx0)+x026x0+4lnx0恒成立即x0x2(2x02+4)x+4x0lnx+x03+4x04x0lnx00令(x)=x0x2(2x02+4)x+4x0lnx+x03+4x04x0lnx0而(x0)=0(