高考数学一轮复习 必考部分 第五篇 数列 第2节 等差数列课件 文 北师大版.pptVIP

第2节等差数列,知识链条完善把散落的知识连起来,提示:充分必要条件.2.如何推导等差数列的通项公式?提示:可用累加法.3.如何推导等差数列的前n项和公式?提示:利用倒序相加法推导.,知识梳理,1.等差数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的都等于常数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为.(n2,nN*,d为常数).,差,2.等差数列的通项公式(1)若等差数列an的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an=.(2)通项的推广:an=am+()d.,a1+(n-1)d,n-m,同一个,an-an-1=d,4.等差数列an的性质(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,qN*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq=(p,q,mN*).(2)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列.(3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)成等差数列.(4)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.,2am,5.等差数列的增减性与最值公差d0时为递数列,且当a10时,前n项和Sn有最值.,增,小,减,大,6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图像上,即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图像是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点.,【拓展提升】1.等差数列an中,若am=n,an=m,则am+n=0.2.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=Sn(mn),则Sm+n=0.3.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).,夯基自测,1.(2015高考新课标全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于()(A)5(B)7(C)9(D)11,A,C,D,解析:设数列的首项为a1,则a1+2015=21010=2020,所以a1=5,故该数列的首项为5.,4.(2015高考陕西卷)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.,答案:5,答案:27,考点专项突破在讲练中理解知识,考点一等差数列的基本量运算,解析:(1)根据已知得a1+2d=7且6a1+15d=51,消去a1,解得d=3.故选B.,【例1】(1)(2015榆林模拟)等差数列an前n项和为Sn,a3=7,S6=51,则公差d的值为()(A)2(B)3(C)-3(D)4,答案:(1)B,如何列方程组？,解析:(2)由2d=a3-a1=5-1=4得d=2,所以an=1+(n-1)2=2n-1,由Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,得k=8.故选A.,(2)(2015河南三市联考)设Sn为等差数列an的前n项和,a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为()(A)8(B)7(C)6(D)5,答案:(2)A,(3)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn=.,反思归纳,等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可知三求二.解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想.,解析:(1)因为a1=0,所以ak=(k-1)d,所以a1+a2+a3+a7=(1+2+3+4+5+6)d=21d=(k-1)d,所以k=22.故选A.,【即时训练】(1)(2015河南六市第一次联考)在等差数列an中,首项a1=0,公差d0,若ak=a1+a2+a3+a7,则k等于()(A)22(B)23(C)24(D)25,(2)(2015郑州第一次质量预测)等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=0,则公差d等于()(A)-1(B)1(C)2(D)-2,等差数列的判断与证明,【例2】(2014高考新课标全国卷)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;,(1)证明:由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.,由Sn于an的关系式，用什么方法解题？,(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,(2)解:存在满足题意的,由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1,令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.,等差数列求参数，先求数列的前三项，再用中项性质,反思归纳,判定数列an是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意nN*,an+1-an是同一个常数;(2)等差中项法:对任意n2,nN*,满足2an=an+1+an-1;(3)通项公式法:数列的通项公式an是n的一次函数;(4)前n项和公式法:数列的前n项和公式Sn是n的二次函数,且常数项为0.,(2)求Sn及an.,考点三等差数列的性质,答案:(1)B,等差数列的性质？,答案:(2)D,(2)(2015兰州高三诊断)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于()(A)18(B)36(C)54(D)72,答案:(3)60,(3)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为.,反思归纳,一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,m,p,qN*).,答案:(1)B,【即时训练】(1)等差数列an中,a1+a7=26,a3+a9=18,则数列an的前9项和为()(A)66(B)99(C)144(D)297,答案:(2)B,(2)设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,且a10,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于()(A)6(B)7(C)8(D)9,解析:(2)因为S5=S9,所以a6+a7+a8+a9=0.又a6+a9=a7+a8,所以a7+a8=0,又a10,所以a70,a80,前n项和为Sn,且满足a2a3=45,a1+a4=14.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn;,【例4】在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等