2019届高考数学二轮复习 专题综合检测练（三）文.doc

专题综合检测练（三）(120分钟150分)第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16【解析】选B.由三视图可画出立体图该立体图各面中只有两个相同的梯形的面,S梯=2+422=6,S全梯=62=12.2.(2018合肥一模)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.0条或2条【解析】选C.因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形,所以该三棱锥中与平面平行的棱有2条.3.已知m,n是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n.有下列命题:若,则m,n可能平行,也可能异面;若=l,且ml,nl,则;若=l,且ml,mn,则.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.对于,直线m,n可能平行,也可能异面,故是真命题;对于,直线m,n同时垂直于公共棱,不能推出两个平面垂直,故是假命题;对于,当直线nl时,不能推出两个平面垂直,故是假命题.故真命题的个数为1.4.(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2+1B.2+3C.32+1D.32+3【解析】选A.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥组合成的,圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥底面是斜边为2的等腰直角三角形,高也为3,所以该几何体的体积为:V=1231312+2112313=2+1.5.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为()A.72+6B.72+4C.48+6D.48+4【解析】选A.由三视图知,该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示),其表面积为162+(16-4+)2+422+14224=72+6.6.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为5003的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为16,则该三棱锥的高的最大值为()A.4B.6C.8D.10【解析】选C.依题意,设题中球的球心为O,半径为R,ABC的外接圆半径为r,则4R33=5003,解得R=5,由r2=16,解得r=4,又因为球心O到平面ABC的距离为R2-r2=3,因此三棱锥P-ABC的高的最大值为5+3=8.7.(2018洛阳一模)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上,PC为该球的直径,ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥P-ABC的体积为163,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.163B.403C.643D.803【解析】选D.依题意,记三棱锥PABC的外接球的球心为O,半径为R,点P到平面ABC的距离为h,则由VP-ABC=13SABCh=133442h=163得h=433.又PC为球O的直径,因此球心O到平面ABC的距离等于12h=233.又正ABC的外接圆半径为r=AB2sin60=433,因此R2=r2+2332=203,所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4R2=803.8.九章算术商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2 000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛1.62立方尺,3),则圆柱底面圆周长约为()A.1丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D.48丈6尺【解析】选B.设圆柱底面圆半径为r尺,高为h尺,圆柱高1丈3尺313寸,即h=1313尺,依题意,圆柱体积V=r2h3r21313=2 0001.62,所以r2=81,即r=9,所以圆柱底面圆周长约为2r54,54尺=5丈4尺,即圆柱底面圆周长约为5丈4尺.9.在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A-BCD中,AB平面BCD,且BDCD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是()【解析】选A.如图,作PQBC于Q,作QRBD于R,连接PR,则由鳖臑的定义知PQAB,QRCD,PQQR.设AB=BD=CD=1,CP=x(0x1),则CPAC=x3=PQ1,即PQ=x3,又QR1=BQBC=APAC=3-x3,所以QR=3-x3,所以PR=PQ2+QR2=x32+3-x32=332x2-23x+3,又由题知PRBD,所以f(x)=362x2-23x+3=66x-322+34,结合选项知选A.10.(2018西安一模)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12 cm,深2 cm的空穴,则该球的表面积是()A.100 cm2B.200 cm2C.4003 cm2D.400 cm2【解析】选D.设球的半径为r,如图所示阴影部分以上为浸入水中部分,由勾股定理可知,r2=(r-2)2+62,解得r=10.所以球的表面积为4r2=4100=400(cm2).11.(2018湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为12L2,则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是()A.0,12B.12,1C.0,22D.22,1【解析】选D.设圆锥的高为h,过顶点的截面的顶角为,则过顶点的截面的面积S=12L2sin ,而0rLcos 45=22L,所以22rL1.12.(2018太原一模)如图,已知在多面体ABC-DEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC平面DEFG,平面BEF平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.过点C作CMAB,过点B作BMAC,且BMCM=M,取DG的中点N,连接FM,FN,CN,CF,如图所示.易知ABMC-DEFN是长方体,且三棱锥F-BCM与三棱锥C-FGN的体积相等,故几何体的体积等于长方体的体积4.第卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)13.(2018武昌二模)在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是_.【解析】假设AC与BD垂直,过点A作AEBD于点E,连接CE,如图所示,则AEBD,BDAC.又AEAC=A,所以BD平面AEC,从而有BDCE,而在平面BCD中,CE与BD不垂直,故假设不成立,错误.假设ABCD,因为ABAD,ADCD=D,所以AB平面ACD,所以ABAC,由ABBC可知,存在这样的直角三角形BAC,使ABCD,故假设成立,正确.假设ADBC,因为DCBC,ADDC=D,所以BC平面ADC,所以BCAC,即ABC为直角三角形,且AB为斜边,而ABBC,故矛盾,假设不成立,错误.答案:14.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的_.【解析】由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为122(2+4)=6的四棱锥,其体积为1362=4.而直三棱柱的体积为12224=8,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的12.答案:1215.已知在三棱锥P-ABC中,VPABC=433,APC=4,BPC=3,PAAC,PBBC,且平面PAC平面PBC,那么三棱锥P-ABC的外接球的体积为_.【解析】如图,取PC的中点O,连接AO,BO,设PC=2R,则OA=OB=OC=OP=R,所以O是三棱锥P-ABC外接球的球心,易知,PB=R,BC=3R,因为APC=4,PAAC,O为PC的中点,所以AOPC,又平面PAC平面PBC,且平面PAC平面PBC=PC,所以AO平面PBC,所以VP-ABC=VAPBC=1312PBBCAO=1312R3RR=433,解得R=2,所以三棱锥P-ABC外接球的体积V=43R3=323.答案:32316.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_.【解析】设正方体的棱长为a,连接A1E,可知D1FA1E,所以异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角,在AEA1中,cosAEA1=a2+a22+a2+a22-a22a2+a22a2+a22=35.答案:35三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED.(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD,因为BE平面ABCD,所以ACBE,因为BEBD=B,所以AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=1312ACGDBE=624x3=63.故x=2.所以AB=BD=BC=2,从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.18.(12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点.(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.【解析】(1)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.因为DEPD=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点. (2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,因为PAPC=P,所以EF平面PAC,即点F为点E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=1312222=43.名师点睛:立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.【解题指南】(1)由ABAP,ABPD,得AB平面PAD即可证得结果.(2)在平面PAD内,作PEAD,设AB=x,则四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3,解得x=2,可求出四棱锥的侧面积.【解析】(1)由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,因为PAPD=P,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD,垂足为点E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,因为ADAB=A,所以PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.名师点睛:证明面面垂直,先由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直;计算点面距离时,如直接求不方便,应首先想到转化,如平行转化、对称转化、比例转化等,找到方便求值时再计算,可以减少运算量,提高准确度,求点面距离有的能直接求出就直接求出,不方便直接求出的看成三棱锥的高,利用等体积法求出.20.(12分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC.(2)ADAC.【证明】(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又因为ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC,又因为AC平面ABC,所以ADAC.名师点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.21.(12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点