2019年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 曲线与方程讲义（含解析）湘教版选修2-1.doc

25曲线与方程第一课时曲线与方程读教材填要点曲线的方程、方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：点在曲线上点的坐标满足方程即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线小问题大思维1如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)0；若f(x0，y0)0，则点P在曲线f(x，y)0上，点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)0.2“曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别？提示：“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系而“方程的曲线”则强调的是数量关系表示的图形曲线的方程与方程的曲线的概念 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系自主解答(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解；但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性注意只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，但“以方程f(x，y)0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确答案：B用直接法求曲线方程 已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程自主解答设动点M的坐标为(x，y)，且M到x轴的距离为d，那么M属于集合M|d|MF|由距离公式得|y|，整理得x28y160，即yx22.所求点M的轨迹方程是yx22.把本例中的“x轴”改为“直线x4”，求点M的轨迹方程解：设动点M的坐标为(x，y)，则|x4|，整理得xy2y，点M的轨迹方程为xy.利用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系，列出x，y之间的关系式，构成F(x，y)0，从而得出所求动点的轨迹方程要注意求轨迹方程时去杂点，找漏点2已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|MA|2|MB|，求动点M的轨迹方程解：设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式， 得|MA| ，|MB|.又|MA|2|MB|，2.两边平方，并整理得3x23y22y8x30，即所求轨迹方程为22.用定义法求曲线方程如图，在圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程自主解答由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|5.M点轨迹为椭圆由椭圆的定义知：a，c1，b2a2c21.所求轨迹方程为：1.如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征3已知B，C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：如图，建立直角坐标系，使x轴经过点B，C，原点O与BC的中点重合由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，|AB|AC|10|BC|6.即点A的轨迹是椭圆，且2c6,2a10.c3，a5，b2a2c225916.但当点A在直线BC上，即y0时，A，B，C三点不能构成三角形点A的轨迹方程是1(y0)用相关点法求曲线方程 已知圆x2y29，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，点M在PP上，并且2，求点M的轨迹自主解答设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0x，y03y.因为P(x0，y0)在圆x2y29上，所以xy9.将x0x，y03y代入，得x29y29，即y21.所以点M的轨迹是一个椭圆若将“点M在PP上，并且2”改为“点M在直线PP上，并且 (0)”，则M点的轨迹是什么？解：设M(x，y)，P(x0，y0)，PPx轴，且|PM|PP|，xx0，yy0，即x0x，y02y.点P(x0，y0)在圆x2y29上，xy9.把x0x，y02y代入上式得，1.所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆此类题的解题步骤是先设出点P和M的坐标，根据条件写出P点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示P点的坐标，并代入P点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程动点M与曲线上的点P称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法4已知点A是椭圆y21上任意一点，O为坐标原点，求线段OA的中点P的轨迹方程解：设P(x，y)，A(x1，y1)，P为OA中点，x，y，x12x，y12y.又点A在椭圆上，y1.(2y)21.1即为所求点P的轨迹方程解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程解法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，M为AB中点，A(2x,0)，B(0,2y)l1l2，且l1，l2过点P(2,4)，PAPB.kPAkPB1.kPA(x1)，kPB，1，即x2y50(x1)当x1时，A(2,0)，B(0,4)此时AB中点M的坐标为(1,2)，它也满足方程x2y50，所求点M的轨迹方程为x2y50.法二：设M(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，l1l2，PAB为直角三角形，|PM|AB|.即 .化简得x2y50，所求点M的轨迹方程为x2y50.1已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么()A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0B凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在C上C不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)0D不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0解析：设满足方程f(x，y)0的点组成的集合为M，曲线C上的所有点组成集合N，由题意可知MN.答案：C2下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析：对于A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除C.答案：D3下列方程中与方程x2y0表示同一曲线的是()A|x|0B.1Cx2|y|0D2ln xln y0解析：根据曲线与方程的关系，若两个方程表示同一曲线，则其方程在形式上必须能统一，且其中的变量范围也必须一致本题中的方程x2y0表示顶点在原点，且开口向上的抛物线C项方程中，yR，即yx2表示两条抛物线，A、B、D三项中的方程都能化为x2y0.但在B项中y0，它表示一条除去顶点的抛物线；D项中有x0，y0，它表示抛物线在y轴右侧部分答案：A4到点F(2,0)和y轴的距离相等的点的轨迹方程是_解析：设M(x，y)为轨迹上任意一点，则|x|，(x2)2y2x2.即y24x4.答案：y24(x1)5由动点P向圆x2y21引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB60，则动点P的轨迹方程为_解析：易求|PO|2，故P点的轨迹方程为x2y24.答案：x2y246已知线段AB与CD互相垂直且平分于点O，且|AB|4，|CD|8，动点P满足|PA|PB|PC|PD|，求动点P的轨迹方程解：如图所示，分别以CD，AB所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系则O(0,0)，C(4,0)，D(4,0)，A(0，2)，B(0,2)设动点P(x，y)，则由|PA|PB|PC|PD|，得.化简，得x2y26.此为所求动点P的轨迹方程一、选择题1直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A|x|y|1B|xy|1C|x|y|1D|xy|1解析：设M(x，y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点M到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.由题意知|x|y|1.答案：C2已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x)Dx2y24(x2)解析：设P(x，y)，因为MPN为以MN为斜边的直角三角形，MP2NP2MN2，(x2)2y2(x2)2y216.整理得，x2y24.M，N，P不共线，x2.轨迹方程为x2y24(x2)答案：D3已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()AB4C8D9解析：设P(x，y)，代入|PA|2|PB|，得(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4.答案：B4已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()解析：由2log2y2log2x，得log2y2log24x，y24x(x0，y0)，即y2(x0)答案：A二、填空题5方程x22y24x8y120表示的图形为_解析：对方程左边配方得(x2)22(y2)20.(x2)20,2(y2)20，解得从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)6在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则动点P的轨迹方程是_解析：由4得x1y24，因此所求轨迹方程为x2y40.答案：x2y407.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PMy轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且4，则动点P的轨迹方程为_解析：由已知M(0，y)，N(x，y)，则(x，y)(x，2y)x22y24，即1.答案：18已知A(2,0)，B(1,2)，点C在直线2xy30上移动，则ABC重心G的轨迹方程为_解析：设G(x，y)，C(x，y)G是ABC的重心，且A(2,0)，B(1,2)，又C(x，y)在直线2xy30上，2xy30，即2(3x1)(3y2)30.化简得：6x3y70.A(2,0)，B(1,2)，C(3x1,3y2)共线的条件是，即2x3y40.解方程组得故方程中含有轨迹外的一个点，应去掉从而ABC的重心G的轨迹方程是6x3y70.答案：6x3y70三、解答题9.如图，已知点F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且.求动点P的轨迹C的方程解：设P(x，y)，则Q(1，y)(x1,0)，(2，y)(x1，y)，(2，y)由，得2(x1)0(y)2(x1)y2，整理得y24x.即动点P的轨迹C的方程为y24x.10已知ABC中，三边cba，且a，b，c成等差数列，b2，试求顶点B的轨迹方程解：如图，以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系由于b|AC|2，则A点坐标为(1,0)，C点坐标为(1,0)因为a，b，c成等差数列，所以2bac，即4|BC|AB|.设B点坐标为(x，y)，则|AB|，|BC|.所以4.移项，两边平方并整理，得4x2，两边再平方，并整理，得3x24y212.方程两边同除以12，得1.又ca，即|AB|BC|，且A，B，C三点不共线，所以0x2.所以适合题意的动点B的轨迹方程为1(0x0)、点F和直线l(Fl)，设动点P到F的距离和到l的距离之比等于e，则P的轨迹是圆锥曲线F是这条圆锥曲线的焦点，l称为它的准线当e1时是双曲线小问题大思维1中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(c,0)，F2(c,0)对应的准线方程分别是什么？提示：准线方程分别为x，x.2中心在原点，焦点在y轴上的椭圆与双曲线，与焦点F1(0，c)，F2(0，c)对应的准线方程分别是什么？提示：准线方程分别是y，y.由曲线方程求焦点坐标和准线方程 求下列曲线的焦点坐标和准线方程(1)1；(2)1；(3)4y29x236；(4)y22x；(5)x24y0.自主解答(1)由方程知椭圆焦点在x轴上，且a24，b23，则c1.焦点坐标为(1,0)，(1,0)，准线方程为x4.(2)由方程知双曲线焦点在x轴上，且a2122，b252，则c13.焦点坐标为(13,0)，(13,0)，准线方程为x.(3)将方程化为标准方程1，它表示焦点在y轴上的双曲线，且a29，b24，则c.焦点坐标为(0，)，(0，)，准线方程为y.(4)方程表示开口向左，顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线，且2p2，.焦点坐标为，准线方程为x.(5)将方程化为标准方程x24y，它表示开口向下，顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，且2p4，1.焦点坐标为(0，1)，准线方程为y1.(1)由圆锥曲线求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值a，b，c或p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程(2)注意椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线1求下列曲线的焦点坐标和准线方程(1)2x2y24；(2)3x23y22；(3)x23y0.解：(1)将方程化为标准方程1，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a24，b22，则c，故焦点坐标为(0，)，(0，)，准线方程为y2.(2)将方程化为标准方程1，它表示焦点在x轴上的双曲线，且a2，b2，则c，故焦点坐标为，准线方程为x.(3)将方程化为标准方程x23y，它表示焦点在y轴的正半轴上的抛物线，2p3，.故焦点坐标为，准线方程为y.求圆锥曲线的方程 已知椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，焦距为2，一条准线方程为y5，求椭圆的标准方程自主解答依题意，设所求椭圆的标准方程为1(ab0)则解得a25，b24.椭圆的标准方程为1.解决圆锥曲线问题的一般步骤是：一定曲线种类，二定曲线的焦点位置，三定标准方程的形式，四定对应参数值，即定类、定位、定形、定参2已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，一条准线的方程为5y30，求此双曲线的方程解：由双曲线的准线方程为y，渐近线方程为3x4y0，可设双曲线标准方程为1.依题意，有设a3k，b4k，则c5k.代入得a，b.所求双曲线方程为1.圆锥曲线统一定义的应用 椭圆1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离自主解答椭圆1中，a2100，b236，则a10，c8，离心率为e.根据圆锥曲线的统一定义得，点P到椭圆的左焦点的距离为10e8.再根据椭圆的定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20812.解决此类圆锥曲线上的点到焦点和准线的距离问题的一般思路是利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线上点到两个不同焦点距离之间的转化来解决3设椭圆1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，求P到右准线的距离解：由椭圆的定义知，2m314，又m1，m2.椭圆方程为1，c1，e.设点P到右准线的距离等于d，由圆锥曲线的统一定义得，d2.即点P到右准线的距离等于2.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知椭圆1内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MPMF的值最小巧思题设中F是椭圆的右焦点，是椭圆的离心率的倒数，由圆锥曲线的统一定义可知：MF就是椭圆上P点到相应准线的距离，观察图形，便可解决问题 .妙解由椭圆方程1，知a，b2，c1，e .设点M在右准线l上的射影为M1，根据圆锥曲线的统一定义，得，即MFMM1，MPMFMPMM1，观察图形可知，当P，M，M1三点共线时，MPMM1的值最小，即MPMF的值最小于是，过点P作准线l的垂线y1，由解得M.1“双曲线的方程为1”是“双曲线的准线方程为x”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：令双曲线的方程为1为，双曲线的准线方程为x为，则有，但 .答案：A2以双曲线x2y22的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是()Ax2y24x30Bx2y24x30Cx2y24x50 Dx2y24x50解析：易知右焦点为F(2,0)，右准线x1，r1.即圆的方程为(x2)2y21.答案：B3椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：两焦点间的距离为2c，两准线间的距离为，依题意有2c，a23c2.e.答案：B4曲线25x29y2225的准线方程为_解析：由25x29y2225，得1，a5，b3，c4.准线方程为y.答案：y5若双曲线y21(m0)上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则m_.解析：由题意知双曲线的离心率为3，则3，解得m.答案：6判断下列各动点的轨迹表示的曲线是否为圆锥曲线；若是，是哪一种圆锥曲线(1)定点F，定直线为l，Fl，动点M到定点F的距离MF与该点到定直线l的距离d的比为2；(2)定点F，定直线为l，Fl，动点M到定直线l的距离d与动点M到定点F的距离MF的比为5；(3)到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹；(4)定点F不在定直线l上，到定点F的距离与到定直线l的距离的比大于1的点的轨迹解：(1)21，动点的轨迹是双曲线(2)5，动点的轨迹是椭圆(3)当Fl时，动点的轨迹是过点F且与l垂直的直线；当Fl时，动点的轨迹是抛物线(4)动点的轨迹不是双曲线，因为比大于1不一定是常数，动点的轨迹是一个平面区域一、选择题1如果双曲线1右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则点P到左准线的距离为()A.B.C8D10解析：设左、右焦点分别为F1，F2，则由双曲线定义|PF1|PF2|2a8，且点P在右支上，可求得|PF1|10.设P到左准线的距离为d，则由统一定义知，d8.答案：C2椭圆1的准线平行于y轴，则实数m的取值范围为()A.B(1，)C.D.(1，)解析：由题意知解得m，且m1.答案：D3已知椭圆C：y21的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交椭圆C于点B.若3，则|()A2B.C.D.解析：过点B作BMl于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知e，FN1.由题意3，故BMFN.又由圆锥曲