上半中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题初级中学.pdfVIP

年上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学） （满分： 分 考试时间： 分钟） 题号一二三四五六总分统分人签字 得分 得分评卷人 一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分。 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填入题后 的括号内） 极限 （ ）的值是（ ）。 下列级数中，不收敛 的是（ ）。 （ ） ！ 方程 所确定的二次曲面是（ ）。 椭球面 旋转双曲面 旋转抛物面 圆柱面 若函数 （）在，上黎曼可积，则 （）在，上（ ）。 连续 单调 可导 有界 矩阵 的牲值的个数为（ ）。 二次型 是（ ）。 正定的 半正定的 负定的 半负定的 下面不属于 第三学段“数与代数”内容的是（ ）。 实数 平均数 代数式 函数 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。 下面的 表述不适合 在教学培养学生创新意识的是（ ）。 发现和提出问题 寻求解决问题的不同策略 规范数学书写 探索结论的新应用 得分评卷人 二、简答题（本大题共 小题，每小题 分，共 分。） 设质点在平面上的运动轨迹为 ， ， ，求质点在时刻 的速度的大小。 设球面方程 ，求它在点（，）处的切平面方程。 设概率空间为 ，且这六个数的出现概率均为 。 设事件 ， ，事件 ，。 请回答事件 和 是否独立，并说明理由。 义务教育数学课程标准（ 年版）有两类行为动词，其中一类是描述结果目标的行 为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”，请以“平行四边形”概念为例，说明“理解”的基本 含义。 以“三角形的中位线定理”教学为例，简述数学定理教学的主要环节。 得分评卷人 三、解答题（本大题 小题， 分。） 设 ，求子空间 （） 的一组正交基。 得分评卷人 四、论述题（本大题 小题， 分。） “严谨性与量力性相结合”是数学教学的基本原则。 （）简述严谨性与量力性相结合教 学原则的内涵（ 分）；（）初中数学教学中“负负得正”运算法则引入的方式有哪些？ 请写出至 少两种（ 分）；（）在初中“负负得正”运算法则的教学中，如何体现“严谨性与量力性相结合” 的教学原则？ （ 分） 得分评卷人 五、案例分析题（本大题 小题， 分。）阅读案例，并回答问题。 案例： 在“有理数运算”的习题课上，有这样一道题： 计算： （ ） 。 学生甲的计算： （ ） 。 学生乙的计算： （ ） 学生丙的计算： （ ） （ ） 。 问题： （）判断学生甲、乙、丙的运算过程是否正确；（ 分） （）请指出学生运算过程中的错误，并分析产生错误的原因；（ 分） （）针对有理数的运算，谈谈如何提高学生的运算能力。 （ 分） 得分评卷人 六、教学设计题（本大题 小题， 分）。 针对“一元二次议程”起始课的教学，两位老师给出了如下教学设计片段： 【教师甲】 设置问题：请同学们根据下列问题，只列出含未知数 的方程： （）一个正方形的面积为 ，求正方形的边长 。 （）长度为 的线段 有一点 ，且满足 ，求线段 的长 。 预设：学生会分别列出两个方程。 教师要求学生分别整理成方程左侧降幂排列，右侧为零的形式，然后引导学生完成下面两 件事：对比“一元一次方程”的定义，为这类议程定义一个名称 一元二次方程。 再请学生自 行写出几个不同的一元二次议程，并提炼出一元二次方程的一般表达式。 【教师乙】 上课开始。 提问：什么是“一元一次方程”？ 请你根据“一元一次方程”的定义，给出“一元 二次方程”的定义，并举出几个“一元二次方程”的例子。 在学生举例的基础上，提炼出“一元二 次方程”的一般表达式。 请完成下列任务： （）请分析两位老师引入“一元二次方程”概念设计方案的各自的特点。 （ 分） （）在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。 请 针对“一元二次方程”概念，设计不同难度的两道例题和两道习题，以加深学生对“一元二次方 程”概念的理解。 （ 分） 年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学） （满分： 分 考试时间： 分钟） 题号一二三四五六总分统分人签字 得分 得分评卷人 一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分。 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填入题后 的括号内） 已知变换矩阵 ，则 将空间曲面（ ） （ ） 变成（ ）。 圆 椭圆 抛物线 双曲线 已知数列与数列， ，则下列结论不正确的是（ ）。 若对任意的正整数 ，有且 ， ， ，则 若 ， ，且存在正整数 ，使得当 时，则 若 ， ，且 ，则对任意正整数 ， 若对任意的整数 ，有 ， ， ，且 ，则 下列关系不正确的是（ ）。 （ ） （ ） （） （ ） （ ） （） （） 为研究 至 岁少年儿童的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市 名和 名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为（单位：），则和的大 小关系为（ ）。 不能确定 若多项式 （） 和 （） ，则 （） （）的商和余式 为（ ）。 ， ， ， ， 函数级数 的收敛区间为（ ）。 （ ，） （， ，） ， 义务教育数学课程标准（ 年版） 设定了九条基本事实，下列属于基本事实的 是（ ）。 两条平行线被一条直线所截，同位角相等 两平行线间距离相等 两条平行线被一条直线所截，内错角相等 两直线被平行线所截，对应线段成比例 四个图形：相交直线、等腰三角形、平行四边形、正多边形，既是轴对称又是中心对称的有 （ ）个。 得分评卷人 二、简答题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 一条光线斜射在一水平放置的平面镜上，人射角为二 ，请建立空间直角坐标系，并 求出反射光线的方程。 若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求所得的旋转曲面的方程。 求证：非齐次线性方程组： 有唯一解，当且仅当向量 （，），（，） 线性无关。 某飞行表演大队由甲、乙两队组成。 甲队中恰好有喷红色与绿色喷雾的飞机各 架。 乙队中仅有 架喷红色烟雾的飞机。 在一次飞行表演中，需要从甲队中任意选出 架飞机与乙 队飞机混合编队进行表演，并任意确定一架飞机作为领飞飞机，求领飞飞机是喷绿色烟雾的 概率。 阐述确定数学课程内容的依据。 抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面？ 请举例。 得分评卷人 三、解答题（本大题 小题，共 分） 叙述并证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日中值定理与中学数学内容的联系。 得分评卷人 四、论述题（本大题 小题，共 分） 叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“ 是无理数”的教学过程为 例，说明在教学中如何体现该教学原则。 得分评卷人 五、案例分析题 案例： 某教师关于“反比例函数图象”教学过程中的三个步骤为： 第一步：复习回顾 提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内容？ 是如何研究的？ 第二步：引人新课。 提出问题：反比例函数的图象是什么形状呢？ 引导学生利用描点法画出 的图象。 列表： 描点： 连线：引导学生用光滑的曲线连接描点，并用计算机演示图象的生成过程。 在此过程中启 发学生思考，由于 ， 都不能为 ，所以函数图象与 轴、 轴不能有交点（如下图） （第三步过程省略） （）该教学过程的主要特点是什么？ （ 分） （）在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是直线，而是 光滑曲线（ 分） （）对于第三步的，如果你是该老师，如何引导学生思考函数图象在第一象限（或第三象 限）的变化？ （ 分） 得分评卷人 六、教学设计题（本大题共 分） 义务教育数学课程标准（ 年版）关于平行四边形的性质的教学要求是：探索并 证明平行四边形的性质定理平行四边形的对边以及对角相等。 请基于该要求，完成下列教学 设计任务： （）设计平行四边形性质的教学目标；（ 分） （）设计两种让学生发现平行四边形性质的教学流程；（ 分） （）设计平行四边形性质证明的教学流程，使学生领悟证明过程中的数学思想方法。 （ 分） 参考答案及解析 年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题 （初级中学）参考答案及解析 一、单项选择题 【解析】 （ ） （ ） （ ） 。 故选 。 【解析】假设调和级数 收敛，记其和为 ，即 。 考虑该级数的部分和 ， ，则 ， 根据数列极限的保号性，有 （ ） （） 但是由假设可得 （ ） ，这与（）式矛盾，说明假设错误，因此调和级数 发散。 【解析】旋转双曲面的一般公式为 （单叶双曲面）， （双叶双曲面）。 【解析】根据黎曼可积定义，即黎曼可积必有界。 【解析】由矩阵 的特征多项式 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ），可得其特征值为 ， ， 共三个。 【 解析】 由已知得其二次型矩阵的 阶顺序主子式为 ， 阶顺序主 子 式 为 ，故二次型 正定。 【解析】平均数是“统计与概率”的内容，因此选择 。 【解析】创新意识是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。 学生自己发现和提 出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证 是创新的重 要方法。 二、简答题 【参考答案】因为 ， ， 所以 ， ， 速度大小 （ ） ，所以 时速度 大小 （ ） 。 【参考答案】因为球面方程为 ，故可设 （，） ，有 （，） ， （，） ，（，） ，所以 （，） ，（，） ，所以在点（，）处， （，）是法线的 一个方向向量。 由此可得球面在点（，）处的切平面方程为（ ） （ ） （ ） ，即（ ） （ ） （ ） 。 【参考答案】因为 （） ，（） ，而事件 ， 同时发生只有一种情况，即出现，所以 （） ，所以 （） （）（），所以事件 和事件 为独立事件。 【参考答案】行为动词中的“理解”就是把握内在逻辑联系，对知识作出解释、扩展、提供证据、判断等。 以“平行四边形概念”为例，教学目标中理解平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质。 这些都 属于“理解”的目标层次。 学生在学习过程中，能够把握平行四边形的概念，通过内在逻辑联系，以此为前提进 行推导，得到平行四边形的对边、对角等的性质。 【参考答案】 教学过程： （）情境引人 话说某天，有两个小朋友得到了一块三角形蛋糕，他们决定把它平分吃掉，你能帮他们解决这个问题吗？ 若又来了两个人呢？ （从三角形的中线引人到三角形的中位线，可以和三角形的中线比较，加深认识。） （）探索新知 学生自己动手画一条三角形的中位线，通过观察、测量，猜测三角形中位线的性质，把发现的规律用命题 形式表示出来。 学生亲身经历通过观察、实验等数学活动，发现数学的过程，这对培养学生发现问题和提出问题的能力有 着重要意义。 证明三角形的中位线定理 此处证明经验较少，难度较高，可以提示学生从线段倍分转化为相等作为突破口，逐渐引导到利用平行四 边形的相关知识解决问题。 定理总结 展示三角形的中位线定理用几何语言如何表述，以及探讨定理有哪些用处。 （）巩固练习 智力过三关如图，在 中， 分别是 ， 边上的中点。 若 ，则 。 若 的周长为 ，则 的周长为 。 图中有 个全等三角形，有 个平行四边形，若 的面积为 ，则 的面积 为 。 通过三个题目练习加深对三角形中位线定理的认识，由学生表述理由可以锻炼口头表达 能力。 （）综合应用和知识拓展 任意画一个四边形，顺次连结四边中点，得到一个什么四边形？ 证明中点四边形是一个平行四边形。 定理学习的一般环节：（）了解定理的内容，能够解决什么问题（情境引人中体现）；（）理解定理的含义， 认识定理的条件和结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构，功能，性质，使用步骤等角 度分析以加深印象和理解（探索新知中体现）；（）定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如 不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性（探索新知中体现）；（）熟悉定理的使用。 循序渐 进地定理的应用，将定理纳人到已有的知识体系中去（巩固练习中体现）；（）引申和拓展定理的运用（知识拓 展中体现）。 三、解答题 【参考答案】取 上一组基： （，）， （，）， （，）。 于是有 （，） ， （，） ， （，） ， （，） 初等变换 所以 （，） 。 又因为 ，线性无关，所以 （） （，） 将 ，进行 自交化可得 （，）， （，） （，） ， ， ()。 所以子空间 （） 的一组正交基是 （，）， ， ， ()。 四、论述题 【参考答案】 （）数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。 量力 性是指学生的可接受性。 这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关 系。 理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发 展水平的提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。 但是，在学习过程中，学生的心理 发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。 这种心 理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依 据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求。 即数学教学的严谨性是相对的。 （）测量模型：某气象站测得海拔每升高 千米，温度降低 度，观察地的气温是 度，问在观察地点以 下 千米的地方，气温是多少度？ 我们规定，气温升高为正，气温下降为负，观察地点以上为正，观察地以下为 负，易得出问题算式（ ） （ ） 。 寻找模式法：由正数与负数，负数与零相乘的法则，可以得出下列式子： （ ） （ ） ； （ ） （ ） ； （ ） （ ） ； （ ） （） ； （ ） （一 ） ？； （ ） （ ） ？； （ ） （ ） ？； 仔细观察可以发现，从上到下，被乘数是不变的，乘数每减少 ，积就增加 ，因此， 增加 得到 ，然后是 和 ，所以（ ） （ ） ； （ ） （ ） ； （ ） （ ） ；从而引出“负负得正”运算法则。 （）在初中“负负得正”运算法则的教学中，可以根据学生的认知水平和学生接受的难易程度人手，设法安 排学生逐步适应的过程与机会，从正数乘以负数积为负数人手，从上到下，被乘数是不变的，乘数每减少 ，积 就增加一个数 。 然后再利用一些数学模型解析“负负得正”运算法则，达到严谨性与量力性相结合。 五、案例分析题 【参考答案】 （）学生丙正确，学生甲、乙错误。 （）学生甲有两处错误，一是前两项相乘的符号错误，应是两数相乘同号为正；二是后面一项中的 一 ， 原因是该同学没有掌握两数相乘同号为正，异号为负，还有对整数乘以分数的运算法则没有掌握；学生乙有 两处错误，一是分数中，一个数除以另一个数等于乘以这个数的倒数，二是后面一项中的一 一 ，原因是分 数 除以整数的运算法则理解不清，还有对整数乘以分数的运算法则没有掌握或者是粗心。 （）运算能力是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。 培养运算能力有助于学生理解运算的 算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 可见，运算能力的构成并不只是简单应用机械重复已学的法则和公 式，还包括学生对所学知识的体验、选择与主动建构。 为了有效提高学生有理数的运算能力，应从以下几个方 面人手： 第一，加强概念、算理的教学，重视展现知识发生与发展的过程。 数学新课程的教学突出“经历感受”，教 师应明确自己的角色转换，不要囿于传统教学方式中的“告诉”和“讲解”。 第二，要认真分析学生出错的原因，找准错误的根源，对症施治。 学生出错的地方往往带有普遍性，如在加 减运算、有理数的乘方中经常发生符号错误，在数与多项式相乘的过程中出现运算错误，对乘方的概念理解错 误等等。 教师要将学生出现的错误作为良好的教学资源，充分利用课堂的集成效应，在学生注意力的黄金时段 内重点讲解学生作业反馈中大面积出现的问题，争取集中处理。 第三，教师要认真地研究学生，树立正确的学生观。 七年级的学生都经历了小学非负数的运算，头脑中装 着“和不小于任一加数，差不大于被减数。 运算不需考虑符号”等等一些计算经验。 而在学习有理数的运算过 程中，由于引人了负数，出现了新知识与原有知识不相吻合的情况，新知识的图式结构与原有图式相冲突，必须 通过顺应来完成。 教师的教学必须尊重学生的实际经验，重视学生对知识的理解与实际学习，切不可急于 求成。 六、教学设计题 【参考答案】 （）教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。 有效的教学活动是学生学与教师教的统一， 学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性， 引发学生思考，鼓励学生的创造性思维。 在教学的过程中教师应注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌 握恰当的数学学习方法。 也注重以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，采取启发式和因 材施教的教学。 学生在生动活泼的、主动的教学课堂中，更容易吸收知识，但也应注重多种学习方式相结合，除 接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。 教师甲的做法非常符合素质教育的要求的，在教学中体现教师的组织者、引导者作用，学生的主体地位，在 学生已有知识的基础上预设了正面的教学环境，先让学生利用已有的知识，列出相应的方程，再逐步引进新的 教学内容，对比一元一次和一元二次方程的区别，进而引导学生总结出一元二次方程的概念，体现了螺旋上升 课堂内容安排和预设与生成的要求，同时也充分地调动了学生学习的积极性和主动性，是非常好的课堂设计。 教师乙的做法相对教师甲来说，是有所欠缺的，没有给学生预设情境，直接让学生去生成一元二次方程的概念， 加大了学生接受新知识的难度，同时还不利于学生对新知识的透彻理解，虽然体现了学生的主体地位，但是老 师的引导作用没有充分发挥。 （）概念的引人例子 引例 ： 剪一块面积是 的长方形铁片，使它的长比宽多 ，这块铁片应如何剪？ 设长方形宽为 ，则有 （ ） 整理得 引例 ： 学校图书馆去年年底有图书 万册，预计到明年年底有 万册，求这两年的平均增长率。 设这两年的平均增长率为 ， 则今年年底的图书数是 （ ）万册，明年年底的图书数是 （ ）（ ） （ ）万册。 可列得方程 （ ） ， 概念的巩固例子 例子 ： 下列方程都是整式方程吗？ 其中哪些是一元一次方程，哪些是一元二次方程？ （ ） （ ） （） 例子 ：关于 的方程 是一元二次方程的条件是什么？ 年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（初级中学） 一、单项选择题 【解析】设曲面经矩阵 变化后为 则 故其方程为（ ） （ ） ，选 。 【解析】取 ， ， ， ， ，而 ， ，因此 的结论 不正确。 【解析】由向量积的性质可得（ ） ，故选 。 【解析】样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分，按一定方式从总体中抽取的若干个体，用于 提供总体的信息及由此对总体作统计推断。 样本的平均值称样本均值，在数理统计中，常常用样本均值来估计 总体均值。 样本越大从总体中提取的信息就越多，对总体的代表性就越好。 这里取的两组数据都是随机的，因 此均值不一定相等。 【解析】（ ）（ ） 。 【解析】由已知得级数的收敛半径为 ，又当 时级数 发散，当 时 级数 （ ） 发散，故选 。 【解析】九条基本事实分别为：两点确定一条直线；两点之间线段最短；过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；过直线外一点有且只 有一条直线与这条直线平行；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等；三边分别相等的两个三角形全等；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 【解析】相交直线既是轴对称又是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图 形。 正多边形当边数为奇数时是轴对称图形，当边数为偶数时既是轴对称又是中心对称图形。 二、简答题 【参考答案】 以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图： 一则人射光线所在直线过原点且在 坐标面上，所以人射光线的直线方程为 （ ） 而反射光线与人射光线关于 轴对称，所以反射光线的直线方程为 （ ）。 而此时法线为：轴，故将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，即是绕：轴旋转一周，则得出旋转曲面的方程 是将反射光线的直线方程中的 改成 ，得到方程为 ，即 （ ）（ ）。 【参考答案】 证明：（）当非齐次线性方程组： ， ， 有唯一解时，假设向量 （，），（，）线性相关，则 即 ， 原方程组可化为 当 时，非齐次线性方程组有无穷多解，与方程组有唯一解矛盾； 当 时，非齐次线性方程组无解，与方程组有唯一解矛盾， 所以 （，），（，）线性无关。 （） 当 向 量 （ ， ）， （ ， ） 线 性 无 关 时， 可 逆， 则 ， 即： ， 有唯一解。 【参考答案】 。 【解析】分两步进行计算，先选出含有喷绿色烟雾的飞机的概率再选领飞的飞机是喷 绿色烟雾的概率，最后乘起来即得。 第一步：先选出甲中含喷绿色烟雾的飞机的概率 若选出的有 架是喷绿色烟雾的飞机概率为 ， 若选出的有 架是喷绿色烟雾的飞机概率为 ， 若选出的有 架是喷绿色烟雾的飞机概率为 。 第二步： 架中含有 架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 ， 架中含有 架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 ， 架中含有 架是喷绿色烟雾的飞机时，所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 。 所以，最终所选的领队飞机是喷绿色烟雾的概率为 。 【参考答案】 数学课程标准、单元目标和具体数学知识点三者的结合。 确定教学内容时，特别要注意以下三点： 一是数学知识的主要特征。 一个数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择该数学知识点最本质的东 西作为教学的重点。 二是学生的需要。 确定知识点的教学内容也不是由教材一个要素决定的，还涉及到学生认知发展阶段性 的问题。 因此也不可能是教材有什么我们就教什么、学什么，我们只能选择教材内容与学生认知发展相一致的 内容作为教学内容。 三是编者的意图。 编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。 数学例题以及课后练习题的 重要性在数学课程中要远远高于其他学科，因为数学例题以及练习题是数学课程内容建设一个不可或缺的组 成部分。 在其他课程中，练习题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教学手段，对课程本 身并没有很大影响。 但数学课不是这样，数学课“教什么”在相当程度上是由练习题或明或暗指示给教师的。 【参考答案】 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，所以表现在以下几个方面： （）表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律、空间几何的一些证明。 （）表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的， 并且大量使用抽象的符号。 如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。 （）它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。 数学的抽象是逐级抽象 的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质。 （）高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体 为基础。 （）数学语言具有高度的抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。 学会有关的数学术语和符号， 正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。 同时数学有它的精确性，每个数学概念、符号、 术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论错对分明，因此数学阅读要求认真细致，同时 必须勤思多想。 三、解答题 【参考答案】 如果函数 （）满足： （）在闭区间， 上连续； （）在开区间（， ）内可导； 则存在使 （，）使 （） （） （） 证明：已知 （）在闭区间， 上连续，在开区间（，）内可导， 构造辅助函数 （） （） （） （） （） （ ） 验证可得 （） （） 又因为函数 （）在闭区间， 上连续，在开区间（， ）内可导，且 （） （） （） （） 根据罗尔定理可知在（，）内至少有一点 使得 （） 即 （） （） （） 由此可得（） （） （） 定理证毕。 拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体形态的有力 工具。 拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些性质、证明不等式和方程 根的存在性、描绘函数的图象、解决极值、最值等等。 四、论述题 【参考答案】 （）数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。 量力 性是指学生的可接受性。 这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。 理论知识的严谨 程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐 增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。 但是，在学习过程中，学生的心理 发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。 这种心 理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应该在不同的教学阶段，依 据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。 （）在证明是无理数“ 的教学过程，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高 其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。 在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强 调思维的严谨性，允许猜想、辩证地处理好推理的有据和猜想的关系。 由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中我们采用反证法，先假设是有理数。 教学中可以由教师给出 证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证 明，最后要求达到立论有据，论证简明。 “因为如果 是有理数，那么 可以写成最简分数是整数 （、 是整 数， 与 互质）的形式，于是 即 ，由于 是偶数，所以 也是偶数。 不妨设 ，可得 即 ，而 是偶数，所以 应是偶数，这样 ， 都是偶数了，它们的公约数是 ，与 ， 互质矛 盾。 可见， 不是有理数，而是无理数。” 在教学过程中，不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织 教学。 五、案例分析题 【参考答案】 （）在导人过程运用了温故知新导人，优势是可以帮助学生复习已经学习过的知识，从学习过的知识当中 找到前后联系，从而引出新课题，帮助学生快速进人课堂。 在新课教学过程中让学生通过动手操作画出反比例函数图象，但是在引导学生运用列表法的时候选出的 点不够有代表性， 轴不能都是整数，可以随机地选取一部分分数，为下边讲解函数图象是一条光滑的曲线做 准备。 另外在此过程中利用现代教学手段，计算机演示是一种很好的教学方法，可以很直观地将函数图象的动态 画面展示给学生，方便学生建立数形结合的意识。 第三步，组织学生观察讨论曲线特点，根据选取图象中若干特殊点，总结在第一象限以及第三象限的变化 情况。 （）反比例函数图象的特点是光滑的曲线，而不是折线，这是区别一次函数图象最大的特点，首先我会请 学生分小组讨论这个问题。 如果反函数的图象的点是用折线连起来会是什么图形，用曲线连起来会是什么图 形。 给学生 分钟时间讨论，在讨论的过程中我会给与学生提示，我们选取的点是有限的，其实反比例函数的 点是无数个的，为什么正多边形的边