2019届高三数学二模试题 文(含解析).doc

2019届高三数学二模试题 文(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，则的共轭复数是，故选D.2. 设非空集合满足，则（ ）A. ，有 B. ，有C. ，使得 D. ，使得【答案】B【解析】试题分析：由于,因此不属于集合的元素一定不属于集合,故答案B是正确的，应选B.考点：集合的运算3. 若过点A(0,1)的直线与圆x2+(y3)2=4的圆心距离记为d，则d的取值范围为（ ）A. 0,4 B. 0,3 C. 0,2 D. 0,1【答案】A【解析】试题分析：由已知，点(0,1)在圆x2+(y3)2=4外，当直线经过圆心(0,3)时，圆心到直线的距离最小为0，圆心到点(0,1)的距离，是圆心到直线的最大距离，此时d=(00)2+(13)2=4，故选A.考点：1.直线与圆的位置关系；2.两点间的距离公式.4. 从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为 （ ）.A. 34 B. 58 C. 78 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由程序框图，得输出的结果为，令，即，解得，即的值可能为4,5,6,7,8，所以输出的不小于40的概率为；故选B考点：1.程序框图；2.古典概型5. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为3，则双曲线C的离心率为（ ）A. 2或3 B. 2或233 C. 233 D. 2【答案】B【解析】若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为x2a2y2b2=1，渐近线的方程为y=bax,由题意可得b=3a，可得c=2a ，即e=ca=2；若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为x2a2y2b2=1，渐近线的方程为y=abx,由题意可得a=3b，可得c=233a,即e=233 .综上可得e=2或e=233.故选：B.6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A. 16 B. 32 C. 48 D. 144【答案】C【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA平面ABCD，SA=6，几何体的体积V=132+6266=48.故选：C.7. 已知实数a,b满足2a=3,3b=2，则函数f(x)=ax+xb的零点所在的区间是（ ）A. (2,1) B. (1,0) C. (0,1) D. (1,2)【答案】B【解析】试题分析：由2a=3,3b=2，得a=log23,b=log32,ab=1，f(1)=a11b=10.所以零点在区间(1,0).考点：零点与二分法.8. 已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面积是（ ）A. 169 B. 83 C. 649 D. 4【答案】C【解析】 D是正ABC的中心， AD是ABC的外接圆半径. ADAB2sin60=233，又OD12R 12OA，OAODAD， R14R2+34， R649， 球的表面积S4R649.故选C9. 若实数x,y满足|x3|y1，则z=2x+yx+y的最小值为（ ）A. 53 B. 2 C. 35 D. 12【答案】A【解析】试题分析：|x3|y1y|x3|y1其图形如图所示,z=2x+yx+yy=z21zx,由图形知0z21z12,2z53,故选A.考点：线性规划.10. 函数f(x)=2x4sinx,x2,2的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数f（x）=2x4sinx，f（x）=2x4sin（x）=（2x4sinx）=f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f（x）=24cosx，由f（x）=0得cosx=，故x=2k（kZ），所以x=时函数取极值，排除C，故选：D点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法11. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=4FQ，则|QF|=（ ）A. 72 B. 52 C. 3 D. 2【答案】C【解析】依题意，焦点为F(2,0)，准线为x=2，焦点到准线的距离为4.设|QF|=a，则|PQ|=3a，|PF|=4a，根据抛物线的定义，Q到焦点的距离等于到准线的距离，有|QF|4=3a4a=34，故|QF|=3.12. 已知数列an的通项公式为an=(1)n(2n1)cosn2+1(nN)，其前n项和为Sn，则S60=（ ）A. 30 B. 60 C. 90 D. 120【答案】D【解析】由an=（-1）n（2n-1）cosn2+1，得a1=cos2+1=1，a2=3cos+1=-2，a3=5cos32+1=1，a4=7cos2+1=8，由上可知，数列an的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，S60=（a1+a3+a59）+（a2+a4+a58+a60）=30+156=120故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量a=(1,2),b=(4,3)，且a(ta+b)，则实数t=_【答案】-2【解析】a(ta+b)a(ta+b)=05t+10=0t=214. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为y=0.85x0.25，由以上信息，得到下表中c的值为_天数x（天）34567繁殖个数y（千个）2.5344.5c【答案】6【解析】试题分析：x=3+4+5+6+75=5，y=2.5+3+4+4.5+c5=14+c5，代入到回归直线方程中得：14+c5=0.8550.25，c=6.考点：线性回归方程.15. 设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1=d=1，则Sn+8an的最小值是_【答案】92【解析】等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a1=d=1，Sn=12(n2+n),an=n Sn+8an=n2+n+162n=n2+8n+1292 ,(当且仅当n=4时取等号)故答案为：92点睛：本题考查数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力16. 设函数f(x)=(xa)2+(lnx22a)2.其中x0,aR，存在x0使得f(x0)45成立，则实数a的值为_【答案】15【解析】试题分析：函数f(x)可以看作是动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得y=2x=2，解得x=1，所以曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离最小，最小距离d=25=255，则f(x)45，根据题意，要使f(x0)45，则f(x0)=45，此时N恰好为垂足，由kMN=2a0a1=2aa1=12，解得a=15.考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，然后由两直线斜率的关系式求得实数a的值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数f(x)=cos(2x43)+2cos2x.（1）求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；（2）已知ABC中,角A,B,C的边分别为a,b,c，若f(B+C)=32,b+c=2，求a的最小值.【答案】(1) 2， x|x=k6,kZ;(2)1.【解析】试题分析：（1）先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将f(x)化为，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）以及角A的范围解得角A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解试题解析：（1） f(x)=cos(2x43)+2cos2x=(cos2xcos43+sin2xsin43)+(1+cos2x)=12cos2x32sin2x+1=cos(2x+3)+1f(x)的最大值为2要使f(x)取最大值，cos(2x+3)=1,2x+3=2k(kZ)，故x的集合为x|x=k6,kZ（2）f(B+C)=cos2(B+C)+3+1=32，即cos(22A+3)=12化简得cos(2A3)=12A(0,),2A3(3,53)，只有2A3=3,A=3在ABC中，由余弦定理，a2=b2+c22bccos3=(b+c)23bc由b+c=2知bc(b+c2)2=1，即a21，当b=c=1时a取最小值1,考点：1三角恒等变换；2三角函数的图象与性质；3余弦定理；4基本不等式18. 某批次的某种灯泡200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命 (天)频数频率100,200)100.05200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)60c合计2001（1）根据频率分布表中的数据，写出a,b,c的值；（2）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（3）某人从这批灯泡中随机地购买了n(nN)个，如果这n个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值.【答案】(1) 0.15,30,0.30;(2) 45;（3）10.【解析】试题分析: (1) 由频率分布表中的数据，求出a,b,c的值；(2)根据频率分布表中的数据，求出此人购买的灯泡怡好不是次品的概率；(3)由这批灯泡中优等品、正品和次品的比例数，再按分层抽样方法，求出购买灯泡数n的最小值.试题解析:（1）a=0.15,b=30,c=0.3.（2）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A，由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为P(A)=100+60200=45.（3）由表，得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:40=3:5:2，所以按分层抽样法，购买的灯泡数n=3k+5k+2k=10k(kN*)，所以n的最小值为10.【方法点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件抽样方法及古典概型概率公式，属于中档题题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和；在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数n，其次所求概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式P=mn求得概率.19. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD,DAB=60,PD底面ABCD.（1）求证:ACPB ；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2) 4214.【解析】试题分析：（1）要证ACPB，可以通过证明AC面PDB实现，而后者可由ACBD，ACPD证得；（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值试题解析：(1)底面ABCD为菱形，ACBD,PD底面ABCD,ACPD,BDPD=D,AC面PDB,PB面PDB,ACPB.(2)设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，则由题意，PA=PB=PC=2,SABC=12312=34，在等腰PBC中，可求SPBC=121(2)2-(12)2=74，VA-PBC=VP-ABC,13h74=13134,h=217，sin=hPA=72=4214.20. 椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，且离心率为12，点P为椭圆上一动点，F1PF2内切圆面积的最大值为3. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线与椭圆相交于A,B两点，连接A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) x24+y23=1;(2)(1,0)或(7,0).【解析】试题分析：（1）首先设c=t，然后根据离心率得到a,b与的关系，再根据三角形面积取得最大值时点P为短轴端点，由此求得的值，从而求得椭圆方程；（2）首先设出直线AB的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标试题解析：（1）已知椭圆的离心率为12，不妨设c=t，a=2t，即b=3t，其中t0，又F1F2内切圆面积取最大值3时，半径取最大值为r=33，由SF1F2=r2CF1F2，由CF1F2为定值，因此SF1F2也取得最大值，即点为短轴端点，因此122b=r2(2a+2c)，122t3t=1233(4t+2t)，解得t=1，则椭圆的方程为x24+y23=1（2）设直线的方程为x=ty+1，(x1,y1)，(x2,y2)，联立x=ty+1x24+y23=1可得(3t2+4)y2+6ty9=0，则y1+y2=6t3+4t2，y1y2=93+4t2，直线1的方程为y=y1x1(2)(x(2)，直线1的方程为y=y2x2(2)(x(2)，则(4,6y1x1+2)，Q(4,6y2x2+2)，假设Q为直径的圆是否恒过定点(m,n)，则=(4m,6y1x1+2n)，Q=(4m,6y2x2+2n)，Q=(4m)2+(6y1x1+2n)(6y2x2+2n)=0，即Q=(4m)2+(6y1ty1+3n)(6y2ty2+3n)=0，即(3612nt)y1y218n(y1+y2)t2y1y2+3t(y1+y2)+9+n2+(4m)2=0，(3612nt)(9)18n(6t)9t2+3t(6t)+9(3t2+4)+n2+(4m)2=0，即6nt9+n2+(4m)2=0，若Q为直径的圆是否恒过定点(m,n)，即不论为何值时，Q=0恒成立，因此，n=0，m=1或m=7，即恒过定点(1,0)和(7,0)考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向21. 已知a0，函数f(x)=lnxax2. （1）求f(x)的单调区间；（2）当a=18时，证明: 存在x0(2,+)，使f(x0)=f(32)；（3）若存在属于区间1,3的,，且1，使f()=f()，证明:ln3ln25aln23.【答案】(1)a0时，函数f(x)=lnxax2的单调增区间为(0,+)；a0时，函数f(x)=lnxax2的单调增区间为(0,2a2a)，单调减区间为(2a2a,+);(2)ln3ln25aln23.【解析】试题分析：（1）求f(x)的单调区间，由于函数f(x)=lnxax2含有对数函数，因此求f(x)的单调区间，可用导数法，因此对函数f(x)=lnxax2求导得，f(x)=1x2ax=12ax2x,x(0,+)，令f(x)=0，解得x=2a2a，列表确定单调区间；（2）当a=18时，证明：存在x0(2,+)，使f(x0)=f(32)，可转化为f(x)f(32)=0在(2,+)上有解，可令g(x)=f(x)f(32)，有根的存在性定理可知，只要在(2,+)找到两个x1,x2，是得f(x1)f(x2)f(32)，故g(2)0，取x=32e2，则g(x)=419e2320，即可证出；（3）若存在均属于区间1,3的,，且1，使f()=f()，由（1）知f(x)的单调递增区间是(0,2a2a)，单调递减区间是(2a2a,+)，故2a2af(32)，即g(2)0（7分）取x=32e2，则g(x)=419e2322，且g(x)0即可）（3）证明：由f()=f()及（1）的结论知2a2a，从而f(x)在,上的最小值为f()， （10分）又由1，,1,3，知123（11分）故f(2)f()f(1)f(2)f()f(3)即ln24aaln24aln39a（13分）从而ln3ln25aln23（14分）考点：函数单调