（江苏专版）2019年中考数学一轮复习 第三章 函数及其图象 3.4.2 二次函数的应用（试卷部分）课件.ppt

3.4.2二次函数的应用,中考数学(江苏专用),考点二次函数的应用,A组2014-2018年江苏中考题组,五年中考,1.(2018连云港,7,3分)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1.则下列说法中正确的是()A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同B.点火后24s火箭落于地面C.点火后10s的升空高度为139mD.火箭升空的最大高度为145m,答案DA,当t=9时,h=136;当t=13时,h=144,所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同,此选项错误;B,当t=24时,h=10,所以点火后24s火箭离地面的高度为1m,此选项错误;C,当t=10时,h=141,此选项错误;D,由h=-t2+24t+1=-(t-12)2+145知火箭升空的最大高度为145m,此选项正确.故选D.,解题关键本题主要考查二次函数的应用,采用逐项分析法,解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.,思路分析分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项,将解析式配方成顶点式可判断D选项.,2.(2018盐城,27,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0)、B(3,0),且与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图,将宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.(i)若点P的横坐标为-,求DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标;(ii)直尺在平移过程中,DPQ面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.,解析(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得解得抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)(i)当点P的横坐标为-时,点Q的横坐标为,此时点P的坐标为,点Q的坐标为.设直线PQ的表达式为y=mx+n(m0),将P、Q代入y=mx+n,得解得直线PQ的表达式为y=-x+.如图,过点D作DEy轴交直线PQ于点E,设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为,DE=-x2+2x+3-=-x2+3x+,SDPQ=DE(xQ-xP)=-2x2+6x+=-2+8.-20,当x=时,DPQ的面积取最大值,最大值为8,此时点D的坐标为.(ii)假设有最大值,设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标为4+t,点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点Q的坐标为(4+t,-(4+t)2+2(4+t)+3),利用待定系数法易知,直线PQ的表达式为y=-2(t+1)x+t2+4t+3.设点D的坐标为(x,-x2+2x+3),则点E的坐标为(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),DE=-x2+2x+3-2(t+1)x+t2+4t+3=-x2+2(t+2)x-t2-4t,SDPQ=DE(xQ-xP)=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t=-2x-(t+2)2+8.-20,当x=t+2时,DPQ的面积取最大值,最大值为8.假设成立,即直尺在平移过程中,DPQ面积有最大值,面积的最大值为8.,思路分析(1)利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标,利用待定系数法可求出直线PQ的表达式,过点D作DEy轴交直线PQ于点E,表示出DE的长度,再表示DPQ的面积,利用二次函数的性质即可求出最值.,3.(2017泰州,23,10分)怡然美食店的A、B两种菜品,每份成本均为14元,售价分别为20元、18元,这两种菜品每天的营业额共为1120元,总利润为280元.(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份?(2)该店为了增加利润,准备降低A种菜品的售价,同时提高B种菜品的售价,售卖时发现,A种菜品售价每降0.5元可多卖1份;B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份,如果这两种菜品每天销售总份数不变,那么这两种菜品一天的总利润最多是多少?,解析(1)设该店每天卖出A,B两种菜品分别为x,y份.根据题意得解得x+y=60.答:该店每天卖出这两种菜品共60份.(2)设A种菜品售价降低0.5a元,即每天卖(20+a)份,这两种菜品一天的总利润为w元,因为两种菜品每天销售总份数不变,所以B种菜品每天卖(40-a)份,每份售价提高0.5a元,则w=(20-14-0.5a)(20+a)+(18-14+0.5a)(40-a)=(6-0.5a)(20+a)+(4+0.5a)(40-a)=-0.5a2-4a+120+(-0.5a2+16a+160)=-a2+12a+280=-(a-6)2+316,当a=6时,w最大,最大值为316.答:这两种菜品每天的总利润最多是316元.,主要考点二元一次方程组的应用,配方法求二次函数最大值.,解题关键根据题意列出正确的关系式是解题关键.,解析(1)根据题意得A(-4,0),C(0,2),抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点,y=-x2-x+2.(2)存在.如图,令y=0,则-x2-x+2=0,解得x1=-4,x2=1,B(1,0),过D作DMx轴于M交AC于K,过B作BNx轴交直线AC于N,DMBN,DKEBNE,=,又=,=,设D,K,B(1,0),N,=-(a+2)2+.,当a=-2时,取得最大值,最大值是.存在.A(-4,0),B(1,0),C(0,2),AC=2,BC=,AB=5,AC2+BC2=AB2,ABC是以ACB为直角的直角三角形,取AB的中点P,P,连接PC,PA=PC=PB=,CPO=2BAC,tanCPO=tan2BAC=,过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC于G,情况一:DCF=2BAC=DGC+CDG,又DGC=BAC,CDG=BAC,RC=k,RG=k,DR=3k-k=k,=.解得a=或0(舍去),综上可得,点D的横坐标为-2或-.,解题关键本题考查了待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定和性质等知识,正确作出辅助线、结合三角函数求值是解决问题的关键.,5.(2016连云港,26,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1,1)、B(2,2),过点B作BCx轴,交抛物线于点C,交y轴于点D.(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标;(2)若抛物线上存在点M,使得BCM的面积为,求出点M的坐标;(3)连接OA、OB、OC、AC,在内,求使得AOC与OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标.,解析(1)把A(-1,1)、B(2,2)代入y=ax2+bx中得解得所求函数表达式为y=x2-x.(2分)BCx轴,设C点坐标为(x0,2).-x0=2,解得x0=-或x0=2.由题意知x00,x0=-.C.(4分)(2)设BCM边BC上的高为h.BC=,SBCM=h=.h=2,点M即为抛物线上到BC的距离为2的点,点M的纵坐标为0或4.令y=x2-x=0,解得x1=0,x2=,M1(0,0),M2.(6分)令y=x2-x=4,解得x3=,x4=.M3,M4.综上所述,点M的坐标为(0,0)、.(8分)(3)A(-1,1),B(2,2),C,D(0,2),易求得OB=2,OA=,OC=,AOD=BOD=45,tanCOD=.如图1,当AOCBON时,=,AOC=BON.ON=2OC=5.过点N作NEx轴于点E,COD=45-AOC=45-BON=NOE.在RtNOE中,tanNOE=tanCOD=.OE=4,NE=3.点N的坐标为(4,3).同理可得,点N的坐标也可为(3,4).,思路分析(1)将A、B点的坐标代入y=ax2+bx,求出a、b的值,再根据BCx轴,从而得C点坐标.(2)由BC长与BCM的面积,求出M的纵坐标,从而可得其横坐标,进而得M点坐标.(3)分类讨论,利用相似三角形的性质求解.,评析本题是二次函数的综合应用.考查了二次函数的性质、相似三角形的性质,也考查了分类讨论思想.,6.(2016镇江,28,10分)如图1,二次函数y1=(x-2)(x-4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),其对称轴l与x轴交于点C,它的顶点为点D.(1)写出点D的坐标:;(2)点P在对称轴l上,位于点C上方,且CP=2CD,以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c(a0)的图象过点A.试说明二次函数y2=ax2+bx+c(a0)的图象过点B;点R在二次函数y1=(x-2)(x-4)的图象上,到x轴的距离为d,当点R的坐标为时,二次函数y2=ax2+bx+c(a0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d;如图2,已知00)的相关费用,当40x45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用),解析(1)假设p与x成一次函数关系,设函数表达式为p=kx+b,则解得p=-30 x+1500,检验:当x=35时,p=450;当x=45时,p=150;当x=50时,p=0,满足题意.所求的函数表达式为p=-30 x+1500.,B组20142018年全国中考题组,考点二次函数的应用,1.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.,答案24,解析y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600m.当t=16时,y=6016-162=576,所以最后4s滑行的距离为600-576=24m.,2.(2014辽宁沈阳,15,4分)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20x30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.,答案25,解析设利润为y元,则y=(x-20)(30-x)=-x2+50 x-600=-(x-25)2+25,所以当每件的售价为25元时,利润最大.,3.(2018福建,23,10分)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中ADMN.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.,解析(1)设AD的长为x米,则AB的长为米.依题意,得=450.解得x1=10,x2=90.因为a=20,xa,所以x=90不合题意,舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.(2)设AD的长为x米,0xa,则矩形菜园ABCD的面积S=-(x2-100 x)=-(x-50)2+1250.若a50,则当x=50时,S最大,S最大=1250.若0a50,则当0xa时,S随x的增大而增大.故当x=a时,S最大,S最大=50a-a2.综上,当a50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是1250平方米;当0a50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是平方米.,解后反思本题考查一元二次方程、二次函数等基础知识,考查运算能力、推理能力、应用意识、创新意识,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想.,4.(2017河南,23,11分)如图,直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与APM相似,求点M的坐标;点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.,解析(1)直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),-3+c=0,c=2.B(0,2).(1分)抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,0),-32+3b+2=0,b=.抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(3分)(2)MNx轴,M(m,0),N.由(1)知直线AB的解析式为y=-x+2,OA=3,OB=2.在APM和BPN中,APM=BPN,AMP=90,若使BPN和APM相似,则需NBP=90或BNP=90.分两种情况讨论如下:(i)当NBP=90时,过点N作NCy轴于点C,则NBC+BNC=90,NC=m,BC=-m2+m+2-2=-m2+m.NBP=90,NBC+ABO=90,ABO=BNC.RtNCBRtBOA.(5分)=,=,解得m=0(舍去)或m=.M.(6分)(ii)当BNP=90时,BNNM.点N的纵坐标为2.,-m2+m+2=2,m=0(舍去)或m=.M.综上,点M的坐标为或.(8分)m=-1或m=-或m=.(11分)详解:由已知得M(m,0),N,P.,令-x2+x+2=0,得x1=3,x2=-.(i)当0m3时,MN=yN-yM=-m2+m+2,PM=yP-yM=-m+2,此时只可能P是MN的中点,即MN=2PM,-m2+m+2=2,解得m1=3,m2=,当m=3时,M、P、N重合,不符合题意,舍去.故m=.(ii)当-m0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.当m=1时,求线段AB上整点的个数;若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.,解析(1)y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1.抛物线的顶点坐标为(1,-1).(2)当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x.令y=0,解得x1=0,x2=2.线段AB上整点的个数为3.当抛物线经过点(-1,0)时,m=.当抛物线经过点(-2,0)时,m=.结合函数的图象可知,m的取值范围为m.,解析(1)抛物线的解析式为y=-x2+8.(3分)(2)正确.理由:设P,则PF=8-=x2.(4分)过点P作PMy轴于点M,则PD2=PM2+DM2=(-x)2+=x4+x2+4=.PD=x2+2.(6分)PD-PF=x2+2-x2=2.猜想正确.(7分)(3)“好点”共有11个.(9分)在点P运动时,DE大小不变,当PE与PD的和最小时,PDE的周长最小.PD-PF=2,PD=PF+2,PE+PD=PE+PF+2.当P,E,F三点共线时,PE+PF最小.此时点P,E的横坐标都为-4.,将x=-4代入y=-x2+8,得y=6.P(-4,6),此时PDE的周长最小,且PDE的面积为12,点P恰为“好点”.PDE的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6).(11分)【提示】PDE的面积S=-x2-3x+4=-(x+6)2+13.由-8x0,知4S13,所以S的整数值有10个.由函数图象知,当S=12时,对应的“好点”有2个.所以“好点”共有11个.,7.(2017山东潍坊,23,9分)工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大;(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?,解析(1)如图所示:(2分)设裁掉的正方形边长为xdm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,(3分)即x2-8x+12=0,解得x1=2或x2=6(舍去).(4分)所以当长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形的边长为2dm.(5分)(2)由题意得,10-2x5(6-2x),所以0x2.5.(6分)设总费用为w元,由题意可知,w=0.52x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)(7分)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24.(8分)因为该二次函数图象的对称轴为直线x=6,开口向上,所以当0x2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w取最小值,wmin=25.所以当裁掉的正方形边长为2.5dm时,总费用最低,最低为25元.(9分),C组教师专用题组,考点二次函数的应用,1.(2017辽宁沈阳,15,3分)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,且销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.当销售单价是元时,才能在半月内获得最大利润.,答案35,解析设销售单价为x元,半月内的利润为y元,由题意知y=(x-20)400-20(x-30)=(x-20)(1000-20 x)=-20 x2+1400 x-20000=-20(x-35)2+4500.-200,抛物线开口向下,当x=35时,y取得最大值,即销售单价是35元时,才能在半月内获得最大利润.,2.(2018江西,21,9分)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.,思路分析(1)利用待定系数法求出y与x的函数关系式,根据蜜柚销售不会亏本及销售量不能为负求得x的取值范围;(2)根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式,并配方成顶点式即可得出最大利润;(3)根据(2)中获得最大利润的方式进行销售(即x=19),求出40天的总销售量,与4800比较即可得出答案.,方法指导用二次函数解决实际最值问题的一般步骤:(1)设出实际问题中的变量;(2)建立函数关系式;(3)利用待定系数法或根据题意分析列等式求出函数关系式;(4)确定自变量取值范围;(5)利用二次函数的性质求出最值,对所得最值进行检验,是否符合实际意义.,3.(2017内蒙古包头,23,10分)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)设计费能达到24000元吗?为什么?(3)当x是多少米时,设计费最多?最多是多少元?,解析(1)矩形的周长为16米,一边长为x米,其邻边长为(8-x)米.S=x(8-x)=-x2+8x.其中,0x8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润z(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.,解析(1)当4x8时,设y=(k0),将A(4,40)代入,得k=440=160.y与x之间的函数关系式为y=.(1分)当8x28时,设y=kx+b(k0),将B(8,20),C(28,0)代入得,解得y与x之间的函数关系式为y=-x+28.(3分)综上所述,y=(4分)(2)当4x8时,z=(x-4)y-160=(x-4)-160=-.当4x8时,z随着x的增大而增大,当x=8时,z取最大值,zmax=-=-80.(5分),5.(2016苏州,28,10分)如图,直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2-2ax+a+4(a0)经过点B.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM.设点M的横坐标为m,ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M.写出点M的坐标;将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l,当直线l与直线AM重合时停止旋转.在旋转过程中,直线l与线段BM交于点C.设点B、M到直线l的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l旋转的角度(即BAC的度数).,解析(1)直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,当y=0时,x=1;当x=0时,y=3,点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,3).点B(0,3)在抛物线y=ax2-2ax+a+4上,3=a+4,a=-1.该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.(2)连接OM,S=S四边形OAMB-SAOB,=SOBM+SOAM-SAOB=3m+1(-m2+2m+3)-13=-m2+m=-+.点M在第一象限,00,x0)于点P,且OAMP=12.(1)求k值;(2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4x06,通过L位置随t变化的过程,写出t的取值范围.,解析(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OAMP=12,得2xy=12,即xy=6.k=xy=6.(3分)(2)当t=1时,令y=0,0=-(x-1)(x+3),x1=1,x2=-3.由B在A左边,得B(-3,0),A(1,0),AB=4.(5分)L的对称轴为x=-1,而M为,MP与L对称轴之间的距离为.(6分)(3)A(t,0),B(t-4,0),L的对称轴为x=t-2.(7分)又MP为x=,当t-2,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;当t4时,L与MP的交点就是G的最高点.(10分),(4)5t8-或7t8+.(12分)注:如果考生答“5t8+”给1分【(4)的简解.对于双曲线,当4x06时,1y0,即L与双曲线在C,D(6,1)之间的一段有个交点.由=-(4-t)(4-t+4),得t1=5,t2=7;由1=-(6-t)(6-t+4),得t3=8-,t4=8+.随着t的逐渐增大,L位置随着点A(t,0)向右平移,如图所示.,当t=5时,L右侧过点C;当t=8-7时,L右侧过点D,即5t8-.当8-0.过点A作x轴的垂线,与直线QF相交于点N,可设点N的坐标为(x0,n),则AN=y0-n,其中y0n.连接FP,由点F,P(1,0),得FPx轴.得FPAN,有ANF=PFN.连接PK,则直线QF是线段PK的垂直平分线,FP=FK.有PFN=AFN.ANF=AFN.得AF=AN.根据勾股定理,得AF2=(x0-1)2+,其中,(x0-1)2+=+-y0=.AF=y0.y0=y0-n,得n=0,即点N的坐标为(x0,0).,设直线QF的解析式为y=kx+b(k0),则解得y=-x+.由点N在直线QF上,得-x0+=0,解得x0=.将x0=代入y0=-2x0+,得y0=.点A的坐标为.,8.(2015吉林长春,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且点B的坐标为(3,0).点P在这条抛物线上,且不与B、C两点重合.过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q.以PQ为边作RtPQF,使PQF=90,点F在点Q的下方,且QF=1.设线段PQ的长度为d,点P的横坐标为m.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)求d与m之间的函数关系式;(3)当RtPQF的边PF被y轴平分时,求d的值;(4)以OB为边作等腰直角三角形OBD.当0m3时,直接写出点F落在OBD的边上时m的值.,d=m2-2m-m=m2-3m;当0m3时,如图,d=m-(m2-2m)=-m2+3m.(6分)图图(3)边PF被y轴平分(如图),线段PQ被y轴平分,点P与点Q关于y轴对称.m+m2-2m=0,解得m1=0,m2=1.点P不与点C重合,m=1.当m=1时,d=-12+31=2.(8分)(4)2,1+,1+,.(12分)【提示】如图.,9.(2015山东临沂,26,13分)在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;若点P的横坐标为t(-1t1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大?并说明理由.,解析(1)解方程组得点B的坐标为(-1,1).(1分)点C和点B关于原点对称,点C的坐标为(1,-1).(2分)又点A是直线y=-2x-1与y轴的交点,点A的坐标为(0,-1).(3分)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0),解得抛物线的解析式为y=x2-x-1.(5分),(2)如图1,点P在抛物线上,可设点P的坐标为(m,m2-m-1).当四边形PBQC是菱形时,O为菱形的中心,PQBC,即点P,Q在直线y=x上,m=m2-m-1,(7分)解得m=1.(8分)点P的坐标为(1+,1+)或(1-,1-).(9分),图1,解法一:如图2,点P的坐标为(t,t2-t-1).过点P作PDy轴,交直线y=-x于点D,则D(t,-t).分别过点B,C作BEPD,CFPD,垂足分别为点E,F.图2PD=-t-(t2-t-1)=-t2+1,BE+CF=2,(10分)SPBC=PDBE+PDCF,=PD(BE+CF)=(-t2+1)2=-t2+1.(12分)SPBQC=-2t2+2.当t=0时,SPBQC有最大值2.(13分)解法二:如图3,点P的坐标为(t,t2-t-1).过点B作y轴的平行线,过点C作x轴的平行线,两直线交于点D,连接PD.,图3,SPBC=SBDC-SPBD-SPDC=22-2(t+1)-2(t2-t-1+1)=-t2+1.(12分)SPBQC=-2t2+2.当t=0时,SPBQC有最大值2.(13分)解法三:如图4,过点P作PEBC,垂足为E,作PFx轴交BC于点F.图4,PE=EF,点P的坐标为(t,t2-t-1),点F的坐标为(-t2+t+1,t2-t-1).PF=-t2+t+1-t=-t2+1.PE=(-t2+1).(11分)SPBC=BCPE=2(-t2+1)=-t2+1.(12分)SPBQC=-2t2+2.当t=0时,SPBQC有最大值2.(13分),10.(2015内蒙古包头,26,12分)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标;(2)连接AC,CD,BD,BC,设AOC,BOC,BCD的面积分别为S1,S2和S3,用等式表示S1,S2,S3之间的数量关系,并说明理由;(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MNBC交AC于点N,连接MC,是否存在点M使AMN=ACM?若存在,求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.,解析(1)抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,解得该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2分)-=1,=-4,点D的坐标为(1,-4).(3分)(2)S1,S2,S3的数量关系为S2=S1+S3.过点D作DEx轴于点E,作DFy轴于点F,则在RtCFD中,CD2=2,CD=.在RtEDB中,BD2=20.在RtBOC中,BC2=18,BC=3.CD2+BC2=BD2,BCD为直角三角形.S1=AOOC=13=,S2=OBOC=33=,S3=BCCD=3=3,S1+S3=+3=,S2=S1+S3.(7分)(3)存在点M,使得AMN=ACM.设点M的坐标为(m,0),-1m3,则MA=m-(-1)=m+1.在RtAOC中,AC=.MNBC,=,=,AN=(m+1).AMN=ACM,MAN=CAM,AMNACM,=,(m+1)2=(m+1),m1=,m2=-1(舍),11.(2015陕西,24,10分)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+5x+4的顶点为M,与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.(1)求点A、B、C的坐标;(2)求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式;(3)设(2)中所求抛物线的顶点为M,与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.在以A、B、C、M、A、B、C、M这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中,求其中不是菱形的平行四边形的面积.,解析(1)令y=0,得x2+5x+4=0,x1=-4,x2=-1.令x=0,得y=4.A(-4,0),B(-1,0),C(0,4).(A(-1,0),B(-4,0),C(0,4)也正确)(3分)(2)不妨令A在B的左侧.A,B,C关于坐标原点O对称的点为(4,0),(1,0),(0,-4),所求抛物线的函数表达式可设为y=ax2+bx-4.(5分)将(4,0),(1,0)代入上式,得a=-1,b=5.y=-x2+5x-4即为所求.(7分)(3)如图,取四点A、M、A、M.连接AM,MA,AM,MA,MM.由中心对称性可知,MM过点O,OA=OA,OM=OM,四边形AMAM为平行四边形.又知AA与MM不垂直,AMAM不是菱形.(8分),过点M作MDx轴于点D.y=x2+5x+4=-,M.又A(-4,0),A(4,0),AA=8,MD=.SAMAM=2SAMA=28=18.(10分)求得符合题意的BMBM的面积为或CMCM的面积为20亦正确,12.(2015福建福州,26,13分)如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是;(2)若两个三角形面积满足SPOQ=SPAQ,求m的值;(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:PD+DQ的最大值;PDDQ的最大值.备用图,解析(1)x=2;45.(2)设直线PQ交x轴于点B,分别过点O,A作PQ的垂线,垂足分别是E,F.显然当点B在OA的延长线上时,SPOQ=SPAQ不成立.当点B落在线段OA上时,如图1,图1=.由OBEABF得=.AB=3OB.,OB=OA.由y=x2-4x得点A(4,0),OB=1.B(1,0).1+m=0.m=-1.当点B落在AO的延长线上时,同理可得OB=OA=2.图2,B(-2,0).-2+m=0.m=2.综上所述,当m=-1或2时,SPOQ=SPAQ.(3)解法一:过点C作CHx轴交直线PQ于点H,如图3,可得CHQ是等腰三角形.CDQ=45+45=90,ADPH.DQ=DH.PD+DQ=PH.过点P作PM直线CH于点M,则PMH是等腰直角三角形.PH=PM.当PM最大时,PH最大.当点P在抛物线顶点处时,PM取最大值,此时PM=6.PH的最大值为6,即PD+DQ的最大值为6.图3解法二:如图4,过点P作PEx轴,交AC于点E,作PFCQ于点F,图4,则PDE,CDQ,PFQ是等腰直角三角形.设点P(x,x2-4x),则E(x,-x+4),F(2,x2-4x).PE=-x2+3x+4,FQ=PF=|2-x|.点Q(2,x2-5x+2).CQ=-x2+5x.PD+DQ=(PE+CQ)=(-2x2+8x+4)=-(x-2)2+6(0x4).当x=2时,PD+DQ的最大值为6.由可知:PD+DQ6.设PD=a,则DQ6-a.PDDQa(6-a)=-a2+6a=-(a-3)2+18.当点P在抛物线的顶点时,a=3,PDDQ18.PDDQ的最大值为18.,附加说明:(对a的取值范围的说明)设P点坐标为(n,n2-4n),延长PM交AC于N.PD=a=PN=4-n-(n2-4n)=-(n2-3n-4)=-+.-0,0n4,当n=时,有最大值,为.0a.,解后反思在第(2)问中,PQA和PQO共用底边PQ,从而可以把面积的比转换为高的比,再利用相似三角形求得OA和OB的关系,构造方程,求出m的值;第(3)问构造等腰直角三角形是解题的突破口,综合性较强,属于难题.,13.(2014无锡,26,10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象过坐标原点O,与x轴的负半轴交于点A.过A点的直线与y轴交于B,与二次函数的图象交于另一点C,且C点的横坐标为-1,ACBC=31.(1)求点A的坐标;(2)设二次函数图象的顶点为F,其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E.若FCD与AED相似,求此二次函数的关系式.,解析(1)过C点作CGx轴,垂足为G,则OG=1.=,AG=3,AO=4,点A的坐标为(-4,0).(2)由题知,c=0,将A(-4,0)代入y=ax2+bx中,得0=16a-4b,b=4a,y=ax2+4ax,F(-2,-4a),C(-1,-3a),=,DE=-2a,D(-2,-2a),FCDAED,显然有DCF=DEA=90.过C作CHDF交DF于H,则CH=1,=,DH=-a,HF=-a,H为DF的中点,DCF=90,DH=CH=1,a=-1,此二次函数的关系式为y=-x2-4x.,解后反思本题是二次函数综合题,涉及的知识点较多,有一定难度.对于第(2)问,得出H为DF的中点是解题的关键.,14.(2014湖北黄冈,25,13分)已知:如图所示,在四边形OABC中,ABOC,BCx轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间为t秒(0t2),OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.(1)求经过O,A,B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;(2)用含t的代数式表示点P、点Q的坐标;(3)如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90,是否存在t,使得OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)求出S与t的函数关系式.,解析(1)抛物线过原点O(0,0),可设经过A,B,O三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx(a0).(或直接设y=ax2+bx+c(a0)将A(1,-1),B(3,-1)代入y=ax2+bx(a0)中,得y=x2-x.又y=x2-x=(x-2)2-,顶点M的坐标为.(2)点A的坐标为(1,-1),COA=45,OPQ为等腰直角三角形,过Q作QDx轴于D.OP=2t,OD=OP=2t=t,DQ=OP=t,点P的坐标为(2t,0),点Q的坐标为(t,-t).(3)当OPQ绕点P逆时针旋转90后,点O的坐标为(2t,-2t),点Q的坐标为(3t,-t).若点O在y=x2-x上,则(2t)2-2t=-2t,2t2-t=0,t1=0,t2=.0t2,t=,当t=时,点O(1,-1)在y=x2-x上.(只需求出t的值即可)若点Q在y=x2-x上,则(3t)2-(3t)=-t,t2-t=0.t1=0,t2=1.又0t2,t=1,当t=1时,点Q(3,-1)在y=x2-x上.(只需求出t的值即可)(4)如图,分三种情况讨论:当0t1时,S=SOPQ=OP|yQ|=2tt=t2.当1t时,设PQ交AB于点E.S=SOPQ-SAEQ.ABOC,QAE=COA=45,AEQ也为等腰直角三角形,OQ=OPcos45=2t=t.AQ=OQ-OA=t-=(t-1),SAEQ=AQ2=(t-1)2.S=t2-(t-1)2=2t-1.(或S=S梯形OAEP),如图,当0,k=.(10分)解法二:假设在直线y=kx+1上存在唯一一点Q,使得OQC=90.过点Q作QHx轴于点H,设H(x,0),已知点Q为直线AB上一动点,则Q(x,kx+1).令x2+(k-1)x-k=0,可得x1=1,x2=-k,k0,C(-k,0),(8分)CH=x+k,QH=kx+1.OQC=90,CQH+HQO=90,又QOH+HQO=90,CQH=QOH,CHQ=QHO=90,QHCOHQ,=,QH2=CHHO,(kx+1)2=(x+k)(-x),化简得(k2+1)x2+3kx+1=0.(9分)(下同解法一)(10分)解法三:假设在直线y=kx+1上存在唯一一点Q,使得OQC=90.已知点Q为直线AB上一动点,则可设Q(x,kx+1).令x2+(k-1)x-k=0,可得x1=1,x2=-k,k0,C(-k,0).(8分)设OC的中点为M,连接MQ,则M,OQC=90,QM=OC,又QM=,OC=|-k|,+(kx+1)2=(-k)2,化简得(k2+1)x2+3kx+1=0.(9分)(下同解法一)(10分),解后反思本题是较典型的以一次函数、二次函数为载体的压轴题,属较难题.题目设计具有梯度性,第(1)问虽然综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程与二次函数之间的关系,但解法易于思考;第(2)问是利用二次函数的性质求三角形面积最大值的几何动点的探究问题,解题关键是“动中取静”,选定某一位置,画出图形探究,列出函数关系式;第(3)问属探究题,综合性较强,难度较大,通常是借助图形,灵活应用相关的知识和数形结合、转化、方程等数学思想,寻找解题切入点.,18.(2014盐城,28,12分)如图,在平面直角坐标系中,一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上,坐标为(0,-1),另一顶点B的坐标为(-2,0),已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点.现将一把直尺放置在直角坐标系中,使直尺的边ADy轴且经过点B,直尺沿x轴正方向平移,当AD与y轴重合时运动停止.(1)求点C的坐标及二次函数的关系式;(2)若运动过程中直尺的边AD交边BC于点M,交抛物线于点N,求线段MN长度的最大值;(3)如图,设点P为直尺的边AD上的任一点,连接PA、PB、PC,Q为BC的中点,试探究:在直尺平移的过程中,当PQ=时,线段PA、PB、PC之间的数量关系.请直接写出结论,并指出相应的点P与抛物线的位置关系.(说明:点与抛物线的位置关系可分为三类,例如,图中,点A在抛物线内,点C在抛物线上,点D在抛物线外),解析(1)如图,过点C作CGy轴,垂足为G.由题意可知,OB=2,OA=1,AB=CA,BAC=90,BAO+CAG=90.又ACG+CAG=90,BAO=ACG.BOA=AGC=90,ABOCAG,BO=AG=2,AO=CG=1,C(-1,-3).将B(-2,0),C(-1,-3)代入y=x2+bx+c得,19.(2014泰州,24,10分)某研究所将某种材料加热到1000时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验.设降温开始后经过xmin时,A、B两组材料的温度分别为yA、yB,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b、yB=(x-60)2+m