2019届高三数学第二次模拟试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学第二次模拟试卷 理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过解不等式得到集合，然后可求出【详解】，故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是求出集合，属于简单题2.若复数满足（为虚数单位），则为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由z（1i）2=1+i，得z=1+i(1i)2=1+i2i=(1+i)i2i=12+12i |z|=(12)2+(12)2=22. 故选：B3.若直线x+(1+m)y2=0与直线mx+2y+4=0平行，则m的值是（ ）A. 1B. -2C. 1或-2D. 32【答案】A【解析】【分析】分类讨论直线x+(1+m)y-2=0的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求【详解】当m=-1时，两直线分别为x-2=0和x-2y-4=0，此时两直线相交，不合题意当m-1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得11+m=m221+m2，解得m=1综上可得m=1故选A【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论也可利用以下结论求解：若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，则l1l2A1B2=A2B1且B1C2B2C1或A1B2=A2B1且A1C2A2C14.设向量a=(1,1)，b=(2,3)，若ka2b与a垂直，则实数k的值等于（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】分析：由两个向量垂直得向量的数量积为0，利用向量的坐标表示计算即可.详解：向量a=(1,1),b=(2,-3)，则ka-2b=k-4,k+6若ka-2b与a垂直，则k-4+k+6=0.解得k=-1.故选B.点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.若实数x,y满足约束条件x+y20,xy20,y1,则z=x+2y的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据x+2y的几何意义，利用数形结合即可得到最小值【详解】由题意，作出不等式对应得平面区域，如图所示z=x+2y，则y=-12x+z2平移直线y=-12x+z2，由图象可知当直线y=-12x+z2经过点B1，1时，直线y=-12x+z2的截距最小，此时x+2y最小则x+2y的最小值为1+21=3故选B【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题。6.设D为椭圆x2+y25=1上任意一点，A(0,2)，B(0,2)，延长AD至点P，使得|PD|=|BD|，则点P的轨迹方程为（ ）A. x2+(y2)2=20B. x2+(y2)2=5C. x2+(y+2)2=20D. x2+(y+2)2=5【答案】C【解析】【分析】由题意得PA=PD+DA=DB+DA=25，从而得到点P的轨迹是以点A为圆心，半径为25的圆，进而可得其轨迹方程【详解】由题意得PA=PD+DA=DB+DA，又点D为椭圆x2+y25=1上任意一点，且A0,-2,B(0,2)为椭圆的两个焦点，DB+DA=25，PA=25，点P的轨迹是以点A为圆心，半径为25的圆，点P的轨迹方程为x2+y+22=20故选C【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA=25，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程考查对基础知识的理解和运用，属于基础题7.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=1xf(x)=x2，则输出的函数是（ ）A. f(x)=sinxB. f(x)=cosxC. f(x)=1xD. f(x)=x2【答案】A【解析】试题分析：对f(x)=sinx，显然满足f(x)+f(x)=0，且存在零点.故选A.考点：程序框图及函数的性质.8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12.则下列结论中正确的个数为（ ）ACBE；EF平面ABCD；三棱锥ABEF的体积为定值；AEF的面积与BEF的面积相等.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】连结BD,则AC平面BB1D1D,BD/B1D1, 点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此判断A,B,C正确，D错误.【详解】连结BD,则AC平面BB1D1D,BD/B1D1,ACBE,EF/平面ABCD,从而正确，又BEF面积为定值，A到平面BB1D1D距离为定值，所以三棱锥A-BEF的体积为定值，从而正确，因为A到B1D1的距离不等于BB1，所以AEF的面积与BEF的面积不相等，错误.故选C.【点睛】本题主要考查了正方体中的平行和垂直关系，属于中档题.9.函数f(x)=sin(x+)+3cos(x+)(0)的图像过点(1,2)，若f(x)相邻的两个零点x1，x2满足|x1x2|=6，则f(x)的单调增区间为（ ）A. 2+12k,4+12k(kZ)B. 5+12k,1+12k(kZ)C. 1+12k,7+12k(kZ)D. 2+6k,1+6k(kZ)【答案】B【解析】【分析】由题意得fx=2sinx+3，根据相邻两个零点满足|x1-x2|=6得到周期为T=12，于是可得=6再根据函数图象过点(1,2)求出=2k(kZ)，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间【详解】由题意得fx=sinx+3cosx+=2sinx+3，f(x)相邻的两个零点x1，x2满足|x1-x2|=6，函数f(x)的周期为T=12，=6，fx=2sin6x+3又函数图象过点(1,2)，2sin6+3=2sin2+=2cos=2，cos=1，=2k(kZ)，fx=2sin6x+3由2+2k6x+32+2k,kZ，得5+12kx1+12k,kZ，f(x)的单调增区间为5+12k,1+12kkZ故选B【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题10.已知抛物线x2=16y的焦点为F，双曲线x24y25=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】由题意并结合双曲线的定义可得PF+PF1=PF+(PF2+4)=PF+PF2+4FF2+4，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值【详解】由题意得抛物线x2=16y的焦点为F0,4，双曲线x24-y25=1的左、右焦点分别为F1-3,0,F2(3,0)点P是双曲线右支上一点，PF1=PF2+4PF+PF1=PF+(PF2+4)=PF+PF2+4FF2+4=5+4=9，当且仅当F,P,F2三点共线时等号成立，PF+PF1的最小值为9故选C【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题11.已知,R，则“”是“sinsin”的（ ）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】考查函数f(x)=xsinx,所以f(x)=1cosx0，所以f(x)在(,+)上递增，若，则sinsin，若sinsin，则，故选A.12.定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3x)=f(x)，f(x)为f(x)的导函数，且(x32)f(x)0，若x13，则有（ ）A. f(x1)f(x2)B. f(x1)f(x2)C. f(x1)=f(x2)D. 不确定【答案】B【解析】函数f(x)满足f(3-x)=f(x)，可得f(32-x)=f(32+x).由(x-32)f(x)32时，f(x)3，x132.当x132,则f(x1)f(x2).当x132,x23-x1，f(3-x1)f(x2)，即f(x1)f(x2).故选A.本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在(x22x3)3的展开式中，含x2的项的系数是_【答案】-9【解析】【分析】由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解【详解】(x2-2x-3)3表示三个(x2-2x-3)相乘，所以展开式中含x2的项有两种情况：（1）从三个(x2-2x-3)选取一个然后取x2，再从剩余的两个(x2-2x-3)中分别选取-3，所得结果为C31x2(3)2=27x2；（2）从三个(x2-2x-3)选取两个分别取-2x，再从剩余的一个(x2-2x-3)中选取-3，所得结果为C32(2x)2(3)=36x2综上可得展开式中含x2的项为36x2+27x2=9x2故答案为：9【点睛】本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题14.已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为，则sin2cos22sincos+cos2的值为_【答案】35【解析】【分析】根据导数的几何意义求出tan=2，然后将所给齐次式转化为只含有tan的形式后求解即可【详解】由fx=23x3得fx=2x2，f1=2，故tan=2sin2cos22sincos+cos2=tan212tan+1=22122+1=35故答案为：35【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有sin,cos的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于tan的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题15.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为_【答案】103【解析】如图所示，三视图还原为几何体是棱长为2的正方体中的组合体ABCDEF ，将其分割为四棱锥BCDEF 和三棱锥FABC ，其中：VBCDEF=13(1+2)222=2 ，VFABC=13(1222)2=43 ，该几何体的体积V=2+43=103 .16.已知三角形的内角A、B、C所对的边分别为a、b、，若a=2，b2c2=6，则角A最大时，三角形ABC的面积等于_【答案】2【解析】【分析】由题意得b2=c2+6，根据余弦定理得到cosA=b2+c2a22bc=(c2+6)+c222c2+6c=(c2+2)2c2(c2+6)，然后利用换元法和二次函数的最值的求法得到cosA223，并求出此时c=6,b=23，进而可得三角形的面积【详解】b2c2=6，b2=c2+6由余弦定理的推论得cosA=b2+c2a22bc=(c2+6)+c222c2+6c=c2+2c2(c2+6)=(c2+2)2c2(c2+6)，设t=c2+2(t2)，则cosA=t2(t2)(t+4)=t2t2+2t8=181t2+21t+1=18(1t18)2+98223，当且仅当t=8，即c=6,b=23时等号成立，当角A最大时，cosA=223，sinA=13，SABC=1223613=2，即角A最大时，三角形ABC的面积等于2故答案为：2【点睛】解答本题的关键是由余弦定理得到cosA的表达式，然后根据二次函数求最值的方法得到cosA223，由于题中涉及到运算量较大，所以在解题中注意换元法的运用，通过减少参数的方法达到求解的目的三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.设数列an满足a1=2，an+1an=2n；数列bn的前n项和为Sn，且Sn=12(3n2n).（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n,bn=3n2 ；(2)Tn=10+3n52n+1【解析】【分析】（1）根据累加的方法可得数列an的通项公式，利用an=S1,n=1SnSn1,n2可得数列bn的通项公式（2）由（1）得到数列cn的通项公式，然后根据错位相减法求出Tn【详解】（1）an+1an=2n，anan1=2n1(n2)，an=(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1=2n1+2n2+2+2=2(12n1)12+2=2n(n2)，又a1=2满足上式，an=2n(nN*)数列bn中Sn=12(3n2-n)，当n2时，bn=SnSn1=123n2n123(n1)2(n1)=3n2，又当n=1时，b1=S1=1，满足上式bn=3n2(nN*)（2）由（1）得cn=anbn=(3n2)2n，Tn=12+422+(3n5)2n1+(3n2)2n，2Tn=122+423+(3n5)2n+(3n2)2n+1，-得Tn=2+3(22+23+2n)(3n2)2n+1=2+322(12n1)12(3n2)2n+1=10+(53n)2n+1，Tn=10+(3n5)2n+1【点睛】（1）利用累加法求数列的通项公式或利用前n项和求数列的通项公式时，一定要注意对n=1时的情况的验证，以保证所求对任意的正整数都成立（2）用错位相减法求数列的和时，由于要涉及到大量的运算，所以很容易出现错误，解题时要根据解题步骤逐步进行，同时在平时的训练中要提高对此类问题的重视程度，加强对计算的训练，避免出现错误18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.【答案】(1)19495 ；(2)()见解析；()小明去乙公司应聘【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式及组合数进行计算即可（2）() 先求出乙公司送餐员每天的日工资，再根据频数表得到相应的频率，即为概率，进而可得分布列和期望； ()求出甲公司送餐员日平均工资为149元，与()中得到的乙公司送餐员的日平均工资162元作比较后可得结论【详解】（1）记“从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则PM=C202C1002=19495即抽取的两天送餐单数都大于40的概率为19495（2） ()设乙公司送餐员日送餐单数为a,则当a=38时,X=384=152，当a=39时, X=394=156，当a=40时, X=404=160，当a=41时, X=404+16=166，当a=42时, X=404+26=172所以X的所有可能取值为152,156,160,166,172由频数表可得PX=152=10100=110，PX=156=20100=15，PX=160=20100=15，PX=166=40100=25，PX=172=10100=110，所以X的分布列为X152156160166172P110151525110所以EX=152110+15615+16015+16625+172110=162()依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2+390.4+400.2+410.1+420.1=39.5所以甲公司送餐员日平均工资为70+239.5=149元.由()得乙公司送餐员日平均工资为162元.因为149162，故推荐小明去乙公司应聘【点睛】（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取没一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论19.在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE=1，ADE=90，ADC=DCB=120.（1）求证：AEBD；（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）55【解析】【分析】（1）根据题意先证得四边形ABCD为等腰梯形，再证得ADB=900，于是ADBD又可得到DE平面ABCD，于是DEBD，根据线面垂直的判定定理可得BD平面ADE，于是可得所证结论（2）建立空间直角坐标系，求出直线AF的方向向量和平面BDF的法向量，根据两向量的夹角的余弦值可得所求线面角的正弦值【详解】（1）证明：由已知DC/EF，且DC平面ABFE，EF平面ABFE，所以DC/平面ABFE又平面ABCD平面ABFE=AB，故ABCD又ADC=DCB=120，所以四边形ABCD为等腰梯形因为AD=DE，所以AD=CD=BC，所以ADB=1200-300=900，所以ADBD因为ADDE,DCDE，且ADDC=D，所以DE平面ABCD.所以DEBD又ADDE=D，BD平面ADE，又AE平面ADE，所以AEBD（2）如图，以D为原点，以DA,DB,DE分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0),A(1,0,0),F12,32,1,B(0,3,0)，FA=32,-32,-1,DB=0,3,0,DF=-12,32,1，设平面BDF的法向量为n=x,y,z，由nDB=3y=0nDF=12x+32y+z=0，得y=0x=2z，令z=1，得n=2,0,1 设直线与平面BDF所成的角为，sin=|cos|=|FAn|FA|n|=225=55，所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为55【点睛】利用向量求线面时，关键是建立适当的空间直角坐标系、确定斜线的方向向量和平面的法向量解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角20.已知动圆P恒过定点(14,0)，且与直线x=14相切.（1）求动圆P圆心的轨迹M的方程；（2）正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积.【答案】（1）y2=x ；（2）S=18或S=50【解析】【分析】（1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹M的方程为y2=x；（2）设CD边所在直线方程为y=x+t，代入抛物线方程后得到关于x的二次方程，进而由根与系数的关系可得CD=2(1-4t)，又由两平行线间的距离公式可得AD=t-42，由AD=CD求出t=-2或t=-6，于是可得正方形的边长，进而可得其面积【详解】（1）由题意得动圆P的圆心到点(14,0)的距离与它到直线x=-14的距离相等，所以圆心P的轨迹是以(14,0)为焦点，以x=-14为准线的抛物线，且p=12，所以圆心P的轨迹方程为y2=x（2）由题意设CD边所在直线方程为y=x+t，由y=x+ty2=x消去y整理得x2+(2t-1)x+t2=0，直线CD和抛物线交于两点，=(1-2t)2-4t2=1-4t0，解得t0正方形边长AD=32或AD=52，正方形ABCD的面积S=18或S=50【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|=d，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线（2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率21.已知函数f(x)=lnxaxx+1，（aR）.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1+x22)0，令px=x2+2-ax+1，2-a0即a2时，px1，故fx0恒成立，所以fx在0,+上单调递增；当=2-a2-40即0a4时，fx0恒成立，所以fx在0,+上单调递增；当a4时，由于fx=0的两根为x=a-2a2-4a20，所以fx在0,a-2-a2-4a