2019届高三数学上学期第二次质量达标检测试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学上学期第二次质量达标检测试卷 理(含解析)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.已知集合P=x|x0，Q=x|0，则P（RQ）=（）A. 0，2） B. 0，2 C. （1，0） D. （，1【答案】B【解析】【分析】解分式不等式可得或，进而由补集定义求得，再由交集可求得P（RQ）=0，2。【详解】因为或，所以。 因为P=x|x0，所以P（RQ）=0，2。故选B。【点睛】本题考查集合的运算，主要考查学生的运算能力及转化能力，试题容易。有关数集的运算，可将数集表示在数轴上进行求解。2.若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）.A. 0,+） B. （，0 C. （，0） D. (0,+）【答案】C【解析】函数fx=x+alnx的定义域为x0，函数fx=x+alnx的导数为fx=1+ax，当a0时，fx0，函数fx=x+alnx是增函数，当a()f(y)的形式，然后根据函数的单调性可得x、y的大小，进而可解不等式。5.在函数y=cosx，x-2,2的图象上有一点P（t，cost），若该函数的图象与x轴、直线x=t，围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则函数S=g（t）的图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用定积分来表示阴影部分的面积，并化简可得S=g(t)=sint+1，其中2t2。然后由函数图象平移可得所求函数的图象。【详解】阴影部分的面积为S=g(t)=2tcosxdx=sint+1，其中2t2。函数S=g(t)=sint+1的图象是将正弦函数的图象向上平移一个单位。故选B。【点睛】本题考查定积分、正弦函数的图象及函数图象的平移等知识。考查学生的运算能力、转化能力。不规则图形面积的求解，应用定积分来求解。6.由安梦怡是高三（21）班学生，安梦怡是独生子女，高三（21）班的学生都是独生子女。写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三段论的一般模式，可得结论。【详解】因为高三（21）班的学生都是独生子女，又因为安梦怡是高三（21）班学生，所以安梦怡是独生子女。故选B。【点睛】三段论是演绎推理的一般模式：包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。7.在ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且cos2C+cosC+cos（AB）=1，则（）A. a，b，c成等差数列 B. a，c，b成等差数列C. a，c，b成等比数列 D. a，b，c成等比数列【答案】C【解析】【分析】要判断三边a，b，c之间的关系，所以将cos2C+cosC+cos（AB）=1，用余弦二倍角公式cos2C=12sin2C和cosC=cos(A+B)变形得12sin2Ccos(A+B)+cos(AB)=1，然后用两角和、差的余弦公式化简和正弦定理可得三边a，b，c之间的关系。【详解】因为cos2C+cosC+cos（AB）=1，所以12sin2Ccos(A+B)+cos(AB)=1，所以sin2C=sinAsinB，所以c2=ab 。故选C。【点睛】三角形中，已知三角之间的关系，求三边之间的关系。根据已知式子得特点，可用余弦二倍角公式化简并消去常数1。再用公式化简出三个角的正弦的关系。8.若函数f（x）（xR）是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f（x）=x(1x),0x1sinx,1x2,则f（294）+f（416）=（）A. 516 B. 516 C. 316 D. 316【答案】A【解析】【分析】先根据函数的周期化简得f(294)+f(416)=f(-34)+f(-76)，再根据奇函数可得f(294)+f(416)=-f(34)-f(76)，进而代入分段函数解析式中求值。【详解】由已知可得f(294)+f(416)=f(-34)+f(-76)=-f(34)-f(76)=-34(1-34)-sin76 =-316+sin6=516 .故选A。【点睛】求分段函数的函数值：、方法1步骤：、找到给定自变量所在的区间；、求出该区间上函数的解析式；、将自变量带入解析式求解。方法2步骤：、利用性质，将给定的自变量转换到有解析式的区间内；、将准换后的自变量代入已知的解析式求解。9.已知a=log23，b=log34，c=log411，则a，b，c 的大小关系为（）A. bca B. bac C. abc D. acb【答案】B【解析】【分析】找一中间量32，比较a=log23和b=log34与32的大小，进而比较a=log23和b=log34的大小。利用换底公式变形得log23=log49，利用对数函数单调性比较与的大小，进而可得三数的大小。【详解】因为log34log333=32=log222log23，log23=log49log411，所以ba1”是“对任意的正数x，不等式2x+ax1成立”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2x+ax1,x0，则a2x2+x对x0恒成立，而2x2+x=2(x14)2+18，所以a18“对任意的正数x，不等式2x+ax1成立”的充要条件是“a18”，故“a1”是“对任意的正数x，不等式2x+ax1成立”充分不必要条件，故选A11.已知M是ABC内的一点，且ABAC=43，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为1，x，y，则y+4xxy的最小值是（）A. 20 B. 18 C. 16 D. 9【答案】D【解析】【分析】由ABAC=43，BAC=30，可求得三角形的面积，进而得到x+y=1。因为y+4xxy=1x+4y，所以y+4xxy=1x+4y=(x+y)(1x+4y)，然后去括号，利用基本不等式可求最小值。【详解】因为ABAC=43，BAC=30，所以|AB|AC|=8。所以SABC=12|AB|AC|sinBAC=128sin30=2。 因为MBC，MCA和MAB的面积分别为1，x，y，所以x+y+1=2，所以x+y=1 。所以y+4xxy=1x+4y=(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy5+2yx4xy=9。当且仅当yx=4xyx+y=1x0,y0 即x=13,y=23时，上式取“=”号。所以， x=13,y=23时，y+4xxy取最小值9.故选D。【点睛】本题考查数量积的定义、三角形的面积公式、基本不等式求最值。利用基本不等式a+b2ab求最值，注意“一正、二定、三相等”。当a，b都取正值时，和取定值，则积有最大值，积取定值，和有最小值。12.已知函数f(x)=12e2x+(ae)exaex+b（其中e为自然对数底数）在x=1取得极大值，则a的取值范围是（）A. a0 B. a0 C. ea0 D. ae【答案】D【解析】【分析】先求导得f(x)=e2x+(ae)exae=(exe)(ex+a)，因为函数f(x)在x=1处取得极大值，故应讨论导函数的正负。当a0时，求导函数的正负，可得函数f(x)在x=1处取极小值，不符合题意。当a0。由f(x)0，得x1；由f(x)0，得x1。所以，f(x)在区间(,1)上为减函数，在区间(1,+)上为增函数。则函数f(x)在x=1处取极小值，不符合题意。当a1ae。所以，的取值范围是a0。所以函数h(x)=xf(x)在(0,+)上为增函数。因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以h(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=h(x)。所以函数h(x)=xf(x)为偶函数，且h(0)=0,函数h(x)=xf(x)在(,0)上为减函数。因为定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，所以f(3)=f(3)=f(0)=0。所以h(3)=h(3)=h(0)=0。做函数h(x)与函数y=lg|x+1|的图象如图所示。 由函数的图象可知，函数h(x)与函数y=lg|x+1|的图象有三个交点。所以函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个。【点睛】本题考查函数零点的个数问题，判断函数的零点个数，方法一，零点存在性定理的运用；方法二，函数与方程的关系，零点个数可转化为方程根的个数的判断；方法三，可转化为两个函数的图象交点问题。本题由条件“不等式f（x）xf（x）恒成立，”应想到构造函数h(x)=xf(x)。三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x1）=2x24x， （1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x）m2x+1，其中x0，1，m为常数且mR，求函数g（x）的最小值【答案】（1）f（x）=x22x1（2）g(x)min=4m1,m12m2,m12m2,m0m22m+2,0m1【点睛】已知函数的类型，求函数的解析式，应用待定系数法；求二次函数的最值，应先求对称轴方程，根据图象的开口方向，求函数在所给区间上单调性，进而可求二次函数的最值。18.如图所示，在ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，ADC=3，cosC=277（）求sinDAC；（）求AD的长和ABC的面积【答案】（1）32114（2）10532【解析】【分析】（）在ACD中，已知ADC=3，cosC=277，要求sinDAC，所以将DAC用ADC和C来表示可得DAC=（ADC+C），进而用诱导公式可得sinDAC=sin(3+C)， 再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（）在ABD中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边AD的长。ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求ABD、ADC的面积即可得所求。【详解】解：（）ACD中，因为DAC=（ADC+C），ADC=，所以 =； 因为 ，0C，所以 ； 所以 ； （）在ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD22BDADcosADB， 所以 ，所以 AD2+6AD160=0，即 （AD+16）（AD10）=0，解得AD=10或AD=16（不合题意，舍去）；所以 AD=10； 在ACD中，由正弦定理得，即 ，解得CD=15；所以 ，即【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理。已知三边，可用余弦定理求角；已知两边一角，可用余弦定理求第三边；已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；已知两角一边，应用正弦定理求边。19.日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知ACB=60且|AC|=30米，|AM|=x米，x10，20（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为37kS，草坪的每平方米的造价为12kS（k为正常数）设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低【答案】（1）2003S2253（2）12米或18米【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题解：（1）在RtPMC中，显然|MC|=30x，PCM=60|PM|=|MC|tanPCM=（30x），2分矩形AMPN的面积S=|PM|MC|=x（30x），x10，204分于是200S225为所求6分（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k7分又ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）8分由总造价T=T1+T2，T=25k（+），200S22510分T=25k（+），200S225+12，11分当且仅当=即S=216时等号成立，12分此时x（30x）=216，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低14分考点：根据实际问题选择函数类型20.已知数列an中，a1=1，a1+2a2+3a3+nan=n+12an+1（nN*）（）证明当n2时，数列nan是等比数列，并求数列an的通项an；（）求数列n2an的前n项和Tn；（）对任意nN*，使得n3n1an+1(n+6) 恒成立，求实数的最小值【答案】（）an=1,n=123n-2n,n2（）(2n-1)3n-1+12 () 16【解析】【分析】（）要证明数列nan是等比数列，应先求其通项公式，然后用等比数列定义证明即可。由等比数列通向公式可求得数列nan的通项公式，进而可求数列an的通项an；（）要求数列n2an的前n项和Tn，应根据（）的结果求其通项公式n2an=1,n=12n3n2,n2，由通项公式的特点可用错位相减法求数列从第二项到第n项的和，再加第一项可得结果；（） 根据（）的结果，不等式n3n-1an+1(n+6)可变为2n(n+1)(n+6)，利用基本不等式，可求得不等式右边的最大值为16。可求实数的最小值为16。【详解】（）证明：由a1+2a2+3a3+nan=，得a1+2a2+3a3+（n1）an1=（n2），：，即（n2），当n2时，数列nan是等比数列，又a1=1，a1+2a2+3a3+nan=，得a2=1，则2a2=2，（n2），；（）解：由（）可知，Tn=1+2230+2331+2432+2n3n2，则，两式作差得：，得：(2n-1)3n-1+12；（）解：由（n+6），得（n+6），即对任意nN*恒成立当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有，实数的最小值为【点睛】已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，应用an与Sn的关系an=S1,n=1SnSn1,n2 ；数列an为等差数列，数列bn为等比数列，求数列anbn的前n项和应用错位相减法。 证明数列为等比数列有两种方法：等比数列的定义；等比中项。21.已知函数f（x）=12x2+(k1)xk+32，g（x）=xlnx（）若函数g（x）的图象在（1，0）处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（）当k=0时，证明：f（x）+g（x）0；【答案】（1）k=12（2）见解析【解析】【分析】（）根据导函数的几何意义求得函数g（x）的图象在（1，0）处的切线l的方程，将其方程与函数f（x）的解析式联立，得到关于x的一元二次方程，由条件可知此方程有一个解，判别式等于0，可求得实数k的值；（）证法一：当k=0时，构造函数F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+12x2x+32 ，求导判断函数F（x）在（0，+）上的单调性，进而得其最小值，判断最小值大于0即可。证法二：对于函数g（x）=xlnx，求导判断其单调性，可求其最小值，当k=0时，f(x)=12x2x+32 ，配方可求其最小值。进而可得f（x）+g（x）11e ，可证明要证不等式。【详解】（）g（x）的导数g（x）=1+lnx，斜率为g（1）=1，切点为（1，0），则直线l：y=x1，联立y=x2+（k1）xk+，可得x2+2（k2）x2k+5=0，由l与f（x）的图象相切，可得=4（k2）24（52k）=0，解得k=1；（）证法一：当k=0时，F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+x2x+，F（x）=lnx+x，x0，显然F（x）在（0，+）递增，设F（x0）=0，即lnx0+x0=0，易得x0（0，1），当x（0，x0），F（x）0，F（x）递减，当x（x0，+），F（x）0，F（x）递增F（x）的最小值为F（x0），且为x0lnx0+x02x0+=x0（x0+x01）+=x02x0+=（x0+3）（x01），由x0（0，1），F（x0）0，故F（x）0恒成立，即f（x）+g（x）0恒成立；证法二：g（x）=1+lnx，x（0，），g（x）