2019年中考数学考点总动员系列专题28直角三角形含解析.doc

考点二十八：直角三角形 聚焦考点温习理解一、直角三角形1.定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2.性质（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;2. 勾股定理的逆定理如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.三、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）四、解直角三角形解直角三角形的常用关系在RtABC中，C90，则：(1)三边关系：a2b2c2；(2)两锐角关系：AB90；(3)边与角关系：sinAcosB，cosAsinB，tanA；(4)sin2Acos2A1名师点睛典例分类考点典例一、直角三角形的判定【例1】（2017-2018学年山东省诸城市桃林镇桃林初中期末模拟）下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）A. 三个内角之比为1：2：3 B. 一边上的中线等于该边的一半C. 三边为 、 、 D. 三边长为m2+n2、m2n2、2mn（m0，n0）【答案】C【举一反三】（2017年广西防城港市防城区扶隆中学中考数学模拟）如图，ABC中，CDAB，垂足为D下列条件中，能证明ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）A+B=90 AB2=AC2+BC2 CD2=ADBD 【答案】【解析】试题解析：三角形内角和是180，由知A+B=90，ACB=180-（A+B）=180-90=90，ABC是直角三角形故选项正确AB，AC，BC分别为ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，正确题目所给的比例线段不是ACB和CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明ACB与CDB相似，也就不能得到ACB是直角，故错误；若ABC是直角三角形，已知CDAB，又CD2=ADBD，（即 ）ACDCBDACD=BACB=ACD+DCB=B+DCB=90ABC是直角三角形故选项正确；故答案为：考点典例二、直角三角形的性质【例2】（2017江苏无锡第10题）如图，ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连CE，则线段CE的长等于（）A2BCD 【答案】D【解析】试题解析：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，BC=5，CD=DB，AD=DC=DB=，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC= .故选D考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理【举一反三】（2017湖南株洲第11题）如图示在ABC中B=【答案】25.【解析】试题分析：C=90，B=90A=9065=25；故答案为：25考点：直角三角形的性质考点典例三、直角三角形斜边上的中线【例3】（2017辽宁大连第8题）如图，在中，垂足为，点是的中点，则的长为（ ）A B C. D 【答案】B.考点：直角三角形斜边上的中线.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是据图找出规律【举一反三】（2016四川达州第9题）如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A2B3C4D5【答案】B.考点：直角三角形斜边上的中线；平行线的判定；相似三角形的判定与性质考点典例四、解直角三角形【例4】（2017浙江嘉兴第15题）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，计算 ，按此规律，写出 （用含的代数式表示）【答案】，.【解析】试题解析：作CHBA4于H，由勾股定理得，BA4=，A4C=，BA4C的面积=4-2-=，CH=，解得，CH=，则A4H=，tanBA4C=，1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，tanBAnC=.考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理和正方形的性质.【举一反三】（广东省广州市越秀区2016年中考数学一模）如图，ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=5，BC=6，则sinC=_ 【答案】【解析】DE是BC的垂直平分线，CE=BE=5，CD=BD=3，CDE=90，DE=4，sinC=，故答案为： 课时作业能力提升一、选择题1. （重庆市秀山县2017-2018学年八年级上学期八校联考）如图， 中， ，则AB长为 A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】在RtABC中，A=30，BC=2，AB=2BC=4，故选C2. （浙江省金华市第五中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）在ABC中,ACB=90,A=30,CDAB于D,AB=4cm,则BD的长为（ ）.A. 3 B. 4 C. 1 D. 7【答案】C【解析】根据含30角的直角三角形的性质,结合已知ACB=90,A=30，得ABC=60,BC=2,；再由含30角的直角三角形可得BD是BC的一半为1. 故选：C.3. （浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（ ）A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D. 【答案】D【解析】根据直角三角形的面积可以导出：斜边c= 再结合勾股定理：a2+b2=c2 进行等量代换，得a2+b2=，两边同除以a2b2， 得故选D4. （华师大版九年级数学下册：2018年中考模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得（单位：尺），则井深为（ ） A. 1.25尺 B. 57.5尺 C. 6.25尺 D. 56.5尺【答案】B【解析】依题意有ABFADE， AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5，解得AD=62.5，BD=ADAB=62.55=57.5尺。故选：B.5. （2017广西百色第10题）如图，在距离铁轨200米处的处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，10秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒. A B C. 200 D300【答案】A【解析】考点：1.解直角三角形的应用方向角问题；2.勾股定理的应用二、填空题6. （2017湖南常德第14题）如图，已知RtABE中A=90，B=60，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得CDE=30，则CD长度的取值范围是 【答案】0CD5【解析】试题分析：当点D与点E重合时，CD=0，当点D与点A重合时，A=90，B=60，E=30，CDE=E，CDB=B，CE=CD，CD=CB，CD=BE=5，0CD5，故答案为：0CD5考点：含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线7. （山东省平邑县阳光中学2018届九年级一轮复习）如图，平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，若AE=6，AF=4，cosEAF=，则CF=_ 【答案】【解析】试题解析：AEBC，AFDC， 又ABDC， .又 ， . ， ，即 .又 B=D，所以 ， .由题，AF=4，AE=6，则根据勾股定理，易得 ， ， .所以本题的正确答案为 .8.在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC= 【答案】【解析】试题分析：B=30，AB=12，AC=6，ABC是直角三角形，BC=，故答案为：考点：1含30度角的直角三角形；2勾股定理9.如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为 【答案】【解析】考点：1. 折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10. （2017江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tanBOD的值等于 【答案】3.【解析】试题解析：平移CD到CD交AB于O，如图所示，则BOD=BOD，tanBOD=tanBOD，设每个小正方形的边长为a，则OB=，OD=，BD=3a，作BEOD于点E，则BE=，OE=，tanBOE=，tanBOD=3.考点：解直角三角形11. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为 【答案】【解析】试题分析：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，s1= s= s，s2=s=s，s3=s，sn=s=22=.考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形三、解答题12. （2017黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在中，于，分别是，的中点（1）求证：，；（2）连接，若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）EF=5 【解析】试题分析：（1）证明BDGADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可试题解析：（1）ADBC，ADB=ADC=90，在BDG和ADC中， ，BDGADC，BG=AC，BGD=C，ADB=ADC=90，E，F分别是BG，AC的中点，DE=BG=EG，DF=AC=AF，DE=DF，EDG=EGD，FDA=FAD，EDG+FDA=90，DEDF；（2）AC=10，DE=DF=5，由勾股定理得，EF= =5 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理13. （2017辽宁大连第24题）如图，在中，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）分两种情形如图1中，当CE与AB相交于Q时，即时，过P作MNDC，设B=当DC交AB于Q时，即时，如图2中，作PMAC于M，PNDQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；试题解析：（1）证明：如图1中，EDE=C=90，ADP+CDE=90，CDE+DEC=90，ADP=DEC （2）解：如图1中，当CE与AB相交于Q时，即时，过P作MNDC，设B=MNAC，四边形DCMN是矩形，PM=PQcos=y，PN=（3x），（3x）+y=x，当DC交AB于Q时，即时，如图2中，作PMAC于M，PNDQ于N，则四边形PMDN是矩形，PN=DM，DM=（3x），PN=PQsin=y，（3x）=y，综上所述， 考点：旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形.14.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.（1）求F的度数；（2）若CD=2，求DF的长.【答案】（1）30；（2）4.【解析】考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平行的性质；3.含30度角的直角三角形的性质 日月崇拜是原始宗教的重要内容之一，中国古代很早就有祭祀日月的宗教礼俗。殷人将日月称东母与西母，周代依据日月的时间属性行朝日夕月的祭礼，“夕月”即秋分日的晚上在西门外祭月。春秋战国时，日月神被称为东皇公、西王母。沂南汉画像石中东王公、西王母分坐在柱收物（昆仑山）上，西王母两旁跪有捣药的玉兔，由此可知，晋代郭璞图赞中“昆仑月精”的说法言之有据，而后世的月神嫦娥即由西王母演变而来。秦汉时期日月祭祀仍为皇家礼制，此后直至明清历代都有秋分祭月的礼仪。上古时期祭月列入皇家祀典而例行祭祀后，民间缺少了祭月的消息，这可能与古代社会的神权控制有关，像日月这样的代表阴阳的天地大神，只有皇家才能与之沟通，一般百姓无缘祭享。隋唐以后，随着天文知识的丰富与文化观念的进步，人们对月亮有了较理性的认识，月亮的神圣色彩明显消褪。这时皇家也逐渐失去了对月神祭祀的独占权。对一般平民来说，月亮不再是那样“高不可及”。唐朝虽没有中秋节，但唐人精神浪漫，亲近自然，中秋赏月已成为文人的时尚，吟咏中秋明月的华章丽句寻常可见，如许浑鹤林寺中秋夜玩月云：“中秋云尽出沧海，半夜露寒当碧天。轮彩渐移金殿外，镜光犹挂玉楼前。”在宋代，中秋节已成为民俗节日。文人沿袭赏月古风，但其情趣大异于唐人。唐人大多由月亮的清辉联想到河山的壮美，友朋千里，邀赏明月，诗酒风流，如白居易八月十五日夜禁中独直，对月忆元九“三五夜中新月色，二千里外故人心”，就借秋月抒发了感物怀人的情思。宋人常以月之阴晴圆缺，喻人生变化无常，苏轼中秋月“暮云收尽溢清寒，银汉无声转玉盘。此生此夜不长好，明月明年何处看”就寄托着这种浩叹。似乎中秋明月的清光，也难掩宋人的感伤。不过对于宋人来说，中秋还有另一种形态，即世俗的欢愉。北宋东京中秋夜，“贵家结饰台榭，民间争占酒楼玩月”（东京梦华录）。南宋杭州中秋夜更是热闹，在银蟾光满之时，王孙公子、富家巨室，莫不登楼，临轩玩月，酌酒高歌；中小商户也登上小小月台，安排家宴，“团圆子女，以酬佳节”（梦梁录）；市井贫民“解衣市酒，勉强迎欢，不肯虚度”。团圆是中秋节俗的中心意义。宋人的团圆意识已与中秋节令发生关联，宋代城市居民阖家共赏圆月，就体现了这一伦理因素。明清时期，由于理学的浸染，民间社会乡族观念增强，人们对家庭更为依恋，中秋节正是加强亲族联系的良机。“中秋民间以月饼相连，取团圆之义”（明代田汝成西湖游览志奈），月饼在宋代已经出现，但以月饼为中秋特色食品及祭月供品的风俗大概始于明朝，小小的月饼在民间生活中作为团圆的象征与联系亲族情感的信物互相馈送。节日是日常生活的亮点，节俗文化是时代精神的聚焦。中秋经历了文人赏月的雅趣，民间拜月的情趣，以及有心吃月饼而无心看月的俗趣，节俗形态从古至今发生了重大变化。一部中秋节俗形态演变史，也是一部中国民众心态的变迁史。（摘编自萧放团圆饼与月亮节中秋节俗形态的变迁）1下列关于原文内容的表述，不正确的一项是( )A对于日月，殷人称东母与西母，春秋战国时称东皇公、西王母，汉代称东王公、西王母，从这些称呼可以看出，中国古人的日月崇拜有一脉相承之处。B唐宋两代都有文人赏月的风尚。唐人多借月表达对自然美景的欣赏赞美，体现出诗酒风流的情趣，而宋人常因月抒发感伤之情。C南宋时的都城杭州，中秋夜热闹非凡，不仅富家巨室、中小商户宴饮赏玩，“以酬佳节”，连财力匮乏的市井贫民也勉力寻欢，足见中秋在当时已是非常重要的节日。D中秋的节俗文化经历了不断丰富与演变的过程，如宋人赋予中秋节阖家团圆的意义，明人则将月饼引入中秋节，作为团圆的象征与联系亲族感情的信物。2下列理解和分析，不符合原文意思的一项是( )A弦、望、晦、朔是月亮在运行过程中被人观察到的不同形态，是中国大多数节日设定的基准，如中秋节的设定就与“望”有关。B中秋节源于原始宗教中的月亮崇拜，但形成较晚。唐代文人已有中秋之夜赏月的风尚，到宋代，中秋则成为重要的民俗节日。C沂南汉画像石中的西王母为月神，居于昆仑山，后演变为月神嫦娥。晋代郭璞图赞中“昆仑月精”的说法即以此神话为依据。D唐朝的一般民众将月亮视为欣赏的对象，而不再觉得它高不可及，这跟天文知识的丰富、文化观念的进步和皇家丧失对祭月的独占权大有关系，3根据原文内容，下列说法不正确的一项是( )A月为天地大神，在宗教祭祀中地位重要，上古时期统治者独占祭月权之后，直至隋唐以前，一般民众无权祭月，中国民间也没有祭月的风俗。B尽管唐宋文人赏月的情趣大异，但白居易八月十五日夜禁中独直，对月忆元九和苏轼中秋月都是借月抒怀的感伤之作，表达了对友人的思念之情。C在宋代，中秋已是团圆佳节，到明清时期，理学的影响增强了民间社会的乡族观念和人们对家庭的依恋，于是中秋节更成为共享天伦与联系亲族的良机。D中秋节俗形态丰富，从文人雅士赏玩明月，到民间阖家团圆共赏明月，再到以月饼相赠加强亲族联系，这些习俗的演变折射了时代精神的变迁。（二）文学类文本阅读（14分）阅读下面的文字，完成4-6题。百年震柳梁衡1920年12月16日，宁夏海原县发生了一场全球最大的地震。是日晚8时，风暴大起，四野尘霾，大地颤动，山移、地裂、河断、城陷。黄土高原经这一抖，如骨牌倒地，土块横飞。老百姓惊呼：“山走了！”有整座山滑行三四公里者，最大滑坡面积竟毗连三县，达两千平方公里。山一倒就瞬间塞河成湖，形成无数的大小“海子”。地震中心原有一大盐湖，为西北重要的产盐之地。湖底突然鼓起一道滚动的陡坎，如有人在湖下推行，竟滴水不漏地将整个湖面向北移了一公里，称之为“滚湖”。所有的地标都被扭曲、翻腾得面目全非。大地瞬间裂开一条237公里长的大缝，横贯甘肃、陕西、宁夏。裂缝如闪电过野，利刃破竹，见山裂山，见水断水，将城池村庄一劈两半，庄禾田畴被撕为碎片。当这条闪电穿过海原县的一条山谷时，谷中正有一片旺盛的柳树，它照样噼噼啪啪，一路撕了下去。但是没有想到，这些柔枝弱柳，虽被摇得东倒西歪，断枝拔根，却没有气绝身死。狂震之后，有一棵虽被撕为两半，但又挺起身子，顽强地活了下来，至今仍屹立在空谷之中，这就是那棵有名的震柳。 我不知道这株柳，该称它是一棵还是两棵。它同根，同干，同样的树纹，头上还枝叶连理。但地震已经将它从下一撕为二，现在两个半边树中间可穿行一人，而每一半也都有合抱之粗了。人老看脸，树老看皮。经过百年岁月的煎熬，这树皮已如老人的皮肤，粗糙，多皱，青筋暴突。纹路之宽可容进一指，东奔西突，似去又回，一如黄土高原上的千沟万壑。这棵树已经有500年，就是说地震之时它