浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时224.7正弦定理和余弦定理课件.ppt

4.7正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,1.正弦定理和余弦定理,3.三角形面积,考点突破,考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形,考点二利用正弦、余弦定理判断三角形的形状,考点三正弦定理、余弦定理的综合应用,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absinA时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.(1)S=ah(h为BC边上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA.,(1)S=2R2sinAsinBsinC(R为ABC外接圆的半径);(2)S=(R为ABC外接圆的半径);(3)S=;(4)S=pr.,知识拓展,1.(2018温州十校联合体期初)在ABC中,A=45,B=60,a=10,则b等于(D)A.5B.10C.D.5,2.(教材习题改编)在ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=(B)A.90B.120C.135D.150,3.在ABC中,sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则C等于(B)A.B.C.D.,4.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2cosAsinB=b2sinAcosB,则ABC的形状为(D)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形,5.若满足条件C=60,AB=,BC=a的ABC有两个,那么a的取值范围是(C)A.(1,)B.(,)C.(,2)D.(1,2),解析由正弦定理得=,a=2sinA.C=60,0A120.又满足条件的ABC有两个,asin60a,即a0,所以SABC.解法二:因为=2,所以a=2sinA,b=2sinB.又A+B=,所以SABC=absinC=sinAsinB,=sinAsin=sinAcosA+sin2A=sin2A-cos2A+=sin+.又0A,所以-2A-,-c=,所以a+b2,则2CABC=a+b+c3.解法二:因为=2,所以a=2sinA,b=2sinB,则a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin=3sinA+cosA=2sin,又0A,所以A+,则sin1,所以a+b2,2CABC3.,(2)2a+b=4sinA+2sinB=4sinA+2sin=5sinA+cosA=2sin(A+),其中sin=,cos=,又0A,所以A+,又0sin=,所以0,则=sinsin(A+)1.故2a+b2.(3)SABC=(a+b+c)r,r=,又a2+b2=3+ab,所以(a+b)2=3+3ab,所以r=(a+b-),又a+b2,所以00,sinB=cosB,tanB=.又B(0,),B=.(2)由S=b2=acsinB=ac,得b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-ac,即a2+c2-2ac=0,亦即(a-c)2=0,a=c,=1.,利用正弦、余弦定理判断三角形的形状,典例2设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定,解析由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sinA,sinA=1,即A=.故选B.,探究若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“2sinAcosB=sinC”,试判断ABC的形状.,解析ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,2sinAcosB=sinC,2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,A,B(0,),A-B(-,),A-B=0,A=B,ABC是等腰三角形.,方法指导利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用ABC中A+B+C=这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因,式,以免漏解.三角形中常见的结论:在ABC中,A+B+C=.在三角形中大边对大角,反之亦然.任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.三角形ABC内的诱导公式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sin=cos;,cos=sin.在ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60.ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c成等比数列.,2-1若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC=51113,则ABC(C)A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形,解析由sinAsinBsinC=51113及正弦定理得abc=51113.由余弦定理得cosC=0),直线y=与函数f(x)图象相邻两交点的距离为.(1)求的值;(2)在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若点是函数y=f(x)图象的一个对称中心,且b=3,求ABC面积的最大值.,解析(1)函数f(x)=sin-2cos2x+1=sinxcos-cosxsin-2+1=sinx-cosx=sin.因为f(x)的最大值为,所以f(x)的最小正周期为,所以=2.(2)由(1)知f(x)=sin,因为sin=0B=,因为cosB=,所以ac=a2+c2-92ac-9,ac9,故SABC=acsinB=ac.故ABC面积的最大值为.,方法技巧求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题一般转化为一个角的一个三角函数,利用三角函数的有界性求解,或利用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解.,3-1(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,解析(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB),上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac.又SABC=2,则ac=.,由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.,3-2(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求ABC的面积.,解析(1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sinC=.(2)因为a=7,所以c=7=3.,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsinA=83=6.,3-3在ABC中,已知AB=2AC.(1)若A=60,BC=2,求ABC的面积;(2)若AD是BAC的平分线,且AD=kAC,求k的取值范