2019版高考数学一轮复习 第八章 立体几何初步课时训练.doc

第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系一、 填空题1. 线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是_(用符号表示)答案：AB解析：由公理1可知AB.2. 已知l，m ，n ，mnP，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为_答案：Pl解析：因为l，m ，n ，mnP，所以Pm，Pn，P，P，所以Pl.3. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 若ab，bc，则ac.上述命题中正确的是_(填序号)答案：解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故错误；根据异面直线所成角的定义知正确4. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_(填序号) l与l1，l2都不相交； l与l1，l2都相交； l至多与l1，l2中的一条相交； l至少与l1，l2中的一条相交答案：解析：若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，所以l1l2，这与l1和l2是异面直线相矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交故正确5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有_条答案：4解析： EF是OB1C1的中位线， EFB1C1. B1C1BCADA1D1， 与EF平行的棱共有4条6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的有_对答案：3解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方体，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是_(填序号) A，M，C1三点共线； M，O，A1，A四点共面； A，O，C，M四点共面； B，B1，O，M四点共面答案：解析：作出图形，可知正确8. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_答案：60解析：如图，取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E即为所求，设AB1，则AA1，AB1，B1E，故AB1E60.9. 如图，点G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号)答案：解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面10. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M, N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断正确的是_(填序号) MN与CC1垂直； MN与AC垂直； MN与BD平行； MN与A1B1平行答案：解析：连结B1C，B1D1，则MN是B1CD1的中位线， MNB1D1. CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1， MNCC1，MNAC，MNBD，故正确 A1B1与B1D1相交， MN与A1B1不平行，因此错误二、 解答题11. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.(1) 求证：D，B，E，F四点共面；(2) 作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置(1) 证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交设交点为O，则OC1C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O，则OC1C1C，故O与O重合由此可证得DEBFO，故D，B，F，E四点共面(设为)(2) 解：由于AA1CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为)PBD，而BD，故P.又PAC，而AC，所以P，所以P，同理可证得Q，所以有PQ.因为A1C，所以A1C与平面的交点就是A1C与PQ的交点，连结A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点12. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别为A1A ，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形证明：如图，取B1B的中点G，连结GC1，EG， GBC1F，且GBC1F， 四边形C1FBG是平行四边形， FBC1G，且FBC1G. D1C1EG，且D1C1EG， 四边形D1C1GE为平行四边形， GC1D1E，且GC1D1E， FBD1E，且FBD1E， 四边形EBFD1为平行四边形 FBFD1， 四边形EBFD1是菱形13. 已知空间四面体ABCD，点E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：(1) E，F，G，H四点共面；(2) 三条直线FH，EG，AC共点证明：(1) 如图，连结EF，GH. 点E，F分别是AB，AD的中点， EFBD. CGBC，CHDC， GHBD， EFGH， E，F，G，H四点共面(2) 易知FH与直线AC不平行，但共面， 设FHACM， M平面EFHG，M平面ABC. 平面EFHG平面ABCEG， MEG， 直线FH，EG，AC共点第2课时直线与平面的位置关系(1)一、 填空题1. 直线a，b为异面直线，关于过直线a 且与直线b平行的平面的情况，下列说法正确的是_(填序号) 有且只有一个； 有无数多个； 至多一个； 不存在答案：解析：在直线a上任选一点A，过点A作bb，则b是唯一的，又abA，所以a与b确定一平面并且只有一个平面，故正确2. 对于不同直线m，n和不同平面，给出下列命题： mn； n； m，n不共面； mn.其中假命题的个数是_答案：4解析：中m与n可能平行，也可能异面；中可能n；中可能mn或m与n相交；中不知道与的位置，无法判断m与n的位置关系故四个命题都不正确3. 若直线l与平面不平行，则下列结论正确的是_(填序号) 内的所有直线都与直线l异面； 内不存在与l平行的直线； 内的直线与l都相交； 直线l与平面有公共点答案：解析：直线l与平面不平行，则直线l与平面有如下关系：l或lA，故均不正确，正确4. 下列命题正确的是_(填序号) 若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面； 若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行； 若直线a，b和平面满足a，b，那么ab； 若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b.答案：解析：根据线面平行的判定与性质定理知，正确5. 已知三条直线a，b，c和平面，则下列推论正确的是_(填序号) 若ab，b，则a； 若a，b，则ab； 若a，b，a，b共面，则ab； 若ac，bc，则ab.答案：解析：对于，可能有a，故错；对于，a与b可能平行、相交或异面，故错；对于，a与b可能平行、相交或异面，故错；根据线面平行的性质定理知，正确6. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度为_答案：解析：因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面AB1C平面ABCDAC，所以 EFAC.又点E是AD的中点，所以点F是DC的中点所以EFAC.7. 过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条答案：6解析： 四条棱AC，BC，A1C1，B1C1的中点中任意两点连线均与平面ABB1A1平行，所以共有6条直线符合题意8. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是_(填序号)答案：解析：因为点M，N，Q分别为对应棱的中点，所以在中AB与平面MNQ相交，在中均有ABMQ，在中，有ABNQ，所以在中均有AB与平面MNQ平行9. 如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部的可能情况)答案：点M与点H重合(或点M在线段FH上)解析：当点M在线段FH上时，MN平面B1BDD1.二、 解答题10. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别是棱PC和PD的中点求证：EF平面PAB.证明：因为点E，F分别是棱PC和PD的中点，所以EFCD.又在平行四边形ABCD中，ABCD，所以EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.11. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别为BB1，AC的中点求证：BF平面A1EC.证明：如图，连结AC1交A1C于点O，连结OE，OF.在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OAOC1.因为点F为AC的中点，所以OFCC1且OFCC1.因为点E为BB1的中点，所以BECC1且BECC1.所以BEOF且BEOF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC.12. 如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB，CD，ACE，ADF，BDH，BCG.求证：四边形EFHG是平行四边形证明： AB，平面ABCEG， EGAB.同理FHAB， EGFH.又CD，平面BCDGH. GHCD.同理EFCD， GHEF. 四边形EFHG是平行四边形13. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点求证：(1) AD1平面BDC1；(2) BD平面AB1D1.证明：(1) 因为点D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，所以C1D1DA，C1D1DA，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD1C1D.又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，所以AD1平面BDC1.(2) 如图，连结D1D，因为BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，所以BB1D1D.又D1，D分别为A1C1与AC的中点，所以BB1DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BDB1D1.又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以BD平面AB1D1.第3课时直线与平面的位置关系(2)一、 填空题1. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的_条件答案：充分不必要解析：llm，ln.反之，因为 m，n不一定相交，故lm且ln不一定推出l.2. 下列条件中，能判定直线l平面的是_(填序号) l与平面内的两条直线垂直； l与平面内的无数条直线垂直； l与平面内的某一条直线垂直； l与平面内的任意一条直线垂直答案：解析：由线面垂直的定义及判定定理可知正确3. 下列说法正确的是_(填序号) 若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面； 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线； 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面答案：解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，错误；正确；中垂直于这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，错误4. 已知平面，和直线m，给出条件： m； m； m； .当满足条件_时，有m.(填序号)答案：解析：若m，则m.故填.5. 已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题： 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，n，则mn； 若m，mn，则n.其中真命题是_(填序号)答案：6. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，点D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F_答案：解析：设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知，得A1B1.设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等，得x，解得x.即线段B1F的长为.7. 如图，PA平面ABC，在ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数为_答案：4解析：BC平面PACBCPC， 直角三角形有PAB，PAC，ABC，PBC.8. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为_答案：解析：如图，在平面ADD1A1中作A1EAD1于点E，连结C1E，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，AB平面ADD1A1，所以A1EAB.因为AD1 ABA，AD1，AB平面ABC1D1，则A1E平面ABC1D1，所以A1C1E就是A1C1与平面ABC1D1所成的角，在RtAA1D1中，AA1A1D1，A1EAD1，所以点E为AD1的中点，且A1EAD1A1C1，所以sinA1C1E.9. 设，是空间中两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同的直线从“ mn； ； n； m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)答案：或解析：因为当n，m时，平面及所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若mn，则，从而由正确；同理也正确10. 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案：a或2a解析：由题意可得B1D平面A1ACC1， CFB1D， 为了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F)设AFx，则CD2DF2FC2， x23ax2a20， xa或x2a.二、 解答题11. 如图，在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，且PA底面ABCD，PAAC，点E是PA的中点，点F是PC的中点，求证：(1) PC平面BDE；(2) AF平面BDE.证明：(1) 连结OE，因为点O为菱形ABCD对角线的交点，所以点O为AC的中点因为点E为PA的中点，所以OEPC.因为OE平面BDE，PC平面BDE，所以PC平面BDE.(2) 因为PAAC，PAC是等腰三角形，又点F是PC的中点，所以AFPC.又OEPC，所以AFOE.因为PA底面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA BD.因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以ACBD.又PAACA，AC平面PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.又AF平面PAC，所以AFBD .又OEBDO，OE平面BDE，BD平面BDE，所以AF平面BDE.12. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，ADC1D.(1) 求证： AD平面BCC1B1；(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E平面ADC1.证明：(1) 因为ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADC1D，CC1，C1D平面BCC1B1，CC1C1DC1，所以AD平面BCC1B1.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，点E是B1C1的中点，所以A1EB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1E平面A1B1C1，所以CC1A1E.又因为B1C1，CC1平面BCC1B1，B1C1CC1C1，所以A1E平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1EAD.又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1.13. 在直三棱柱ABC A1B1C1中，CACB，AA1AB，D是AB的中点若点P在线段BB1上，且BPBB1.求证：AP平面A1CD.证明： CACB，D是AB的中点， CDAB. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC侧面A A1B1B，交线为AB，又CD平面ABC， CD平面AA1B1B. AP平面A1B1BA， CDAP. BB1BA，BB1AA1 ，BPBB1， ， RtABPRtA1AD， AA1DBAP， AA1DA1APBAPA1AP90， APA1D. CDA1DD，CD平面A1CD，A1D平面A1CD， AP平面A1CD.第4课时平面与平面的位置关系一、 填空题1. 设，为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题： 若mn，n，则m； 若m，n，m，n，则； 若，m，n，则mn； 若，m，n，nm，则n.其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：中没有强调m在平面外；中没有强调m，n相交；中m与n有可能异面；正确2. 已知正方体ABCD A1B1C1D1，下列结论中正确的是_(填序号) AD1BC1； 平面AB1D1平面BDC1； AD1DC1； AD1平面BDC1.答案：解析：由四边形ABC1D1是平行四边形可知AD1BC1，故正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，正确；AD1与DC1是异面直线，故错误3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法中正确的序号是_ 若m，n，则mn； 若m，nm，则n； 若m，n，则mn； 若，n，mn，则m.答案：解析：对于，如图，m，n，此时m，n异面，故错误；对于，若m，mn，则n或n，故错误；对于，若n，则n或n，又m， mn，故正确；对于，若，n，mn，则m也可能与相交、平行或在内，故错误4. 已知和是两个不重合的平面在下列条件中，可判定的是_(填序号) 内有无数条直线平行于； 内不共线的三点到的距离相等； l，m是平面内的直线，且l，m； l，m是异面直线且l，m，l，m.答案：解析：由面面平行的判定定理可以推出5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是_(填序号) 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则.答案：解析：选项，由条件n，mn推出m，又m，易知.6. 设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出四个论断： b； a； ab； a.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的命题：_答案：或解析：若b，a，ab，则a，即；若b，a，a，则ab，即.7. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的序号是_ 若，m，则m； 若m，n，则mn； 若，n，mn，则m； 若n，n，m，则m.答案：解析：由，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在中，若，m，则由面面平行的性质定理得m，故正确；在中，若m，n，则mn或m与n异面，故错误；在中，若，n，mn，则m与相交、平行或m，故错误；在中，若n，m，则mn，又由n得m，故正确8. 如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有_对答案：5解析：由PA平面ABCD知，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD.又ADPA，且ADAB，PAABA，DA平面PAB， 平面DPA平面PAB.又BC AD，BC平面PAB， 平面PBC平面PAB，同理DC平面PDA， 平面PDC平面PDA.9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m，给出下列命题： lm； lm； ml； lm.其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：是面面平行的性质的应用，正确；，l，l，m可平行，可相交，可异面，命题错误；m，l lm l与可平行，l可在内，l可与相交，命题错误；l，lm，命题正确10. 在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论： PC平面OMN； 平面OMN平面PAB； OMPA； 平面PCD平面OMN.其中正确结论的序号是_答案：解析：如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点，连结OE，OF，G为OE的中点，连结EM，MG，AC，BD，平面OMN即平面MNOE.因为M为PA的中点，O为AC的中点，所以PCOM，所以PC平面OMN，同理PD平面OMN，所以平面PCD平面OMN，故正确由于四棱锥的棱长均相等，所以PA2PC2AB2BC2AC2，所以PCPA.又PCOM，所以OMPA，故正确因为OMPCPDME，所以MGOE.又MNOE，所以GMMN.假设平面OMN平面PAB，则GM平面PAB，则MGPA，设四棱锥的棱长为4，则MA2，AG，MG，三边长度不满足勾股定理，所以MG不垂直PA，与假设矛盾，故不正确二、 解答题11. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点求证：(1) B1C1平面A1DE；(2) 平面A1DE平面ACC1A1.证明：(1) 因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC.又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE.又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE.(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE.又BCAC，DEBC，所以DEAC.又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1.又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.12. 如图，在三棱锥ABCD中，ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1) EF平面ABC；(2) ADAC.证明：(1) 在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2) 因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.13. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，ACBC，ACD90.(1) 求证：AB平面EDC；(2) 若P为FG上任一点，求证：EP平面BCD.证明：(1) 因为平面ABC平面ACD，ACD90，即CDAC，平面ABC 平面ACDAC，CD平面ACD，所以CD平面ABC.又AB平面ABC，所以CDAB.因为ACBC，E为AB的中点，所以CEAB.又CECDC，CD平面EDC，CE平面EDC，所以AB平面EDC.(2) 连结EF，EG，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.又BD平面BCD，EF平面BCD，所以EF平面BCD.同理可证EG平面BCD，且EFEGE，EF平面BCD，EG平面BCD，所以平面EFG平面BCD.又P为FG上任一点，所以EP平面EFG，所以EP平面BCD.第5课时空间几何体的表面积和体积一、 填空题1. 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120，且面积为3的扇形，则该圆锥的体积为_答案：解析：设圆锥的母线为l，底面半径为r，因为3l2，所以l3，由2r，得r1，所以圆锥的高是2，所以圆锥的体积是122.2. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，AA11 cm，则三棱锥D1A1BD的体积为_cm3.答案：解析：三棱锥D1A1BD的体积等于三棱锥BA1D1D的体积，因为三棱锥BA1D1D的高等于AB，A1D1D的面积为矩形AA1D1D的面积的，所以三棱锥BA1D1D的体积是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积的，所以三棱锥D1A1BD的体积为321.3. 若正四棱锥的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm，则它的体积为_cm3.答案：解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c8，ch8，所以斜高h2，所以正四棱锥的高h，所以正四棱锥的体积为22.4. 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为_答案：解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为.5. 设M，N分别为三棱锥P ABC的棱AB，PC的中点，三棱锥P ABC的体积记为V1，三棱锥P AMN的体积记为V2，则_答案：解析：设AMN的面积为S，点P到平面AMN的距离为h，则V2Sh，而V122Sh，则. 6. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_答案： 解析：三棱锥的底SABA133，点P到底面ABA1的距离为ABC的高：h ，故三棱锥的体积VSh .7. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1ADE的体积为_答案：解析：三棱锥B1ADE的体积三棱锥DB1AE的体积11.8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_答案：2解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，则该正方体的棱长为2.9. 已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_答案：24解析：设正四棱锥的高为h，则()2h，解得高h.则底面正方形的对角线长为，所以OA，所以球的表面积为4()224.10. 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为O，EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是_答案：4解析：因为将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为O，EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥OEFG的高为圆柱的高，即高为AB，所以当三棱锥OEFG体积取最大值时，EFG的面积最大，当EF为直径，且点G在EF的垂直平分线上时，(SEFG)max424，所以三棱锥OEFG体积的最大值Vmax(SEFG)maxAB434.二、 解答题11. 如图，在三棱锥DABC中，已知BCD是正三角形，AB平面BCD，ABBCa，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF3FC.(1) 求三棱锥DABC的体积；(2) 若M为DB中点，N在棱AC上，且CNCA，求证：MN平面DEF.(1) 解：因为BCD是正三角形，且ABBCa，所以SBCDa2.因为AB平面BCD，所以VDABCVA BCDSBCDABa2aa3.(2) 证明：连结CM，设CMDEO，连结OF.则O为BCD的重心，COCM.因为CNCA，AF3FC，所以CFCN，所以MNOF.因为OF平面DEF，MN平面DEF，所以MN平面DEF.12. 如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点(1) 求证：PABD；(2) 求证：平面BDE平面PAC；(3) 当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积(1) 证明：因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.因为BD平面ABC，所以PABD.(2) 证明：因为ABBC，点D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3) 解：因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为点D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱锥E BCD的体积VBDDCDE.13. 如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，BDACO，现将其沿菱形对角线BD折起得到四面体EBCD，使EC.(1) 求证：EOCD.(2) 求点O到平面EDC的距离(1) 证明： 四边形ABCD为菱形， ACBD. BDACO， EOBD. 在菱形ABCD中，AB2，ABC60， ADCDBC2，AOOC1. EC，COEO1， EO2OC2EC2， EOOC.又BDOCO， EO平面BCD， EOCD.(2) 解：设点O到平面ECD的距离为h，由(1)知EO平面OCD.V三棱锥OCDEV三棱锥EOCD，即SOCDEOSECDh.在RtOCD中，OC1，OD，DOC90， SOCDOCOD.在CDE中，EDDC2，EC， SCDE， h，即点O到平面EDC的距离为.第6课时空间向量在立体几何中的应用一、 填空题1. 已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则_答案：(bca)解析：(bc)a(bca)2. 若直线l，且l的方向向量为(m，2，4)，平面的法向量为，则m为_答案：1解析： (m，2，4)， m1.3. 若向量a(1，2)，b(2，1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则_答案：2或解析：由cosa，b，解得2或.4. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点若(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)，则给出下列结论： APAB； APAD； 是平面ABCD的一个法向量； .其中正确的是_(填序号)答案：解析：2(1)(1)2(4)(1)2240，则，即APAB；(1)42200，则，即APAD.又ABADA， AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量由于(2，3，4)，(1，2，1)， ， 与不平行5. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为_答案：解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2，1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.6. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAD90，BAA1DAA160，则对角线AC1的长度等于_答案：解析：2()222222216925243cos 90245cos 60235cos 6050201585，即 |.7. 如图，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为_答案：解析：以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. 8. 已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动当取得最小值时， 的坐标是_答案：解析： 点Q在直线OP上， 设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.当时，取得最小值，此时.9. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_答案：解析：如图，以A点为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cos n1，n2，即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.二、 解答题10. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQBB1(0)(1) 若，求AP与AQ所成角的余弦值；(2) 若直线AA1与平面APQ所成的角为45，求实数的值解：以A点为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.(1) 因为(1，2，2)，(2，0，1)，所以cos，.所以AP与AQ所成角的余弦值为.(2) 由题意可知，(0，0，2)，(2，0，2)设平面APQ的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x2，y2.所以n(2，2，2)因为直线AA1与平面APQ所成角为45，所以|cosn，|，化简得5240.又0，所以.11. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C