中考数学一轮复习第三章函数及其图象3.4二次函数（试卷部分）课件 (1).pptx

3.4二次函数,中考数学(湖南专用),A组20142018年湖南中考题组,五年中考,考点一二次函数的图象与性质,1.(2018湖南永州,9,4分)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=(b0)与二次函数y=ax2+bx(a0)的图象大致是(),答案DA.抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b0,对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,即b0,所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误;C.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a0,所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误,D项正确.故选D.,解题关键此题主要考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,熟练掌握二次函数,反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解决本题的关键.,2.(2017湖南长沙,8,3分)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4),答案A根据抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的顶点坐标为(h,k),可知该抛物线的顶点坐标为(3,4).,易错警示容易把顶点的横坐标写成-h.,3.(2016湖南益阳,7,5分)关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法的是()A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x1时,y随x的增大而减小,答案Da=10,抛物线的开口向上,故A正确;当y=0时,x2-2x+1=0,易得=(-2)2-411=0,故该抛物线与x轴有两个重合的交点,故B正确;-=-=1,该抛物线的对称轴是直线x=1,故C正确;抛物线的开口向上,且抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x的增大而增大,故D错误.故选D.,思路分析结合二次函数的图象及其性质逐项分析.,评析本题考查了二次函数的图象及性质.,4.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(ba0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论:该抛物线的对称轴在y轴左侧;关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;a-b+c0;的最小值为3.其中,正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4,答案Dba0,-0,且抛物线与x轴最多有一个交点,y0,当x=-1时,y=a-b+c0,正确;y0,当x=-2时,4a-2b+c0,即a+b+c3b-3a,即a+b+c3(b-a),ba,b-a0,3,正确.故选D.,一题多解的判断还可使用逆推法.由可知,需判断3是否正确,即为判断a+b+c3(b-a),即4a-2b+c0是否正确,y0,当x=-2时,4a-2b+c0正确,的最小值为3.,5.(2015湖南湘潭,8,3分)如图,观察二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:a+b+c0;2a+b0;b2-4ac0;ac0.其中正确的是()A.B.C.D.,答案C由题图可知,当x=1时,y=a+b+c,对应的点在x轴的下方,即a+b+c0,所以-b0,正确;抛物线与x轴有两个交点,所以令ax2+bx+c=0,有=b2-4ac0,正确;抛物线与y轴交于负半轴,c0C.m-1D.-10,m0,故选B.,7.(2017湖南邵阳,13,3分)若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则a的值可能是.(写一个即可),答案-1(答案不唯一),解析抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,a0,解得a-.(2)方程(a-1)x2+3x+=0的两根符号相反(分别在原点的两侧,即一正一负),则x1x20,即0,解得a1或a-5.综上可知,a-5.,考点二二次函数与一元二次方程的联系,1.(2018湖南衡阳,12,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:3a+b0;-1a-;对于任意实数m,a+bam2+bm总成立;关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个,答案D抛物线的对称轴为直线x=-=1,b=-2a(i),3a+b=3a-2a=a,由抛物线开口向下知a0,所以正确;抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),x=-1时,y=0,即a-b+c=0(ii),结合(i)(ii)知3a+c=0,由题意知2c3,2-3a3,-1a-,所以正确;抛物线的顶点坐标为(1,n),x=1时,二次函数有最大值n,对于任意实数m,a+b+cam2+bm+c,即a+bam2+bm,所以正确;抛物线的顶点坐标为(1,n),抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点,关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以正确.,思路分析根据抛物线的对称轴和开口方向即可判断正确,根据抛物线与x轴交于点A得到a,b,c的关系式,再结合抛物线的对称轴方程得关于a、c的关系式,再结合c的取值范围及顶点坐标可判断正确,根据抛物线与直线的交点个数判断正确.,解后反思判断多个结论是否正确的题目较为复杂,计算量较大,由图象可得-=1,2c3等多个结论,再进一步转化,确定所给结论是否正确.,2.(2016湖南永州,8,4分)抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.m2C.00,解得m-.,解析(1)因为抛物线与x轴有交点,所以方程-x2+6x+c=0有实数根,故=62-4(-1)c0,即36+4c0,解得c-9.(2)因为抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,所以x1,x2是方程-x2+6x+c=0的两根,则又因为+=(x1+x2)2-2x1x2=26,所以62-2(-c)=26,解得c=-5,经检验,当c=-5时,=62-4(-1)c=36-4(-1)(-5)=160,所以c的值为-5.(3)证明:P,Q是抛物线上位于第一象限内不同的两点,当POA=QOB时,OPA与OQB明显不全等,4.(2014湖南株洲,24,10分)已知抛物线y=x2-(k+2)x+和直线y=(k+1)x+(k+1)2.(1)求证:无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;(2)抛物线与x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,求x1x2x3的最大值;(3)如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,直线AD交直线CE于点G(如图),且CAGE=CGAB,求抛物线的解析式.,解析(1)证明:令x2-(k+2)x+=0,则=(k+2)2-41=k2-k+2=+,0,0,即方程x2-(k+2)x+有两个不等的实根,故无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点.(2)抛物线与x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,x1x2=,令0=(k+1)x+(k+1)2,解得x=-(k+1),即x3=-(k+1),x1x2x3=-(k+1)=-+,x1x2x3的最大值为.(3)CAGE=CGAB,=,ACG=BCE,CAGCBE,CAG=CBE,又AOD=BOE,OADOBE,=,抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,OAOB=,OD=,OE=(k+1)2,OAOB=OD,=,OB2=OE,OB=k+1,点B的坐标为(k+1,0),将点B代入抛物线y=x2-(k+2)x+得(k+1)2-(k+2)(k+1)+=0,解得k=2,抛物线的解析式为y=x2-4x+3.,评析此题属于二次函数的综合题,综合性很强,难度较大,主要考查了一次函数与二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质.注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.,考点三二次函数的应用,1.(2017湖南郴州,25,10分)如图,已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且A(2,0),C(0,-4),直线l:y=-x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PEx轴,垂足为E,交直线l于点F.(1)试求抛物线的表达式;(2)如图(1),若点P在第三象限,连接OF,四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标;,(3)如图(2),过点P作PHy轴,垂足为H,连接AC.求证:ACD是直角三角形;试问当P点的横坐标为何值时,以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似?,解析(1)由题意得解得抛物线的表达式为y=x2+x-4.(2)设P,则m0,F.PF=-=-m2-m.PEx轴,PFOC.PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形.-m2-m=4,解得m=-或m=-8.当m=-时,m2+m-4=-;当m=-8时,m2+m-4=-4.,点P的坐标为或(-8,-4).(3)证明:把y=0代入y=-x-4,得-x-4=0,解得x=-8.D(-8,0).OD=8.A(2,0),C(0,-4),AD=2-(-8)=10.易知:AC2=22+42=20,DC2=82+42=80,AD2=100,AC2+CD2=AD2.ACD是直角三角形,且ACD=90.由得ACD=90.连接CP,设P.当ACDCHP时,=,即=或=,解得n=0(舍去)或n=-5.5或n=-10.5.当ACDPHC时,=,即=或=.解得n=0(舍去)或n=2或n=-18.综上所述,当点P的横坐标为-5.5或-10.5或2或-18时,以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似.,思路分析(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组,解方程组求得a、c的值即可;(2)设P,则m0,F,则PF=-m2-m,当PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形,然后依据PF=OC列方程求解即可;(3)先求得点D的坐标,然后再求得AC、DC、AD的长,最后依据勾股定理的逆定理求证即可;分ACDCHP、ACDPHC两种情况讨论,依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可.,2.(2016湖南郴州,21,8分)某商店原来平均每天可销售某种水果200千克,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可多售出20千克.(1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y关于x的函数表达式;(2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元?,解析(1)y=(200+20 x)(6-x),即y=-20 x2-80 x+1200.(4分)(2)令y=960,得-20 x2-80 x+1200=960,(6分)即x2+4x-12=0,解得x=2或x=-6(舍去).(7分)答:要平均每天盈利960元,则每千克应降价2元.(8分),思路分析(1)根据数量关系列出函数关系式;(2)把y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程,解方程即可.,解题关键本题属于基础题,难度不大,解答该题利用等量关系列出函数关系式是关键.,3.(2015湖南邵阳,23,8分)为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召,某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯,并投放市场进行试销售,经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系:y=-10 x+1200.(1)求出利润S(元)与销售单价x(元)之间的关系式;(利润=销售额-成本)(2)当销售单价定为多少时,该公司每天获取的利润最大?最大利润是多少元?,解析(1)S=(x-40)(-10 x+1200)或S=-10 x2+1600 x-48000.(2)S=-10 x2+1600 x-48000,当x=-=-=80时,Smax=16000,即销售单价为80元时,公司每天获取的利润最大,最大利润为16000元.,4.(2016湖南益阳,21,12分)如图,顶点为A(,1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.(1)求抛物线的表达式;(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:OCDOAB;(3)在x轴上找一点P,使得PCD的周长最小,求出P点的坐标.,解析(1)抛物线的顶点为A(,1),设抛物线的表达式为y=a(x-)2+1(a0),将原点坐标(0,0)代入表达式,得a=-,抛物线的表达式为y=-x2+x.(3分)(2)证明:将y=0代入y=-x2+x中,得B点坐标为(2,0),设直线OA的表达式为y=kx(k0),将A(,1)代入表达式y=kx中,得k=,直线OA的表达式为y=x.BDAO,设直线BD的表达式为y=x+b,将B(2,0)代入y=x+b中,得b=-2,直线BD的表达式为y=x-2.由得交点D的坐标为(-,-3),将x=0代入y=x-2中,得C点的坐标为(0,-2),由勾股定理得OA=2=OC,AB=2=CD,OB=2=OD.在OCD与OAB中,OCDOAB.(8分)(3)如图,点C关于x轴的对称点C的坐标为(0,2),连接CD,则CD与x轴的交点即为点P,它使得PCD的周长最小.过点D作DQy轴,垂足为Q,则PODQ.,CPOCDQ.=,即=,PO=,点P的坐标为.(12分),B组20142018年全国中考题组,考点一二次函数的图象与性质,1.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3,答案D因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选项B错误;当xy2B.y1y2C.y1at2+bt(t为实数);点,是该抛物线上的点,则y1y20,所以正确;由函数图象知当x=-2时,函数取得最大值,4a-2b+cat2+bt+c,即4a-2bat2+bt(t为实数),故错误;抛物线的开口向下,且对称轴为直线x=-2,抛物线上离对称轴的水平距离越小,函数值越大,y10C.abc0,b2-4ac0,又对称轴在y轴右侧,所以-0,所以b0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B.,思路分析本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴以及与y轴的交点位置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.,5.(2016天津,12,3分)已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1x3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3,答案B当h3时,二次函数在x=3处取最小值,此时(3-h)2+1=5,解得h1=5,h2=1(舍去).当1h3时,二次函数在x=h处取最小值1,不符合题意.当h1时,二次函数在x=1处取最小值,此时(1-h)2+1=5,解得h1=-1,h2=3(舍去).h=-1或5.故选B.,评析本题考查了二次函数的图象和性质,分类讨论思想,解一元二次方程,属于难题.,6.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.,答案y2y1y3,解析解法一:A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上,y1=3,y2=5-4,y3=15.5-40,y2y1y3.,考点二二次函数与一元二次方程的联系,1.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-30,设方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-=-+0,故选A.,考点三二次函数的应用,1.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.,答案24,解析y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600m.当t=16时,y=6016-162=576,所以最后4s滑行的距离为600-576=24m.,2.(2015浙江温州,15,5分)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室总占地面积最大为m2.,答案75,解析设垂直于现有墙的一面墙长为xm,建成的饲养室总占地面积为ym2,则利用现有墙的长为(27+3-3x)m,y=x(30-3x)=-3x2+30 x=-3(x-5)2+75.-30,当x=5时,ymax=75,即能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.,3.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:,(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?,解析(1)设y=kx+b(k0).由题意,得解得所求函数表达式为y=-2x+200.(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280 x-8000.(7分)(3)W=-2x2+280 x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40x80.-20,当40x70时,W随x的增大而增大;当700;c0;b2-4ac0;-0,正确;二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,c0,正确;函数图象的对称轴在y轴的右侧,-0,错误.故选C.,2.(2017浙江杭州,9,3分)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a1,则(m-1)a+b0B.若m1,则(m-1)a+b0D.若m0,函数图象开口向上,y=x2+2x-3=(x+1)2-4,顶点坐标为(-1,-4).故选A.,4.(2016湖南常德,7,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:b0;a+c0,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4,答案C抛物线的开口向下,a0,b0,故错误;由题中图象可知,抛物线与y轴交于正半轴,c0,故正确;由题中图象可知,当x=-1时,y=a-b+c0,故正确,故选C.,思路分析由二次函数图象的开口方向,对称轴的位置,以及二次函数图象与y轴的交点位置,与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可.,解题关键熟练掌握二次函数图象与a,b,c值之间的关系.,5.(2015甘肃兰州,13,4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则()A.ac+1=bB.ab+1=cC.bc+1=aD.以上都不是,答案A由题意得点C的坐标为(0,c),OA=OC,点A的坐标为(-c,0).将(-c,0)代入二次函数解析式,得ac2-bc+c=0,c0,ac-b+1=0,即ac+1=b.故选A.,6.(2015宁夏,8,3分)函数y=(k0)与y=-kx2+k(k0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是(),答案B当k0时,函数y=的图象在第一、三象限内,函数y=-kx2+k(k0)的图象开口向下,顶点在y轴正半轴上;当k3时,y8a.其中正确的结论是()A.B.C.D.,答案B由已知条件可知a3时,y2,4ac-b28a.故错,正确.故选B.,8.(2014广西南宁,10,3分)如图,已知二次函数y=-x2+2x,当-11B.-10D.-1a0)开口向上,过点(-2,0),(2,3),则抛物线与x轴的另一个交点一定在点(2,0)左侧,且在点(-2,0)的右侧,设该交点为(m,0),则-2m2,对称轴为x=,且-20,即对称轴在y轴左侧且在直线x=-2右侧.故选D.,13.(2014山东淄博,8,4分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=-的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为()A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+2,答案A将A(m,4)代入反比例函数解析式,得4=-,即m=-2,故A(-2,4).将A(-2,4),B(0,-2)代入二次函数解析式,得解得则二次函数解析式为y=x2-x-2.,14.(2017湖北武汉,16,3分)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3,则a的取值范围是.,答案-3a-2或a,解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0.解得m=,m1=,m2=-a,2m3,23或2-a3,解得a或-3a-2.,思路分析把交点坐标代入二次函数解析式,可得到关于m的一元二次方程,利用公式法将m用含a的式子表示出来,再根据2m3,解不等式即可.,15.(2017甘肃兰州,18,4分)如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标为.,答案(-2,0),解析P,Q两点关于对称轴x=1对称,则P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,设点Q的横坐标为m,则=1,解得m=-2.Q点的坐标为(-2,0).,16.(2014江苏南京,16,2分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:,则当y5时,x的取值范围是.,答案0x4,解析由抛物线的对称性及题中表格可知,当x=0或4时,y=5,又抛物线开口向上,故当0xb;抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);abc0.其中正确的结论是(填写序号).,答案,解析因为抛物线的对称轴是直线x=1,所以-=1,-b=2a,2a+b=0,故正确;由题中图象知,当x=-1时,y=a-b+c0,又-0,所以b0,故正确.,评析(1)由抛物线在平面直角坐标系中的位置,确定a、b、c的符号:抛物线的开口方向决定了a的符号,当开口向上时,a0,当开口向下时,a0,当交点在y轴负半轴上时,c0.,解析(1)该二次函数图象与x轴的交点有两个或一个.理由如下:由题意得=b2-4a-(a+b)=b2+4ab+4a2=(2a+b)20,该二次函数图象与x轴的交点有两个或一个.(2)当x=1时,y=a+b-(a+b)=0,该函数图象不经过点C.把点A(-1,4),B(0,-1)分别代入二次函数的表达式得,解得该二次函数的表达式为y=3x2-2x-1.(3)证明:当x=2时,m=4a+2b-(a+b)=3a+b0,a+b0,相加得2a0,a0.,思路分析(1)利用判别式进行判断.(2)当x=1时,y=0,所以函数图象不过点C,故图象过点A、B,将A、B两点坐标分别代入函数表达式,解方程组即可.(3)用a、b表示m,由m的范围结合a+b0.,方法总结本题考查了二次函数图象的性质及数形结合思想.解答时,注意将相关的点的坐标代入表达式.,22.(2018江苏南京,24,8分)已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:无论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?,解析(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+31,即m-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,无论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.(4分)(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+60,即m-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.(8分),思路分析(1)令y=0,求出x的值,分m+3=1和m+31两种情况考虑方程解的情况,进而即可证出:无论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.(2)求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标,令其大于0即可求出结论.,解题关键本题考查了抛物线与x轴的交点、解一元一次不等式等,解题的关键:(1)由方程2(x-1)(x-m-3)=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点;(2)求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标.,23.(2018福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).(1)若点(-,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x10;当0x1x2时,(x1-x2)(y1-y2)0时,如图1.,图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,12a4,a.a4,a-.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.,图3将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,a=-1.综上所述,a或a-或a=-1.,思路分析(1)先求B点坐标,由B点向右平移5个单位长度确定C点坐标.(2)确定A点坐标,代入抛物线的解析式,利用公式确定对称轴.(3)结合图象和抛物线的对称性解答.,解题关键解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求出a的取值范围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况.,25.(2018广西南宁,26,10分)如图,抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于A,C,E三点,其中A(-3,0),C(0,4),点B在x轴上,AC=BC,过点B作BDx轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)当CMN是直角三角形时,求点M的坐标;(3)试求出AM+AN的最小值.,解析(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得解得抛物线的解析式为y=-x2+x+4,AC=BC,OC=OC,RtAOCRtBOC(HL),OA=OB,A(-3,0),B(3,0),BDx轴,D在抛物线上,D(3,5).(2)易知OC=4,BC=5,设M(0,a)(0a4),CM=BN,CM=BN=4-a,CN=BC-BN=5-(4-a)=1+a,当CMN=90时,CMNCOB,=,即=,解得a=,M.当CNM=90时,CNMCOB,=,即=,解得a=,M.综上所述,当CMN是直角三角形时,点M的坐标为或.(3)连接DN,AD,BDx轴,OCB=DBN,OCB=ACM,ACM=DBN,又CM=BN,AC=BD,CAMBDN(SAS),AM=DN,AM+AN=DN+AN,当A,N,D三点共线时,AM+AN最小,AB=6,BD=5,在RtABD中,由勾股定理得AD=,AM+AN的最小值为.,思路分析(1)将A,C两点的坐标代入y=ax2-5ax+c,解出a,c的值,即可确定抛物线的解析式.根据AC=BC,OCAB可知B(3,0).又BDAE,故D的横坐标为3,将x=3代入解析式确定D点的纵坐标.(2)易知OC=4,BC=5,令M(0,a),则有CM=BN=4-a,CN=BC-BN=1+a.分类讨论:若CMN=90,则CMNCOB;若CNM=90,则CNMCOB,利用相似的性质求解.(3)连接DN,AD,易证得CAMBDN(SAS),从而AM=DN.故AM+AN=DN+AN,因此当A,N,D三点共线时,AM+AN最小,最小值为AD的长.,方法总结此题是二次函数综合题,考查了待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的综合运用,直角三角形的分类讨论,全等三角形的证明等,此题(1)(2)问难度适中,(3)问综合性较强,难度较大.,26.(2017浙江杭州,22,12分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上.若mn,求x0的取值范围.,解析(1)由题意知(1+a)(1-a-1)=-2,即a(a+1)=2,因为y1=x2-x-a(a+1),所以y1=x2-x-2.(2)由题意知,函数y1的图象与x轴交于点(-a,0)和(a+1,0).当y2的图象过点(-a,0)时,得a2-b=0;当y2的图象过点(a+1,0)时,得a2+a+b=0.(3)由题意知,函数y1的图象的对称轴为直线x=,所以点Q(1,n)与点(0,n)关于直线x=对称.又因为函数y1的图象开口向上,所以当mn时,0x20时,y10.当抛物线C2经过点B时,a=2,此时抛物线C2与线段AB有两个公共点,不符合题意.当抛物线C2经过点A时,a=.结合函数的图象可知,a的取值范围为a2.,评析本题考查了对称点的坐标、函数解析式的确定以及临界点问题,解决最后一问的关键是画图.属中档题.,32.(2015宁夏,24,8分)已知点A(,3)在抛物线y=-x2+x上,设点A关于抛物线的对称轴对称的点为B.(1)求点B的坐标;(2)求AOB的度数.,解析(1)解法一:依题意,由对称轴方程x=-得x=2,(1分)点A、B关于抛物线的对称轴x=2对称,且A(,3),点B的坐标为(3,3).(2分)解法二:点A、B关于抛物线的对称轴对称,点B也在抛物线上,当y=3时,-x2+x=3,整理得x2-4x+9=0,(1分)解得x=3或x=,点B的坐标为(3,3).(2分)(2)由勾股定理得,OA=2,OB=6,AB=2,OAB为等腰三角形.(5分)过点A作ACOB于点C,则OC=OB=3.在RtAOC中,cosAOC=,AOC=30,即AOB=30.(8分),评析本题考查了二次函数图象的对称性、对称轴方程、以及根据三角函数值求某个特殊角的度数,构造出恰当的直角三角形是解决本题的关键,属中档题.,33.(2015黑龙江齐齐哈尔,23,6分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC、BD、CD.(1)求此抛物线的解析式;(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.,解析(1)由题意,B,C的坐标分别为(4,4),(0,4),将其代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=-x2+2x+4.(2)y=-x2+2x+4=-(x-2)2+6,顶点D的坐标为(2,6).S四边形ABDC=SABC+SBCD=44+4(6-4)=12.,34.(2014湖南永州,25,10分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),点M(m,n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧,并且不在坐标轴上,过点M作x轴的平行线交y轴于点Q,交抛物线于另一点E,直线BM交y轴于点F.(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标;(2)当SMFQSMEB=13时,求点M的坐标.,解析(1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2),解得(3分)y=-x2+x+2,(4分)令x=-=,y=-+2=,其顶点坐标为.(5分)(2)M(m,n),Q(0,n),E(3-m,n),设直线BM的解析式为y=kx+b(k0),将B(4,0),M(m,n)代入,得解得,y=x+.令x=0,则y=,即F,MQ=|m|,FQ=,ME=|3-2m|,(7分)SMFQ=MQFQ=|m|=|n|,SMEB=ME|n|=|3-2m|n|,又SMFQSMEB=13,|n|3=|3-2m|n|,即=|3-2m|,又点M在对称轴左侧,m,从而=3-2m,即m2+11m-12=0,(9分)解得m1=1,m2=-12,则n1=3,n2=-88,点M的坐标为(1,3)或(-12,-88).(10分),35.(2014浙江绍兴,22,12分)如果二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称p,q为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是2,3.(1)若一个函数的特征数为-2,1,求此函数图象的顶点坐标;(2)探究下列问题:若一个函数的特征数为4,-1,将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数;若一个函数的特征数为2,3,问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为3,4?,解析(1)由题意得y=x2-2x+1=(x-1)2,特征数为-2,1的函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)特征数为4,-1的函数为y=x2+4x-1,即y=(x+2)2-5,函数图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3,特征数为2,-3.特征数为2,3的函数为y=x2+2x+3,即y=(x+1)2+2,特征数为3,4的函数为y=x2+3x+4,即y=+,所求平移为先向左平移个单位,再向下平移个单位.注:符合题意的其他平移图象也正确.,评析本题是新定义下的二次函数图象的平移问题,考查了学生的阅读和理解能力,难度适中.,36.(2014甘肃兰州,28,12分)如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(-1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.,解析(1)抛物线y=-x2+mx+n经过点C(0,2),n=2.把A(-1,0)代入y=-x2+mx+2,可得m=.抛物线的表达式为y=-x2+x+2.(2分)(2)在抛物线的对称轴上存在点P,使PCD是以CD为腰的等腰三角形.(3分)如图,P1,(4分)P2,(5分),P3.(6分)(3)当y=0时,-x2+x+2=0,解得x1=-1,x2=4,B(4,0).设直线BC的表达式为y=kx+b(k0),把B,C两点的坐标代入y=kx+b中,解得k=-,b=2.直线BC的表达式为y=-x+2.(7分)如图,过点C作CMEF,垂足为M.设x轴的垂线EF与x轴相交于点N,E,则F,EF=-a2+a+2-=-a2+2a(0a4).(8分)S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=OCBD+EFCM+EFBN(9分)=2+a+(4-a)=+4=