关于矩阵行等价的一些思考.ppt

关于矩阵行等价的一些思考,杨忠鹏1陈梅香1晏瑜敏1陈智雄1林志兴1林丽生1，2,1.莆田学院数学系,2008年10月11日,2.辽宁工业大学机械工程及其自动化学院,福建省高等代数与线性代数课程建设第十次研讨会,目录,一、引言,矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换,性质2矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。,性质3(见3,定理)对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列向量的线性关系。,性质1（见1,定理3）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。,二、现状,利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器，Matlab(Octave),Mathematica,Maple等，这些工具都可以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置、简化行阶梯形、行列式、LU分解、QR分解，其中最重要的是简化行阶梯形。但相比之下，其理论部分相,二、现状,对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没有像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视这种等价关系国外的一些教材（如3-5）都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的,但对“矩阵的行标准形是唯一的”这一结论的证明或略去，或在后面用更多更深刻的知识作为附录给出证明的过程现在使用这些知识的教材越来越多（如69等），但很少将“矩阵行最简形是唯一的”的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在于“矩阵的行标准形是唯一的”这个结论的证明是复杂的,三、广泛的应用,1、教学中的基本要求,2、课后讨论、研究,3、能力提升（毕业论文选题）,1、教学中的基本要求,（1）求行列式,（2）求矩阵或向量组的秩,（3）判定向量组的线性相关性,（4）求其极大无关组，并表示其他向量,（5）求矩阵的逆,（6）求解线性方程组,的矩阵形式为：,求解过程：,应用行化简算法解线性方程组步骤：1、写出方程组的增广矩阵.2、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形.确定方程组是否有解，如果没有解则停止；否则进行下一步.3、继续行化简算法得到它的简化阶梯形.4、写出由第3步所得矩阵所对应的方程组.5、把第4步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.,计算技术日益成熟：,计算器、Matlab、Octave、Sage、Maple、Mathematica等,Matlab中“rref”命令是求矩阵的行最简形,2、课后讨论、研究,（1）求解,(2)求向量的坐标13,(3)求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式13,实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题,（5）化二次型为标准型及判断矩阵正定14,其中T是上三角阵,（6）把线性无关的向量组正交化14,(7)求正定阵A的分解式14,（8）初等变换在多项式理论中的应用15（判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的根，求最大公因式）,（i）求两个多项式的最大公因式,(ii)判定多项式有无重因式,(iii)求商和余式,(9)数学实验,(10)利用行等价判断方程组同解（考研題題型）：,例1（1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四）,已知两个线性方程组,为同解线性方程组，求参数m、n、t之值,（1）,（2）,要使（1）与（2）同解，只要保证这两个方程组对应的增广矩阵有相同的行标准形即可！,由唯一性得,例1（2007年北京交通大学硕士研究生入学考试试题10）,设有两个线性方程组,（1）求（I）的通解；（2）当且仅当（II）中参数a、b、c为何值时，（I）和（II）同解,（I）,（II）,例1（2007年湖北大学硕士研究生入学考试2）,已知两个线性方程组,同解，试确定参数a、b、c的值,（I）,（II）,例3（2008年浙江理工大学硕士研究生入学考试）设,（5）,（6）,为两个n+1维向量组，证明：若向量组（5）和向量组（6）等价，则线性方程组,（7）和,（8）,同解。举例说明上述命题的逆命题不成立。,事实上，逆命题是成立的！,3、能力提升（毕业论文选题）,（1）在初等数论中的应用,（i）求整数的最大公因式及其线性表出,（ii）求自然数等幂和,(见20),(见19),（2）解线性不定方程(见19),（3）解同余方程(见21),（4）求最小多项式（向量关于矩阵的最小多项式)(见22),（6）化行简化梯形矩阵的初等变换次数(见23),（7）行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用(见24),四、理论研究,行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，如上可以发现，它在研究讨论矩阵的秩、矩阵的逆、向量的线性相关性的判别、求向量组的极大线性无关组及其余向量用极大无关组的线性表示式和线性方程组的解等多方面有着重要的应用。但在很多的国内外教材中都未将此标准形的唯一性证明放在课堂教学上.文献【25】虽亦列有唯一性定理,但未给出证明，只是说：“这个定理的证明是十分麻烦的,我们省略它。”,要怎样在教学的同步即可完成，是长期以来被众多学者注意而还没有解决好的问题。目前，对行简化梯形矩阵唯一性的证明，前人至少已给出四种证明方法（见文1、10、11、26）.这些方法具有各自的特点，但所用的知识较多，不适合将他们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一.现结合学生的毕业论文24，给出了此唯一性的另一种证明方法.,唯一性定理中任意一个矩阵仅与唯一的行简化梯形矩阵行等价，即的行简化梯形矩阵是唯一的.记的唯一行简化梯形矩阵为.,1、先根据和是行等价的，和中列向量之间的线性关系是一样的，这样可证得它们的主元列位置是相同的。,2、再根据和行等价，存在一个阶可逆阵，使得：.将，两个矩阵代入，比较等式两边可推出矩阵的结构是,将矩阵和进行分块变成和，则,可容易计算解得,于是,而,即.这就证得了唯一性.,这种证法正是在这已有的四种证明方法上给出的，它是采用了第三种证明方法中所提到的行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想，以及第二种所提到的两个行等价矩阵，间存在一可逆阵有这个知识点，较完整地表述了证明过程.所以,可以说它是前人已有证明方法的一种结合,与他们相比,是有存在不同之处的.此种方法可以尝试用于课堂教学上或课外提高内容，学生不需要积累太多的理论知识就可以理解这个证明.对于教师授课，教师也只要讲述大概的证明过程，学生在课后可以自己去补充完成证明，让他们对此唯一性的证明有更深刻的理解.,1袁玉玲.简化梯形矩阵及其应用J.曲阜师范学报（自然科学版）.1983.第2期.P27-28.2大学数学课程报告论坛组委会.2007论文集M.高等教育出版社,北京,2008.5.3BirkhoffGMaclanceS.ASurveyofModernAlgebra(4thEdition)M.NewYork:Macmilan.1977.4KennethHoffnianandRayKange.LinearAlgebra(2nded)M.Prentice-Hill,Juc.EnglewoodCliffsNeJersey(1971):11-12,5-66,397-395.5AssenS.Deif.AdvancedMatrixTheoryforScientistsandEngineers(1982):2-3,49-52.6居余马等.线性代数(第二版)M.，清华大学出版社,北京,2002.,参考文献,7同济大学应用数学系编,工程数学线性代数(第四版)M.高等教育教出版社,北京,2004.8李建华等.经济应用数学线性代数(第四版)M.高等教育出版社,北京,2004.9同济大学应用数学系编,线性代数(第四版)附册学习辅导与习题选解M.高等教育出版社,北京,2004.10(美)DavidC.Lay著.刘深泉,洪毅,马东魁,郭国雄,刘勇平译.线性代数及其应用（原书第3版）M.北京：机械工业出版社.2005.8.P433.11谭思文,杨忠鹏.关于矩阵的行等价的一些问题J.吉林师院学报(自然科学版).1985.第1期.P54-56.12王萼芳,邱维声.高等代数讲义(上册)(中央广播电视大学教材)M.北京大学出版社,1983:62-6413王文省姚忠平钟红心。初等变换的思想方法在高等代数中的应用J.聊城师院学报（自然科学版）,2000,13(2):76-78.,14朱振广，初等变换在线性代数中的应用J，辽宁工学院学报，1999，19（2）：778215杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用J.重庆文理学院学报（自然科学版）,2008,27(3):55-57.16黄承绪.论矩阵行标准形及其应用J，武汉理工大学报(交通科学与工程版),27(2)(2003)：229-230.17晏瑜敏，杨忠鹏.矩阵行标准形与同解线性方程组J，北华大学学报(自然科学版),7(1)(2006)：6-10.18龙承业.线性代数复习指导与典型立体分析（第2版）M.工业出版社，北京，2003.19陈碧琴.矩阵初等变换在初等数论中的应用J.南通工学院学报（自然科学版）,2004,3(1):9-12.20刘瑞林周立先刘培武.用矩阵初等变换求自然数等幂和J.青岛教育学院学报,1994,2:60-61.,21唐宗明.矩阵初等变换在解同余方程中的应用J.西藏科技,2002,9:34-36.22杨继明，曹军.求矩阵最小多项式的初等变换方法J.数学的实践与人事,2004,34（10）:174-176.23陈璇，刘锡志，朱明晨，王仁杰.化行简化梯形矩阵的初等变换次数J.吉林师范学报，1985，1：89-9724林丽生.行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用.莆田学院学生2008届毕业论文.25汪庆丽.矩阵行初等变换的定理及其应用J.岳阳师范学院学报（自然科学版）,2002,15(1):12-14.26徐兆强.矩阵行标准形的一些性质J.甘肃教育学院学报(自然科学版).2001.10.第15卷第4期.P12.,谢谢！,2008年5月16日,与已有的证明方法进行比较,前人已有的四种证明方法的主要思路：(1)文1中是应用线性空间的知识，先用行向量组等价的理论来证得主元列是相同的，再根据等价向量组间可以互相表示且表法唯一来证出对应的非零行向量是相等的，这样即证得唯一性.,(2)文11采用“矩阵证法”，设，是矩阵的两个行标准形，由于，都是由经过初等行变换得到的，所以，是行等价的，这样就存在两个可逆矩阵，使得：，.根据，所具有的特别结构和特点进行比较并推出可逆阵，的结构:，.这样就有：，即证得了此唯一性.,(3)文10中作者D.C.Lay并没有将此唯一性的证明放在定理中,而是将它放在课本的附录中,且只是用很简炼的语言说明了证明的思路.但要详细写出来的话并不是一件简单的事.D.C.Lay对此唯一性证明的思路是：假设一个矩阵的两个行最简形是和，先利用行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想来证出主元列相等，然后再考虑任意的非主元列，例如的列，“这个列或者是零或者是左边主元列的线性组合（因为这些主元列是第列左边列生成空间的一个基）.两种情形下，对第个元素为1的都可表示写成，那么也有.这说明的第列或者是零或者同样是它左边的主