借题发挥 一改故辙

1 / 5 借题发挥 一改故辙 摘要本文联系 2002 年陕西省数学中考试题中的一道试题，结合日常数学习题教学中大家容易忽视的问题，提倡大家在日常的教学中去发现和运用那些貌似平常的一些题目，进行全方位的探索和挖掘，培养学生的综合能力。关键词探索，创造性思维拿到 2002 年陕西省中考数学试题的第 26 题 ,让人很容易联想到该题与初中几何课本第三册第 102 页 B组的第 3 题有着密切的 “ 血缘关系 ” 。同时，它也使我想起了一个大家谙知的成语 “ 借题发挥 ” 。 “ 借题发挥 ” 的本意是：假借某事为由，表达自己的真实心意。在生活中很多场合里我们只能 就事论事，不能借题发挥，但我觉得在数学教学中它却能起到积极的作用。在我们的日常教学中常常会出现：绝大部分同学会做课本上的某一道题，老师也便认为这道题大可不必去深究了。然而，往往此时，我们也就失去了一次培养学生综合能力的绝佳机会。因为著名的数学家波利亚说过： “ 一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。 ” 事实上，九年义务教育初中教材中的例（习）题是编者从茫茫题海中，经过反复筛选，精心分炼出来的珍珠，在解题思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力上具有示范性和启发性。所以，2 / 5 我觉得只要是好题，即便是所有的学生都会做，我们也应“ 一改故辙，借题发挥 ” ，运用联系和发展的观点，对其进行全方位的探索，挖掘潜在功能。这样既能提高学生重视教材和钻研课本的自觉性、主动性、积极性，又可加强学生思维能力的培养。那么，教师在教学中如何去 “ 借题发挥 ”呢？我觉得应从以下几个方面考虑：一、以例带类，异中求同。法国数学家笛卡尔说过： “ 我所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用于解其他问题。 ” 例（习）题的作 用更是如此，许多问题表面上存在差异，但本质结构是相同的，因而要通过例（习）题的求解过程总结出数学思想和方法。譬如：例解方程组 （代数第二册例）xy=12 该方程组的特点是：两个未知数的和与积都是常数。教材中给出了两种解法。该题就有一定的代表性，有相当广泛 的 一 类 方 程 与 该 类 方 程 组 有 关 。 形 如 ： x2+y2=ax2+y2=a xy=b xy=b 的方程组，利用x2+y2=(x+y)2-2xyx2+y2=(x-y)2+2xy 可以转化为该类方程组的求解；再如 2x+=1x+y=124x2+22=25x+1 y-1 5 这两个方程组形式各异，但其本质相同，适当换元，也能化为以上类型的方程组，然后简便求解。如果把握住这类方程组的特点，还可以把某些方程，甚至一些应用题化为该类方程组求 解 。 如 解 方 程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0 ，设u=(x+2)(x+3)、 v= (x+1)(x+4)，则 u+v=2uv=1 由此解出 u、3 / 5 v,就容易求 x 的值了。二、一题多解，纵穿横拓以例 (习 )题作为引子，引导学生从不同角度，不同方位思考同一问题，把各种知识、各种解联系起来，形成解决问题的信息网络，从中选择最简 单地解决问题的方法，培养思维的广阔性和灵活性。例 2 农机厂职工到距工厂 15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走， 40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车速度是自行车速度的 3 倍，求这两种车的速度。（代数第二册 99）本题为行程问题，其路程为已知量，可以从两方面着手分析，寻求等量关系：一是时间；二是速度。当然又由于设法不同，解法也就更多了。三、联想变通，以点串线心理学家布鲁纳说： “ 探索是教学的生命线。 ” 以例（习）题作为生长点，对原题的已知和结论进行多方位的演变延伸，以点串线，形成一条 “ 题链 ” ，这样不仅能沟通知识间的相互联系，还可以培养学生在解题的同时提出新问题的良好品质，促进创造性思维的发展。例 3 如图 1，已知 o1 与 o2 外切于点，是 o1和 o2 的外公切线， B、 c 为切点。求证： ABAc 。（几何第三册、 144 例 4）图 1 在教学中，若对本题只作一般性分析并给出证明，就没能真正发挥其实际功能；若能引导学生进一步讨论和深入探求，就不难发现它还有好多结论。（如图 2）： 过 A 点的内公切线平分 Bc，于是 PA PB Bc；o1Po2P ； AP2 Rr； Bc2 4Rr； 4 / 5 若过 A 作 AHBc 于 H，则有 2AH 1o1B 1o2c； 延长 cA、BA分别交 o1 、 o2 于 D、 E。则 BD、 cE分别为两圆的直径，等等。四、借助结论，以题解题课本中的一些例 (习 )题，看似平常，实际上内涵丰富，有着不寻常的功能和应用价值。如果我们能注意应用他们的结论去解决与之有关的一些题时。不仅可以获得许多巧妙解法，而且可以培养学生应用课本知识解决实际问题的能力。例 4、解关于 x的方程 x+ x=c+ c（代数第三册 51 页 B 组第 1、 题）。该题的答案是 x1= c,x2=c。利用该题的结论可以 使下列问题简捷获解： 解关于 x 的方程 x+ x-1=a+ a-1 解方程 x+2x-1+x- x+2=2+ 2 例 5、已知 :o 的半径为 R。（ 1）过 o 内一点P 作弦 AB。求证： PAPB R2 oP2；（ 2）过 o 外一点 P 作割线 PAB。求证： PAPB oP2 R2（几何第三册 134 第 4 题）该题的结论可以用来解决其他习题。如几何第三册 132 第 10 题、 134 第 5 题、第 6 题。）五、归纳猜想，引申推广牛顿说过： “ 没有大胆地猜想，就做不出伟大的发现。 ” 中学生的想象力丰富，因此，可通过例 （习）题所提供的结构特征，鼓励、引导学生大胆地猜想，引申推广，验证假说，以培养学生的创造性思维能力。例 6 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的二根之比为 23 。求证： 6b2=25ac（代数第三册 76第 14题）对于这个命题，通过观察会发现结论中的 6 和 25 与 23 有密切关系， b2 的系数 65 / 5 23 ， ac的系数 25（ 2 3） 2。根据这一特征，是否可以将其推广为一般情况呢？即：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根之比为 mn ，那么 mnb2=(m+n)2ac。结论是肯定的，证明略。总之，数学教学不等于解题 ，而应是 “ 借题发挥 ” ，教学生学习数学的思想方法，教学生学会探索，提高学生的观察、分析问题、解决问题的能力，培养学生创造性思维能力的全方位教学。附： 陕西省年中考数学第题：已知 Bc为半圆 o 的直径， F 是半圆上异于 B、 c 的一点，A是 BF的中点， ADBc 于 D，交 BF于 E。（ 1）求证： BEBF BDBc；（ 2）试比较线段 BD 与 AE 的大小，并说