高一数学集合复习

3eud教育网 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！第一章 集合与函数概念课标单元知识1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义。了解属于、包含、相等关系的意义。掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。2理解函数的概念，掌握函数的三种表示方法。了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法，并能运用函数的性质求函数的最大值和最小值。1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一、考点聚焦1集合的特性：确定性、互异性、无序性2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素属于集合A，记作；元素不属于集合A，记作或与取决于是不是集合A中的元素。根据集合中元素的确定性，可知对任何与A，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立。符号“”“”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系3、特定集合的表示非负整数集（或自然数集）记作N；正整数集记作，或；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R。4集合的表示方法集合的表示方法常见的有自然语言法、列举法、描述法、韦恩（Venn）图法，以及后面将会学习的用“区间”表示集合。难点是描述法。二、点击考点考题1已知为非零实数，用列举法写出的所有值组成的集合。解析当都是正数时，；当中有且仅有两个是正数时，；当中有且仅有一个是正数时，；当都是负数时，因为集合中的元素都是互异的，所以所求集合为点评在用列举法写数集时，注意格式：，即把集合中所有的元素（数值）一一列举出来，并用逗号隔开，放到花括号内即可。考题2用符号或填空：（1） ；（2）3 ；（3） ， 解析（1），（2）令，则，（3）是一个有序实数时，且符号关系，点评对于（3），要注意描述法中的符号“”左边元素的形式，表示函数的函数值的集合，表示满足的图象上的点集，其中一个是“数”为元素，另一个是以“点”或“实数对”为元素，两个集合是不同的集合。考题3用列举法表示下列集合：（1）；（2）解析集合中的元素是有序数对，可以理解为直角坐标系上点的坐标，因此，此题给的集合可以理解为点集。（1）都是自然数，而故集合为（2），相应的故集合为 点评若，则与表示不同的元素。考题4可以表示方程组的解集是 。（写出所有正确答案的序号）（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解析方程组的解是一组数对，所以解集可用列举法表示为，也可用特征性质描述法表示为又（5），（6），（7）和（3）等价。点评（1）中存在两个元素，它表示两个方程；（2）中是两个元素，表示的是两个数，这些都不能表示原方程组的解集。容易出错且难于理解的是（4），由于集合的代表元素也是数对，因而该集合表示直角坐标平面上的点集，问题是：和之间用“或”连接，说明它们之间是并列关系，所以该集合表示直线与直线上的所有点的集合。考题5设集合，且，求实数解析解法一：，中元素分别对应相同。即集合中元素互异， 于是可求得解法二：，集合的元素经异，。于是可得考题6已知集合，若求解析当时，或经检验，均不合题意。当时，或2。经检验，或均合题意。或点评要把所得的解代入原集合，验证元素的互异性，因为集合M用列举法给出就隐含了M中的三个元素互不相等。考题7下列命题：（1）方程的解集为；（2）集合与的公共元素所组成的集合是;（3）集合与集合没有公共元素。其中真命题的个数有（ ）A0B1C2D3解析要判断这些命题的真假，就需要对用来描述这些命题的集合语言进行转化，以弄清集合的构成。在（1）中方程等价于即其解应为有序实数对，因此其解集应为，故命题（1）是假命题。而在（2）中，由于集合的代表元素是，而满足属性：“”。由于当时，所以集合是由大于或等于的实数所组成的集合。同理，因此（2）也是错误的。在（3）中，集合即为不等式的解集，而为不等式的解集。由图可知，这两个集合可能有公共的元素，也可能没有公共的元素，因此（3）也是错误的。故选A。点评在（2）中，很容易被符号描述法的表象所蒙蔽，认为这两个集合中的“”和“”必须取相同的值。事实上，这是用相同字母来描述不同的集合的元素所具有的属性。三、夯实双基1下面四个命题正确的是（）A10以内的质数集合是0，3，5，7B“个子较高的人”不能构成集合C方程的解集是1，1D偶数集为2已知集合S=中的三个元素可构成ABC的三条边长，那么ABC一定不是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形3已知,定义,则集合等于（ ）ABCD4、（1）已知集合，则M= （2）已知集合，则C= 50_61_。7设直线上的点集为P，则P=_。点（2，7）与P的关系为（2，7）_P。8集合，用列举法可表示为_。三、解答题9已知，求。10已知，若集合P中恰有3个元素，求。11已知集合M=，若，求满足条件的实数组成的集合。12用适当的方法表示下图中的阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M。13、已知集合，若A中元素至多只有一个，求的取值范围。夯实双基参考答案：1B2D3C4（1）（2）56789，10，119为点（4，7）。10。11解析：依题意求出的要进行检验，不符合集合中元素的特性的就舍去。答案：3，2。12。 13，或1.1.2 集合间的基本关系一、考点聚焦1子集集合A是集合B的子集，记作：注意的几点：（1）“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意能推出（2）任何一个集合是它本身的子集（3）空集是任何集合的子集，即对于任一个集合A，都有（4）空集是一个特殊的集合它不含任何一个元素。它既是任何一个集合的子集，也是任何一个非空集合的真子集。在解决诸如，或类问题时，必须优先考虑，是时否满足题意。2集合相等（1）若，同时，则（2）判断两集合是否相等可用列举法。3真子集如果，且，就说集合A是集合B的真子集，记作，它用韦恩图表示如图。二、点击考点考题1（1）已知集合X满足，求所有满足条件的X。（2）设集合。若，求实数的值。解析（1）X中必含1、2两元素，也可以含3、4、5中全部或部分元素，满足条件的X有：共8个。（2）可分为，三种情况，而当时，即0与是方程的两根，求得当时，方程无解，由判别式 当，且，即或即方程有两相等实数根。此时满足条件。综合有，所示实数的取值为或点评在中，含有这种情况，解题时需注意，防止遗漏，在集合单元中含有丰富的分类讨论的内容，要增强分类讨论的意识，掌握分类的方法。对于本题也可以以判别式为讨论对象，分类更明确些。考题2下列各组中的两个集合相等的有（ ）；，ABCD解析中对于，亦表示偶数集，中P是由，所有正奇数组成的集合，Q是由，所有正奇数组成的集合，但中，当为奇数时，；当为偶数时，故选B。点评（1）若两集合A、B均为有限集，只要两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即（2）若两集合A、B均是无限集，要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等，即考题3设集合，且，求的值。解析因为，所以或由，得或；由，得经检验：当时集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的的值为点评此类题的关键是利用子集的概念解题，但易错点是对的值的检验，常被大家忽视。考题4（1）已知集合且，则的值是 。（2）已知集合，若，求实数的取值范围。解析（1）当时，；当时，；当时，.综上可知或1或3。（2），且若，则，解得，此时有；若，则，即，由得由得实数的取值范围是点评首先要特别重视是任何集合的子集，其次要学会分类讨论的数学思想。若将改为，解法与原题有什么区别吗？注意区间这种集合表示方法（请阅读课本函数表示法）考题5（1）以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来。0与；0与；与；与；与（2）已知，则A与B的关系正确的是（ ）ABCD解析（1）；与都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系。，也可是含两个元素0，1的集合；而是有序数对为无素的集合，它只含一个元素。当时，；当时，（2），为：，是B的一个元素，即故选D。考题6（1）同时满足：；，则的非空集合M有（ ）A16个B15个C7个D6个解析（1）时，；时，；时，时，时，非空集合M可能是：共7个。故应选C。考题7已知集合若，求实数的取值范围。解由，确定与1、4的大小关系，将集合A、B表示在数轴上（如图），更容易发现三个点间的关系。（注意符号是否取得到，可以用代入的办法试一试）三、夯实双基1下列四个命题： 0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个2集合1，2，3的子集共有（）A7个B8个C6个D5个3满足的集合M共有（ ）A6个B7个C8个D15个4若集合Axax22xa0，aR中有且只有一个元素，则a的取值集合是（）A1B1C0，1D1，0，15集合Axx3k2，kZ，Byy3l1，lZ，Syy6M1，MZ之间的关系是（）ASBABSBACSBADSBA6若集合，则集合A、B的关系为（ ）AABBBACA=BD以上均不对7在“,，”这四个表达式中正确的是（ ）A全部B只有和C只有和D只有和8已知Axx1或x5，Bxaxa4若AB，则实数a的取值范围是_9若AB，AC，B0，1，2，3，C0，2，4，8，则满足上述条件的集合A为_10、已知集合Ma，ad，a2d，Pa，aq，aq2，其中a0，a、d、qR，且MP，求q的值11、已知集合Axax22x10，aR，xR（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围四、感悟高考：1（2005年湖北）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合.若，则中元素的个数是（ ）A9B8C7D6解析集合P中元素O与集合Q中元素组成的元素为：；同理P中元素2与集合Q中元素可组成的元素为：3,4,8；集合P中元素5与集合Q中元素可组成P+Q的元素：6,7,11；综上所述组成P+Q的元素为共8个，故选B。点评本题应用元素分析法，即解题前先分析元素所具有的形式，属性如何，解题后检验元素是否满足它的三性（确定性、互异性、无序性）。元素分析法能使我们解题达到最优化。2（2006年辽宁）设是R上的一个运算，A是R的非空子集。若对任意、，有对运算封闭。下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）A自然数集B整数集C有理数集D无理数集解析该题属于代数中群、环、域的知识，通过信息给予的形式给了考生，让考生辨别运算。自然数集中的减法运算的结果可能产生负数，如；整数集中的除法运算的结果可能产生小数，如24；无理数集中四则运算的结果可能是有理数，如。故选C。3（2004年广东）已知集合，那么A的真子集的个数是（ ）A15B16C3D4解析非空集合有个子集，有个真子集。，有个。故选A。4（2002年上海）已知三元素集合，且，求与的值。解析， 集合A为三元素集。又，从而，这时，则（舍去），（舍去），经验证：是本题的解。5（2006年上海）（理）已知集合，集合。若，则实数。（文）已知集合，集合。若，则实数 。解析（理）1 ，解之得（文）4 ，点评本题考查了集合的运算及子集的概念。6（2004年湖北）设A、B为两个集合，下列四个命题：对任意，有；与没有公共元素；存在，使其中真命题序号是。解析B，包含两意义：（1）A与B有公共元素；（2）A与B无公共元素，如图示，所以都不对，只有正确，是真命题。夯实双基参考答案：1B 2B 3B 4D 5C 6A 7C8a5或d5 9，0，2，0，210q 注意：a0，d0，q011答案：（1）a0，x或a1，x1；（2）a1或a01.1.3 集合的基本运算一、考点聚焦1交、并、补集的定义（1）定义的三种语言表示：文字语言、符号语言、图形语言（2） “或”的内涵：并集中的“或”则是“或比”“或彼”“或此彼”，可兼有。“”包含三种情形：，且；对于“”，不能仅认为中的任一元素都是A与B的公共元素，同时还有A与B的公共元素都属于的含义，这就是文字定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是.2交集与并集的运算性质（1） （2） （3） （4） （5） （6） 特别地： 以上性质我们都可用韦恩图加以验证，以性质6为例，如图所示，这里所画图形为或。二、点击考点考题1如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）ABCD解析本题由图辨关系。观察阴影部分所在的位置：在M内，且在P内，且不在S内。交集符号“”正好是“且”的最佳诠释。答案应是这里，表示“不在S内”。故选C。点评本题以Venn图为载体，考查学生对集合的交、并、补的理解，是一种常见题型。解题策略：用集合语言对图形语言进行直译。考题2设是两个非空集合，定义M与N的差集为，且，则等于（ ）ANBCD解析分两步进行：先算，是指图（1）中的阴影部分；再算，这是指图（2）中的阴影部分。故选B。点评这是一个信息题，定义了新运算，认真分析定义：两个集合的差集就是去掉A中与B中相同的元素。有同学可能会感觉差集与数差运算有些相似，因此直接将进行去括号运算，得到结果为N，实际上，这种做法是毫无根据的。新定义题必须在阅读理解的基础上，通过独立提取信息、加工信息，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的迁移与转化，只有经过严谨合理的分析，才能达到正确解题的目的。考题3若集合，则满足条件的实数的个数有（ ）A1B2C3D4解析，或.若时，得.当，则，符合题意；若，则，符合题意。当时，得若，则，符合题意；若，则，不成立，舍去。综上知，故选C。点评（1），今后要常用这一性质。（2）注意检验元素的互异性。考题4设，若，则（ ）ABCD解析，将分别代入方程及，联立 .故选A。考题5已知全集，求分析符号隐含了，而，注意不要忘记的情形。解析当时，方程无实数解。此时，当时，二次方程的两个根，必须来自于U。由于，所以只可能是下述情形：当时，此时；当时，此时.综上所述，当时，；当时，；当时，.点评分类讨论的数学思想方法也是重要的解题方法之一，必须掌握它。考题6设全集已知，求集合A和集合B。解析如图所示，可由性质将化为，从而得：将化为，点评本题将转换为、将转换为使已知条件变得十分清晰，从而为解题时应用条件提供了方便。该题充分利用韦恩图解决问题。考题7已知集合，若，求实数的取值范围。解析本题如果直接求解，情况较多，十分麻烦，这时我们从求解问题的反面来考虑，就比较简单。设全集，若方程的二根均非负，则关于U的补集为，实数的取值范围为点评使用补集思想时首先要确定全集，否则本题可导致错解的补集为本题涉及二次方程根的问题，请参阅后面知识拓展篇-二次函数考题8某网站向500名网民调查对A、B两种事件的态度，赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多30人，其余的不赞成；另外对A、B都不赞成的网民数比对A、B都赞成的网民数的三分之一多10人，问对A、B都赞成的网民和都不赞成的网民各有多少人？分析本题可用集合知识完成。本题已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用Venn图法。解析赞成A的人数为人，赞成B的人数为人。如图所示，记500名网民组成集合U，赞成事件A的网民全体为集合A，赞成事件B的网民全集为集合B，设对A、B都赞成的网民人数为，则由题意知对A、B都不赞成的网民人数为人，赞成A而不赞成B的人数为人，赞成B而不赞成A的人数为人，于是可得方程：解得所以对A、B都赞成的网民有210人，对A、B都不赞成的网民有80人。评析本题充分利用集合的思想解决问题，体现了用Venn图的优越性。三、夯实双基1已知集合M、P、S，满足MPMS，则（）APSBMPMSCM（PS）M（PS）D（SM）P（PM）S2已知集合A、B、C都是非空集合，则一定有（ ）ABCD3已知Mx2，2x1，x1，Nx21，3，x1，且MN0，3，则x的值为（）A1B1C2D24设集合A（x，y）4xy6，B（x，y）3x2y7，则满足CAB的集合C的个数是（）A0B1C2D35已知集合Mx1x2，Nxxa0，若MN，则a的取值范围是（）A（，2）B（1，）C1，D1，16已知集合集合则等于（ ）ABCD7设全集，若，（），= ，则下列结论中，正确的是（ ）AB且C且D且8设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）ABCD9已知集合Axyx22x2，xR，Byyx22x2，xR，则AB_1050名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人问这种测验都优秀的 人。11设集合，则满足的集合C是。12设Axx22x30，Bxax10若ABA，求实