2019届高三数学三模试卷(A)理(含解析).doc

2019届高三数学三模试卷(A)理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则中所含元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：集合的表示法2.若函数为纯虚数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据为纯虚数，得到的值；再由，及复数除法的计算法则计算的值。详解：为纯虚数 ，解得又i2007=i4501+3=i3=ia+i20071+ai=1i1+i=(1i)2(1+i)(1i)=i故选D点睛：（1）复数z=a+bi分类：b=0时为实数；b0时为虚数，a=0,b0时为纯虚数。 （2）in以4为周期，即i4k+1=i,i4k+2=i2=1;i4k+3=i3=i,i4k=i0=1,(kz)（3）复数除法运算法则：z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i(z20)3.已知命题p:xR，x2ex，那么命题p为（ ）A. xR，x2ex B. xR，x2ex【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题，则p为xR，x2ex，故选C4.已知双曲线C:x2a2y2b2=1a,b0的一个焦点为2,0，且双曲线C的离心率为22，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. y=2x B. y=22x C. y=77x D. y=7x【答案】D【解析】依题意，双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为(2,0)，c=2，双曲线离心率为22，ca=2a=22，a=22，c2=a2+b2，b=142，渐近线方程为y=bax=7x.故选D.5.已知实数x，y满足约束条件xy30x+y20x+2y20，则z=x12+y2的最小值为（ ）A. 12 B. 22 C. 1 D. 2【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点(x,y)到点(1,0)的距离的平方，所以zmin=(|1+0-2|12+12)2=12故选A6.设0,2，0,2，且tan=1+sincos，则（ ）A. 3=2 B. 2=2 C. +3=2 D. +2=2【答案】B【解析】分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即 tan=sincos和sin(-)化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确答案。（2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过(2-)4-2的变换化简，确定正确答案。详解：方法一：tan=sincossincos=1+sincos即sincos=cos+cossin整理得sin(-)=cos(0,2),(0,2)-(-2,2)， (-)+=2 整理得-2=-2方法二：1+sincos=1+cos(2-)sin(2-)=2cos2(4-2)2sin(4-2)cos(4-2)=1tan(4-2) tan=1tan(4-2)(0,2),(0,2)4-2(0,4)， +(4-2)=2 整理得-2=-2故选B点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，根据题干和选项所给提示，确定解题方向，选取适当三角函数公式化简求值。7.给出30个数：1，2，4，7，11，16，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框处和执行框处可以分别填入（ ）A. i30？和p=p+i1 B. i31？和p=p+i+1C. i31？和p=p+i D. i30？和p=p+i【答案】D【解析】试题分析：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即中应填写i30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即1+1=2；第3个数比第2个数大2即2+2=4；第4个数比第3个数大3即4+3=7；故中应填写p=p+i考点：程序框图8.已知函数fx=ex1+e1x，则满足fx1e+e1的x的取值范围是（ ）A. 1x3 B. 0x2 C. 0xe D. 1xe【答案】A【解析】分析：先确定函数f(x)的单调性，x(,1)单调递减，x(1,+)单调递增；由题可知当x=0或x=2时f(x)=e+e1，根据函数f(x)的性质解不等式fx-1e+e-1。详解：令u=ex1,u(0,+)，u(x)为单调递增函数 则f(x)=g(u)=u+1u,u(0,+)，u(0,1)单调递减，u(1,+)单调递增， 且当x=1时u=e11=1 复合函数同增异减x(,1)时，函数f(x)单调递减；x(1,+)时，函数f(x)单调递增。 函数f(x)最小值fmin(x)=f(1)又 x=0或x=2时f(x)=e+e1f(x1)e+e1 即 0x12 解得1x2时有两条满足条件的直线，从而得到答案.详解：（1）当直线lx轴时，直线：x=1与抛物线交于(1,2)、(1,2)，与圆(x1)2+y2=r2交于(1,r)、(1,r)，满足AC=BD.（2）当直线不与x轴垂直时，设直线方程y=k(x1).A(x1,y1),B(x2,y2) 联立方程组y=k(x1)y2=4x 化简得k2x2(2k2+4)x+k2=0 由韦达定理 x1+x2=2+4k2 由抛物线得定义，过焦点F的线段AB=AF+BF=x1+x2+2=4+4k2当四点顺序为A、C、D、B时 AC=BD AB的中点为焦点F（1，0），这样的不与x轴垂直的直线不存在；当四点顺序为A、C、B、D时，AC=BD AB=CD又CD=2r，4+4k2=2r，即2k2=r2当r2时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于x=1对称的两条直线。综上，当r(2,+)时有三条满足条件的直线.故选B.点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题代入法，考查了分类讨论思想、等价转化思想，由AC=BD到AB=CD的转化是解题关键.12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=(x+1)ex，则对任意mR，函数F(x)=f(f(x)-m的零点个数至多有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个【答案】A【解析】当x0时，f(x)=(x+2)ex，由此可知f(x)在(-,-2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增，f-2=-e-2,f-1=0，且f(x)1,又f(x)在R上的奇函数，f0=0,而x(-,-1)时，fx0，所以f(x)的图象示意图如图所示，令t=f(x)，则t(-1,1)时，方程fx=t至多有3个根，当t(-1,1)时，方程fx=t没有根，而对任意mR，方程fx=m至多有一个根t(-1,1)，从而函数F(x)=f(f(x)-m的零点个数至多有3个，故选A.点睛：复合函数的零点问题的求解步骤一般是：第一步：现将内层函数换元，将符合函数化为简单函数；第二步：研究换元后简单函数的零点（一般都是数形结合）；第三步：根据第二步得到的零点范围转化为内层函数值域，进而确定x的个数.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某校高一年级3个学部共有800名学生，编号为：001,002，800，从001到270在第一学部，从271到546在第二学部，547到800在第三学部采用系统抽样的方法从中抽取100名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为004，则第二学部被抽取的人数为_【答案】34【解析】因为间隔为800100=8 ，且随机抽的号码为004，则随机抽取的号码构成一个等差数列，通项公式为4+8（n1）=8n4 ，由2718n4546 ，即2758n5508, ，即35n68 ，共有34人.故答案为34.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔，利用等差数列进行求解是解决本题的关键14.已知向量a=(2,1)，ab=10，a+b=52，则b=_【答案】5 【解析】由a=(2,1)可得a2=5 ，a+b=52,a+b2=50，即a2+b2+2ab=50,5+b2+20=50，b=5，故答案为5.15.已知平面截球O的球面得圆M，过圆心M的平面与的夹角为6且平面截球O的球面得圆N，已知球O的半径为5，圆M的面积为9，则圆N的半径为_【答案】13【解析】分析：先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON长，最后应用勾股定理确定圆N的半径.详解：如图，SM=9OA=5 AM=3OM=OA2AM2=4过圆心M的平面与的夹角为6且平面截球O的球面得圆NNOM=6ON=OMcos6=23OB=5BN=OB2ON2=13点睛：本题考查球截面与二面角问题，球半径为R，球截面圆的半径为，球心到截面距离为d，满足R2=r2+d2.16.已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为，b，若a+csinAsinC=bsinAsinB，且c=3，则ab2的取值范围为_【答案】32,3【解析】分析：由正弦定理角化边及余弦定理，整理得C=3，则A+B=23，再根据c=3，得外接圆半径R=1，所以ab2=2R(sinAsinB2)，整理后化成一个角得三角函数，求得取值范围.详解：由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，得(a+c)(ac)=b(ab) 即c2=a2+b2ab由余弦定理c2=a2+b22abcosC 得C=3A+B=23 又c=3 csinC=2RR=1ab2=2R(sinAsinB2)=2sinAsin(23A)=32sinA32cosA=3sin(A6)由题可知 0A23 则6A6232ab23 即ab2的范围(32,3)点睛：解三角形问题，需要结合已知条件，根据三角形边角关系、正余弦定理灵活转化已知条件，从而达到解决问题的目的解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，另一类是根据边或角的范围计算三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.()求数列an的通项公式；()若bn=anlog12an,Sn=b1+b2+bn,对任意正数数n，Sn+n+man+10恒成立，试求m的取值范围.【答案】（1）an=2n（2）-，-1【解析】试题分析：()通过a3+2是a2,a4的等差中项可知2a3+2=a2+a4，结合a2+a3+a4=28，可知a3=8 ，进而通过解方程8q+8q=20，可知公比q=2，从而可得数列an的通项公式；()通过()bn=n2n，利用错位相减法求得Sn，对任意正整数n,Sn+n+man+10恒成立等价于m12n1对任意正整数n恒成立，问题转化为求fn=12n1的最小值，从而可得m的取值范围.试题解析：()设等比数列an的首项为a1,公比为q依题意，有2a3+2=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8，因此a2+a4=20,即有a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得q=2a1=2或q=12,a1=32,又数列an单调递增，则q=2,a1=2,故an=2n.()bn=2nlog122n=-n2n,-Sn=12+222+323+n2n-2Sn=122+223+324+n-12n+n2n+1-，得Sn=2+22+23+2n-n2n+1=21-2n1-2-n2n+1=2n+1-n2n+1-2Sn+n+man+10,2n+1-n2n+1-2+n2n+1+m2n+10对任意正整数n恒成立.m2n+12-2n+1对任意正整数n恒成立，即m-1,m-1,即m的取值范围是-，-1.【易错点晴】本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q.18.在等腰直角EBC中，A，D分别为EB，EC的中点，AD=2，将EBC沿AD折起，使得二面角EADB为60.（1）作出平面EBC和平面EAD的交线，并说明理由；（2）二面角ECDB的余弦值.【答案】（1）见解析（2）155【解析】分析：（1）通过AD/BC找到解题思路，再根据线面平行的判定、性质以及公理“过平面内一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条”说明理由.（2）过点E作AB的垂线，垂足为F，以F为坐标原点，FB所在方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量n1,n2，两平面法向量夹角详解：（1）在面EAD内过点E作AD的平行线即为所求.证明：因为l/AD，而在面ABCD外，AD在面ABCD内，所以，l/面ABCD.同理，AD/面EBC，于是在面EBC上，从而即为平面EBC和平面EAD的交线.（2）由题意可得EAB为二面角E-AD-B的平面角，所以，EAD=60.过点E作AB的垂线，垂足为F，则EF面ABCD.以F为原点，FB为x轴正方向，FB为单位长度建立空间直角坐标系；则B1,0,0，C1,4,0，A-1,0,0，D-1,2,0，E0,0,3，从而CD=-2,-2,0，EC=1,4,3，设面BCD的一个法向量为n1=x0,y0,z0,则由n1CD=0n1EC=0得-2x0-2y0=0x0+4y0-3z0=0，所以x0=-y0z0=3y0，不妨取n1=1,-1,-3.由EF面ABCD知平面BCD的法向量不妨设为n2=0,0,1于是，cos=n1n2n1n2=35=155，所以二面角E-CD-B的余弦值为155.点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标设两平面的法向量n1,n2， 两法向量夹角为，求法向量及两向量夹角的余弦cos=n1n2n1n2；当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为.19.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图.同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数），由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队.规定：跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”.（1）求甲，乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在160,170（单位：cm）内的运动人数b；（2）在甲，乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望.【答案】（1）a=40，b=9（2）513（3） 见解析【解析】分析：由频率分布直方图可知，成绩在190cm以上的运动员频数为2，频率为0.00510=0.05，由此求出全体运动员总人数，由成绩在160,170)内频率求出运动员人数，再减去甲队人数，即可求出乙队人数b；（2）分别求出“至少有1人成绩为优秀”和“两人成绩均优秀”的概率；再根据条件概率P(A|B)=P(AB)P(A)即为所求；（3）由题设确定随机变量X所有可能值为0、1、2，分别求三个概率，由此求出X的分布列和数学期望EX.详解：（1）由频率直方图可知：成绩在以190cm以上的运动员的频率为0.00510=0.05， 全体运动馆总人数a=20.05=40（人），成绩位于160,170中运动员的频率为0.0310=0.3，人数为400.3=12，由茎叶图可知：甲队成绩在160,170的运动员有3名，b=12-3=9（人）；（2）由频率直方图可得：180cm以上运动员总数为：0.020+0.0051040=10，由茎叶图可得，甲乙队180cm以上人数恰好10人，所以乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为6人，设事件A为“至少有1人成绩优秀”，事件B为“两人成绩均优秀”，PA=1-PA=1-C42C102=1315，PAB=C62C102=13，PBA=PABPA=131513=513；（3）X可取的值为0，1，2，PX=0=C40C22C62=115，PX=1=C41C21C62=815，PX=2=C42C20C62=615=25，X的分布列为：X012P11581525EX=0115+1815+225=43.点睛：随机变量X分布列及数学期望问题要善于灵活运用三个性质：一是pi0(i1,2，)；二是P(A)=1P(A)，三是p1p2pn1检验分布列的正误20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F的坐标为3,0，点P坐标为2,2，且直线PA1x轴，过点P作直线与椭圆E交于A，B两点（A，B在第一象限且点A在点B的上方），直线OP与AA2交于点Q，连接QA1.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线QA1的斜率为k1，直线A1B的斜率为k2，问：k1k2的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.【答案】（1）x24+y2=1（2）14. 【解析】分析：（1）由题意可知c=3,a=2，则b=a2c2=1，即可求得椭圆方程.（2）由题意设Ax1,y1，Bx2,y2，Q-t,t，设直线AB的方程为x=m(y2)2，代入椭圆方程，写出韦达定理关系式，再根据Q、A、A2三点共线，得到t=2y1x1+y12，然后计算k1k2的值为定值14.详解：（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1ab0，由题意可知：a=2c=3，所以b=1，所以椭圆的方程为x24+y2=1（2）是定值，定值为-14.设Ax1,y1，Bx2,y2，因为直线AB过点P-2,2，设直线AB的方程为：x=my-2m-2，联立x2+4y2=4x=my-2m-2m2+4y2-4m2+4my+4m2+8m=0所以y1+y2=4m2+4mm2+4，y1y2=4m2+8mm2+4，因为点Q在直线OP上，所以可设Q-t,t，又Q在直线AA2上，所以：t-t-2=y1x1-2t=-2y1x1+y1-2所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2=-y1y2x2+2x1+2y2-2=-y1y2my2-2mm+2y1-2=-y1y2m2+2my1y2-2y1+y2+4=-14点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为：设动点和动直线、即引入参数；结合已知条件将目标式用参变量表示，（3）通过化简消参求得定值.设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.21.设函数f(x)=x+a(e2x3ex+2)，其中aR.（1）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（2）若x0,f(x)0成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）0a1【解析】分析：（1）求函数的导数，再换元t=ex(t0)，令fx=gt=2at2-3at+1，对与分类讨论a=0a0,0a0,0a0，即可得出函数的极值的情况. （2）由（1）可知：当0a89时，函数fx在(0,+)为增函数，又f(0)=0所以满足条件；当a89时，因换元t(1,+)满足题意需在此区间g(t)g(1)0，即a1；最后得到的取值范围.详解：（）fx=2ae2x-3aex+1，设ex=t0，则fx=gt=2at2-3at+1，当a=0时，fx=10，函数fx在R为增函数，无极值点.当a0时，=9a2-8a，若089时0，设gt=2at2-3at+1的两个不相等的正实数根t1，t2，且t10，fx单调递增；当xlnt1,lnt2fx0，fx单调递增.因此此时函数fx有两个极值点；同理当a0时gt=2at2-3at+1的两个不相等的实数根t1，t2，且t10t2，当xlnt2,+，fx0，fx单调递增；所以函数只有一个极值点.综上可知当0a89时fx的无极值点；当a89时，fx的有两个极值点.（）对于x0ex=t1，由（）知当0a89时函数fx在R上为增函数，由f0=0，所以fx0成立.若a89，设gt=2at2-3at+1的两个不相等的正实数根t1，t2，t1t2且t1t2=12a1，t1+t2=32，t1340，fx0成立，则要求t20，fx0成立若当a1，t=at2-3a-1t+2a0显然不恒成立.综上所述，的取值范围是0a1.点睛：函数的导数或换元后的导数为二次函数f(x)=ax2+bx+c题型，求函数的单调性或极值点个数的解题步骤为：（1）确定定义域；（2）二次项系数a=0；（3）0；（4）0，再讨论f(x)=0，两个根的大小关系。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点Pa,1，其参数方程为x=a22ty=122t （为参数，aR），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos2+3cos=0.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且PA=3PB，求实数的值.【答案】（1）x-y-a+1=0,y2=3x（2）712或1348.【解析】【分析】（1）利用参数方程、普通方程与极坐标方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.（2）先将曲线C1的方程转化为标准参数方程，然后将其代入曲线C2的直角坐标方程中，因曲线C1和曲线C2有两个交点，所以整理后