2019届高三数学下学期第四次模拟考试试题 理(含解析).doc

2019届高三数学下学期第四次模拟考试试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：，则的虚部为1.本题选择B选项.2. 已知集合，则集合的真子集的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】，则 的真子集的个数为个.本题选择C选项.3. 平面直角坐标系中，已知双曲线：，过的左顶点引的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积A. B. C. D. 【答案】C【解析】不妨设直线的斜率为，则直线方程为，另一条渐近线方程为，联立可得交点坐标为，故三角形的面积为，应选答案C。点睛：解答本题的关键是建立平行渐近线的直线的方程，进而求它与另一条渐近线的交点坐标，再借助几何的直观运用三角形的面积公式求出三角形的面积，从而使得问题获解。4. 下列命题中正确命题的个数是（1）对于命题，使得，则，均有；（2）命题“已知，若，则或”是真命题；（3）设已知,则与值分别为（4）是直线与直线互相垂直的充要条件.A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B【解析】逐一考查所给的选项：对于命题，使得，则，均有，原题中命题为假命题；命题“已知，若，则或”是真命题，原题中命题为真命题；.设已知,则 ，解得与值分别为，原题中命题为真命题；直线与直线互相垂直，则，解得：或，不是直线与直线互相垂直的充要条件, 原题中命题为假命题；本题选择B选项.5. 某高铁站进站口有个闸机检票通道口，若某一家庭有个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭个人的不同进站方式有多少种.A. B. C. D. 【答案】D【解析】可分三类：第一类是一人一个通道口进，第二类是有两人同一通道口进，第三类是3人从同一通道口进，共有方法数为，故选D6. 变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为A. 1 B. 7 C. -1 D. -7【答案】A【解析】作出不等式组所对应可行域,如图所示,变形目标函数z=3xy可得y=3xz，平移直线y=3x可知：当直线经过点A时,直线截距最小值,z取最大值,由解得A(a+2,2)代值可得3a+62=7，解得a=1，本题选择A选项.点睛：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.7. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下图的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为675,125，则输出的值为A. 0 B. 25 C. 50 D. 75【答案】B【解析】当此时 否, 否,是,输出 ,选B.8. 等差数列中的是函数的两个极值点，则A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】解：由题意可知：f(x)=x28x+6，又a2,a4030是函数f(x)的极值点，a2,a4030是方程x28x+6=0的实根，由韦达定理可得a2+a4030=8，由等差数列的性质可得2axx=a2+a4030=8，axx=4，.=log24=2本题选择A选项.9. 已知函数，满足，则满足题意的的最小值为A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】由题意可得：则：，据此有：或，则：或，结合可得，令，.本题选择C选项.10. 下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图知，该机几何体是如图所示的正四棱锥 ，图中正方体令棱长为 ，设球心为 ，球半径为 ，则有 ，解得 ，所以球的表面积为 ，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知点为内一点，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，根据等面积法得，所以考点：1、解三角形；2、向量的基本运算【方法点晴】本题考查解三角形、向量的基本运算，涉及数形结合思想、方程思想思想和转化化归思想，考查空逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于较难题型 首先由已知可得，根据等面积法得，所以12. 已知函数与的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数m的取值范围是A. B. C. D. .【答案】D【解析】函数关于对称的函数是 ，那么和有交点，即 ，解得有解，令 ，所以 ，令，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，无最大值，所以，故选D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数性质和函数图象的问题，考查了转化与化归的能力以及计算能力，综合性比较强，首先将问题转化为关于对称的函数与有交点，或是与有交点，这样 问题就转化为方程有解问题，求参数，不管是有解还是恒成立问题，参变分离后求函数的值域都是比较好的方法.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. _【答案】2【解析】 .14. 已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为_（用数字作答）【答案】120【解析】由题意，(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，n=5，那么(2x2+x-y)5=5，通项公式，展开式中含有x5y2，可知r=2那么(2x2+x)3中展开必然有x5，由通项公式，可得，含有x5的项：则t=1，展开式中x5y2的系数为.15. 如下等式：以此类推，则xx出现在第_个等式中.【答案】31【解析】由题意，得第1个等式中共有3个偶数，第2个等式中共有5个偶数，第3个等式中有7个偶数，由此猜想：第个等式中共有个偶数，xx是第1004个偶数，设xx出现在第个等式中，则，即，又因为，解得，即xx出现在第31个等式中.16. 抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B，若点M满足，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则M点的横坐标为_【答案】3【解析】抛物线 的焦点 ，设 ，直线 方程为 ，。点睛：抛物线定义中的“转化”法：利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列满足， ，数列满足， 证明： 为等比数列；（2）数列满足，求数列的前项和，求证： .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析: (1)由已知条件得出 与 之间的关系,用等比数列定义证明; (2)由(1)的结论分别求出 的通项公式, 代入 中,求出,再用裂项相消法求出 ,与比较大小.试题解析:（1），又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列（2）18. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.参考公式： ，其中参考数据：0.1500.1000.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析: （）先根据题意填写表格（注意对应关系），再代入公式，并将计算结果与参考数据进行对照，确定把握率范围，进而判段是否有的把握.（）根据频率估计概率得：驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.由于随机变量服从二项分布，根据公式 可得随机变量对应的概率，列表可得分布列，根据可得数学期望.试题解析:解：（）平均车数超过人数平均车速不超过.人数合计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520合计252550，所以有的把握认为平均车速超过与性别有关.（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.的可能取值为，且，分布列为：0123.或.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB2，BCCD1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C(1)求证：AD1BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得BC平面AD1C，然后由直线与平面垂直的定义可得AD1BC(2)建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量可求得平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.试题解析： (1)证明：连接D1C，则D1C平面ABCD，D1CBC在等腰梯形ABCD中，连接AC，AB2，BCCD1，ABCD，BCAC，BC平面AD1C，AD1BC(2)由(1)知AC、BC、D1C两两垂直，ABCD，D1DC，CD1，D1C在等腰梯形ABCD中，AB2，BCCD1，ABCD，.AC，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，由得又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n，平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为点睛：利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为.（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且.直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.设直线BD,AM的斜率分别为，证明存在常数使得,并求出的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（）由离心率可得，由对称性直线被椭圆截得弦长为可求得点坐标为，代入椭圆方程可求得得椭圆标准方程；（）直线与椭圆相交，设，有，由直线垂直得直线的斜率为.为了简便设直线的方程为，代入椭圆方程消元得的一元二次方程可得，于是有，而，于是写出直线方程，求出点坐标，可得，比较可得试题解析：（），.设直线与椭圆交于，两点，不妨设点为第一象限内的交点.，代入椭圆方程可得.由知，所以椭圆的方程为：.（）设，则，直线的斜率为，又，故直线的斜率为.设直线的方程为，由题知，联立，得.，由题意知，直线的方程为.令，得，即，可得，即.因此存在常数使得结论成立.点睛：解析几何中直线与圆锥曲线相交问题，往往采用“设而不求”的思想求解，即设交点坐标，设出直线方程并与圆锥曲线方程联立方程组，消元后可得，再表示出题中要证（或求）的几何量，并把代入化简变形，注意要按部就班地计算题中的几何量（如求出直线方程，求出交点坐标，得出直线斜率等）21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性,并证明当时，;（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根据函数单调递增得，即得不等式，（2）利用（1）结论可得函数的导数在区间内单调递增，根据零点存在定理可得有一唯一零点且从而可得在处取最小值，利用化简，得最后再利用导数研究函数单调性，即得函数的值域.试题解析：（1）由得故在上单调递增， 当时，由上知，即，即，得证. （2）对求导，得， 记，由（）知，函数区间内单调递增， 又，所以存在唯一正实数，使得于是，当时，函数在区间内单调递减；当时， ，函数在区间内单调递增所