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文档简介

第一节向量及其线性运算,一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,1加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的线性运算,1、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2减法,2、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例1化简,解,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,三、空间点的直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,任给向量，对应有点,如图所示：,向量的坐标表示,四、利用坐标作向量的线性运算,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,解,由题意知：,五、向量的模、方向角、投影,1、两点间的距离公式,特殊地：若两点分别为,设向量,向量模长的坐标表示式,2、向量的模,解,原结论成立.,解,设P点坐标为,所求点为,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.,3、方向角与方向余弦,非零向量的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,当时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,解,所求向量有两个，一个与同向，一个反向,或,解,解,空间一点在轴上的投影,4、向量在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,关于向量的投影定理（1）,证,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4
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