中考数学总复习 第一部分 教材梳理 第三章 函数 第4节 二次函数课件.ppt

第一部分教材梳理,第4节二次函数,第三章函数,知识梳理,概念定理,1.二次函数的概念一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0），特别注意a不为0，那么y叫做x的二次函数.y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）叫做二次函数的一般式.2.二次函数的图象和性质二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫做抛物线.,抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：有开口方向；有对称轴；有顶点.,3.二次函数图象的画法：五点法（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴.（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象;当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D.由C,M,D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A,B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.,方法规律,1.二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）.（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式y=a（x-h）2+k.（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式y=a（x-x1）（x-x2）.（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.,2.二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”.3.二次函数的图象与各项系数之间的关系抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用：（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.a0时，抛物线开口向上；a0,抛物线与y轴交于正半轴；c1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m=-1B.m=3C.m-1D.m-14.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图1-3-4-2所示，对称轴是直线x=-1，下列结论：abc0；2a+b=0；a-b+c0；4a-2b+c0,其中正确的是（）A.B.只有C.D.,D,D,5.已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数，a0），下列结论正确的是（）A.当a=1时，函数图象过点（-1，1）B.当a=-2时，函数图象与x轴没有交点C.若a0，则当x1时，y随x的增大而减小D.若a0，则当x1时，y随x的增大而增大6.抛物线y=x2，y=x2，y=-x2的共同性质是：都是开口向上；都以点（0，0）为顶点；都以y轴为对称轴；都关于x轴对称.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个,D,B,考点点拨：本考点的题型一般为选择题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质.同时要熟记二次函数的图象与各系数的关系，并能够利用顶点坐标和对称轴的范围求2a与b的关系.,考点2求二次函数的解析式及图象的平移,考点精讲【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.思路点拨：（1）根据已知条件，利用交点式得出y=a（x-1）（x-3），再求出a的值，然后利用配方法即可求出顶点坐标；（2）根据“左加右减”原则可得出平移后的抛物线的解析式.,解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3）.把C（0，-3）代入，得3a=-3.解得a=-1.故抛物线的解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3.y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，顶点坐标为（2，1）.（2）平移方法：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位.得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上.,考题再现1.（2016上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A.y=（x-1）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=x2+1D.y=x2+32.（2016眉山）若抛物线y=x2-2x+3不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A.y=（x-2）2+3B.y=（x-2）2+5C.y=x2-1D.y=x2+4,C,C,考点演练3.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A.y=（x+2）2-3B.y=（x+2）2+3C.y=（x-2）2+3D.y=（x-2）2-34.已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是_.5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为_.6.将抛物线y=2（x-1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为_.,A,y=x2-7x+12,y=-x2+4x-3,y=2（x+2）2-2,考点点拨：本考点的题型不固定，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于根据已知条件选用合适的形式设二次函数的解析式，并根据平移性质正确得出平移后的解析式.注意以下要点：（1）二次函数有三种形式，即一般式、顶点式和交点式，要根据已知条件灵活选择合适的形式；（2）一般式求出二次函数的解析式后，利用配方法可求出二次函数的顶点坐标；（3）二次函数的图象平移规律：“左加右减，上加下减”.,考点3二次函数与一元二次方程的关系考点精讲,考点精讲【例3】已知关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0.（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2-（m-3）x-m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.（提示：AB=|x2-x1|）思路点拨：（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A，B间的距离，再根据二次函数的性质，可得答案.,解：（1）=-（m-3）2-4（-m）=m2-2m+9=（m-1）2+8.（m-1）20，=（m-1）2+80.原方程有两个不等实数根.（2）存在.由题意知x1，x2是原方程的两根，x1+x2=m-3，x1x2=-m.AB=|x1-x2|，AB2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（m-3）2-4（-m）=（m-1）2+8.当m=1时，AB2有最小值8.AB有最小值，即,考题再现1.（2016贵阳）若m，n（nm）是关于x的一元二次方程1-（x-a）（x-b）=0的两个根，且ba，则m，n，b，a的大小关系是（）A.mabnB.amnbC.bnmaD.nbam2.（2016滨州）抛物线y=2x2-与坐标轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.3,D,C,3.（2016宿迁）若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（）A.x1=-3，x2=-1B.x1=1，x2=3C.x1=-1，x2=3D.x1=-3，x2=14.（2016荆州）若函数y=（a-1）x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_.,C,-1或2或1,考点演练5.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A.x1=0，x2=4B.x1=1，x2=5C.x1=1，x2=-5D.x1=-1，x2=56.若函数y=mx2+（m+2）x+的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A.0B.0或2C.2或-2D.0，2或-2,D,D,7.函数y=x2+ax+b的图象如图1-3-4-3，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4,D,考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于掌握一元二次方程和二次函数的区别与联系.注意以下要点：（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，只要令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标，但要注意若未指明函数为二次函数，则还要考虑a=0时，函数与x轴的交点情况；（2）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点.,考点4二次函数的应用,考点精讲【例4】（2015梅州）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.（1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是（_）元；月销量是（_）件；（直接写出结果）,（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？思路点拨：（1）根据利润=售价-进价，求出利润，再运用待定系数法求出月销量即可；（2）根据月利润=每件的利润月销量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大利润即可.解：（1）销售该运动服每件的利润是（x-60）元；设月销量W与x的关系式为W=kx+b，,W=-2x+400.应填x-60和-2x+400.（2）由题意，得y=（x-60）（-2x+400）=-2x2+520 x-24000=-2（x-130）2+9800.售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元.,考题再现1.（2016潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？,解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0x100.由50 x-11000，解得x22.又x是5的倍数，每辆车的日租金至少应为25元.（2）设每辆车的净收入为y元，当0x100时，y1=50 x-1100.y1随x的增大而增大，当x=100时，y1的最大值为50100-1100=3900；,当x100时，当x=175时，y2的最大值为5025，50253900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，是5025元.答：当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多.,2.（2016徐州）某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180x300）满足一次函数关系，部分对应值如下表：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房每日需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值.（宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出）,考点演练3.图1-3-4-4是某座拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且ACx轴，若OA=10m，则桥面离水面的高度AC为（）,B,4.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？,解：（1）y=300+30（60-x）=-30 x+2100.（2）设每星期的销售利润为W元，W=（x-40）（-30 x+2100）=-30 x2+3300 x-84000=-30（x-55）2+6750.当x=55时，W最大值=6750.答：每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元.,5.某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量也就随之降低.若该果园每棵果树产果y（kg），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图1-3-4-5所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750kg？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量W（kg）最大？最大产量是多少？,解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，由该一次函数过点（12，74），（28，66），得该函数的表达式为y=-0.5x+80.（2）根据题意，得（-0.5x+80）（80+x）=6750.解得x1=10，x2=70.投入成本最低，x2=70不合题意，舍去.x=10（棵）.答：增种果树10棵时，果园可以收获果实6750kg.,（3）根据题意，得W=（-0.5x+80）（80+x）=-0.5x2+40 x+6400=-0.5（x-40）2+7200.a=-0.50，则抛物线开口向下，函数有最大值.当x=40时，W取最大值为7200kg.答：当增种果树40棵时，果园的总产量最大，最大产量是7200kg.,考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型一般为解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于能够根据题目提供的信息，列出二次函数解析式，并从实际意义中找到对应的变量的值，再利用待定系数法求出函数的解析式，同时能够利用二次函数的顶点坐标求实际问题中的最值问题（如最大利润、最大产量等）.,课堂巩固训练,1.（2016毕节市）一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）,C,2.（2016益阳）关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是（）A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x1时，y随x的增大而减小3.（2016怀化）二次函数y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上，顶点坐标为（-1，-4）B.开口向下，顶点坐标为（1，4）C.开口向上，顶点坐标为（1，4）D.开口向下，顶点坐标为（-1，-4）,D,A,4.（2016山西）将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A.y=（x+1）2-13B.y=（x-5）2-3C.y=（x-5）2-13D.y=（x+1）2-35.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A.x1=1，x2=-1B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=3,D,B,6.如图1-3-4-6，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=x+1与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求DEF的