（安徽专用）2019年中考数学复习 第四章 图形的认识 4.6 特殊的平行四边形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识4.6特殊的平行四边形,中考数学(安徽专用),A组20142018年安徽中考题组,五年中考,1.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为()A.B.C.5D.,答案D如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为=,故选D.,疑难突破本题的突破口是根据SPAB=S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称的性质将问题转化.,2.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是()A.2B.3C.5D.6,答案C连接EF交GH于点O,由四边形EGFH为菱形,可得EFGH,OH=OG,因为四边形ABCD为矩形,所以B=90.因为AB=8,BC=4,所以AC=4.易证AGECHF,所以AG=CH,所以AO=AC=2,因为EOGH,B=90,所以AOE=B,又因为OAE=BAC,所以AOEABC,所以=,所以AE=5,故选C.,思路分析连接EF,先证EFGH,可求AC的长,再证AGECHF,可得AG=CH,求得AO的长,然后证AOEABC,由相似比求出AE的长.,方法指导利用菱形的性质进行相关计算的三种题型:(1)求角度.应注意菱形的四条边相等、对角相等和邻角互补等,可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质转化要求的角,直到找到与已知角的关系;(2)求长度(线段或周长).应注意使用等腰三角形的性质,若菱形中有一个顶角为60,则连接另外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形,故在计算时可借助等边三角形的性质进行求解;若菱形中存在直角三角形,则应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等进行求解;(3)求面积.可直接利用S=底高来求解,也可利用面积等于对角线之积的一半来进行求解.,3.(2014安徽,10,4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2,若直线l满足:点D到直线l的距离为;A、C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4,答案B连接AC交BD于O点,则OD=OB=.在直线BD上找一点E,使得DE=,过点E作AC的平行线即可,可知满足条件的直线有两条,故选B.,4.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为.,答案3或,解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,AB0),则DE=3k,EM=5k,AD=9k=DC,DF=6k.tanA=tanDFH=,则sinDFH=,DH=DF=k,CH=9k-k=k,cosC=cosA=,CN=CH=7k,BN=2k,=.,思路分析延长NF与DC交于点H,由菱形的性质及翻折变换的性质得出NHDC,构造出RtNHC,在RtNHC和RtDHF中,利用边角关系求得相应线段的长,再求出BN,CN的长,得出答案.,解题关键本题主要考查了菱形的性质,翻折变换以及解直角三角形,灵活运用锐角三角函数表示线段之间的关系是解题的关键.,6.(2016黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在菱形ABCD中,BAD=120,点E、F分别在边AB、BC上,BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EGAC,AB=6,则FG的长为.,答案3,解析设AC与EG相交于点O,四边形ABCD是菱形,BAD=120,EAC=DAC=60,B=60,AB=BC.ABC是等边三角形.又AB=6,ABC的面积为18.菱形ABCD的面积为36,EGAC,AOE=AOG=90.AGE=90-60=30.BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,EGF=B=60,AGF=EGF+AGE=90.FGAD,FG=3.,7.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.,解析(1)证明:ABCD,OAB=DCA.AC平分BAD,OAB=DAC,DCA=DAC,CD=AD.又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形.又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形.(2)四边形ABCD为菱形,OA=OC,BDAC.CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB=BD=1.在RtAOB中,AB=,OB=1,OA=2,OE=2.,8.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,解析(1)证明:E为AD的中点,AD=2ED.AD=2BC,ED=BC.ADBC,四边形BCDE为平行四边形.又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90,BE=ED,BCDE为菱形.,ADBC,DAC=ACB.AC平分BAD,BAC=DAC,BAC=ACB,BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,AB=BE=AE,ABE为等边三角形,BAC=30,ACBE,AH=CH.在RtABH中,AH=ABcosBAH=,(2)设AC与BE交于点H,如图.,AC=2AH=.,9.(2015贵州遵义,24,10分)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AFBC交BE的延长线于点F.(1)求证:AEFDEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.,解析(1)证明:在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,AD=BC=DC=BD.(1分)AFBC,DBE=AFE,E是AD的中点,ED=EA.又BED=FEA,(2分)BDEFAE(AAS).(3分)(2)证明:由(1)知AF=BD=DC,(4分)AFDC,四边形ADCF是平行四边形.(5分)又AD=DC,四边形ADCF是菱形.(6分)(3)解法一:连接DF,1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF,考点三正方形,答案D在正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称,AP=CP,AP+EP的最小值为EC.E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=AD.AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.AF=CE.,故选D.,解后反思本题考查轴对称,正方形的性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或点E)关于直线BD的对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值.,思路分析点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通过证明CDEABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长.,2.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对,答案C易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故选C.,3.(2014山西,10,3分)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2,答案D过点E作EOCD,EHBC,显然四边形EHCO为正方形,EH=EO,HEO=90.GEF=HEO=90,OEN=MEH.EHM=EON=90,EHMEON,S四边形EMCN=S正方形EHCO.EC=2AE,=.AB=a,S正方形ABCD=a2,S正方形EHCO=S正方形ABCD=a2,重叠部分四边形EMCN的面积为a2.故选D.,4.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.,答案2,-或2,解析四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6,OA=OD=3.有三种情况:点P在AD上时,AD=6,PD=2AP,AP=AD=2;点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,解得x=-(负值舍去),即AP=-;点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan30=6=2.综上所述,AP的长为2,-或2.,思路分析根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.,解题关键熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.,易错警示此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致错.,5.(2016山东青岛,13,3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若CEF的周长为18,则OF的长为.,答案,解析四边形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F为DE的中点,CF=DE=EF=DF.CEF的周长为18,CE+CF+EF=18,又CE=5,CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13,DC=12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,BO=DO,F为DE的中点,OF为BDE的中位线,OF=BE=.,6.(2015上海,16,4分)已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点,AE=AD,过点E作AC的垂线,交边CD于点F,那么FAD=度.,答案22.5,解析如图,由题意可得ADFAEF,所以FAD=DAC=22.5度.,7.(2014重庆,18,4分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,连接BE.过点C作CFBE,垂足是F,连接OF,则OF的长为.,答案,解析如图,在BE上截取BG=CF,连接OG,CFBE,EBC+BCF=90.又ECF+BCF=90,EBC=ECF,OBC=OCD=45,OBG=OCF.在OBG与OCF中,OBGOCF(SAS),OG=OF,BOG=COF,OGOF.BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,BE=2,BC2=BFBE,62=BF2,解得BF=,EF=BE-BF=,CF2=BFEF,CF=,GF=BF-BG=BF-CF=.在等腰直角OGF中,OF2=GF2,OF=.,8.(2017上海,23,12分)已知:如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且CBEBCE=23,求证:四边形ABCD是正方形.,证明(1)在ADE和CDE中,ADECDE(SSS).ADE=CDE.ADBC,ADE=CBD,CBD=CDE,BC=CD,AD=BC,四边形ABCD为平行四边形.又AD=CD,四边形ABCD为菱形.(2)CBEBCE=23,设CBE=2x,BCE=3x,BE=BC,BEC=BCE=3x,2x+3x+3x=180,x=22.5,CBE=45.,ADB=CDB=CBE,ADC=90.四边形ABCD为菱形,四边形ABCD为正方形.,思路分析(1)先证四边形ABCD为平行四边形,再由一组邻边相等,便可证得四边形ABCD为菱形.(2)证菱形ABCD的一个角为直角,便可证得菱形ABCD为正方形.,9.(2015山东临沂,25,11分)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.(1)请判断:AF与BE的数量关系是,位置关系是;(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.,解析(1)AF=BE,AFBE.(2分)(2)结论成立.(3分)证明:四边形ABCD是正方形,BA=AD=DC,BAD=ADC=90.在EAD和FDC中,EADFDC.EAD=FDC.EAD+DAB=FDC+CDA,即BAE=ADF.(4分)在BAE和ADF中,BAEADF.BE=AF,ABE=DAF.(6分)DAF+BAF=90,ABE+BAF=90,AFBE.(9分)(3)结论都能成立.(11分),考点一矩形,C组教师专用题组,1.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为()A.30B.45C.60D.75,答案C如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是RtAMG的中线,故AN=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为1+2+4=90,所以1=2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.,2.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化.下列判断的是()A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变,答案C向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化,所以面积改变,选项C错误,故选C.,3.(2014江苏南京,6,2分)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()A.、B.、C.、D.、,答案B过点A作AA1x轴于点A1,过点B作BB1x轴于点B1,过点C作B1B的垂线,交B1B的延长线于点D,如图所示,易知AOA1BCD,故点B的纵坐标是4-1=3,从而由AOA1OBB1得=,解得OB1=,所以B,故点C的横坐标为-2=-,即C,故选B.,4.(2015江苏苏州,18,3分)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为.,答案16,解析由题意知DF是RtBDE的中线,所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y,在RtCDF中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CF2+CD2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.,评析本题考查勾股定理的应用,直角三角形的性质,综合性较强,对学生能力要求较高,属难题.,5.(2015内蒙古包头,20,3分)如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连接CG,BG,BD,DG,下列结论:BE=CD;DGF=135;ABG+ADG=180;若=,则3SBDG=13SDGF.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号),答案,解析因为BAD=ADF=90,AE平分BAD,所以BAE=DAF=F=45,所以AD=DF=BC,AB=BE=CD.在DGF中,F=45,所以DGF135.在等腰RtEFC中,因为G为EF的中点,所以GF=GC,F=BCG=45,又因为DF=BC,所以BGCDGF(SAS),所以GBC=GDF.又因为DBC+BDC=90,所以GBD+GDB=GBC+CBD+GDB=CBD+GDB+CDG=90,所以BGD=90,在四边形ABGD中,BAD=BGD=90,所以ABG+ADG=180.因为=,所以可设AB=2k,则AD=3k,所以BD=k.所以SBDG=BD2=k2.作GMCF于M,则GM=CF=k.所以SDGF=DFGM=k2.所以3SBDG=13SDGF.故正确.,评析本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定、三角形的面积等知识.考查内容较多、较复杂.属难题.,6.(2015重庆,18,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,连接BD,DBC的角平分线BE交DC于点E,现把BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的BCE为BCE.当射线BE和射线BC都与线段AD相交时,设交点分别为F,G.若BFD为等腰三角形,则线段DG长为.,答案,解析过点F作FHBD交BG的延长线于点H,在矩形ABCD中,BD=14,ADBC,ADB=DBC,BE平分DBC,FBG=EBC=DBC,FBG=FDB,由题可得BF=FD,FBD=FDB,FBG=FBD,FBG=GBD,FHBD,H=GBD,H=FBG,FB=FH=FD,设FD=x(x0),在RtABF中,由勾股定理得BF2=AF2+AB2,即x2=(10-x)2+(4)2,解得x=,FB=FH=FD=.FHBD,FHGDBG,=,设GD=y(y0),=,解得y=,GD=.,评析本题重点考查勾股定理,矩形的性质,相似三角形的性质与判定,方程思想等,综合性较强,属于难题.,7.(2014河南,15,3分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折叠,当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时,DE的长为.,答案或,解析如图,连接BD,过点D作PQAB,交AB于点Q,交CD于点P.点D在ABC的角平分线上,四边形ABCD为矩形,ABD=ABC=45,BQ=QD,设BQ=x,由折叠得,AD=AD=5,DE=DE,ADE=90,易得EDPDAQ,=,在RtAQD中,AD2=AQ2+QD2,即52=(7-x)2+x2,x1=3,x2=4.当DQ=3时,=,即=,解得DE=,即DE=.当DQ=4时,=,即=,解得DE=,即DE=.DE的长为或.,8.(2014上海,18,4分)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C、D处,且点C、D、B在同一直线上,折痕与边AD交于点F,DF与BE交于点G.设AB=t,那么EFG的周长为(用含t的代数式表示).,答案2t,解析连接BD,点C、D、B在同一直线上,D=FDC=GDB=90,由翻折知,CE=CE,BE=2CE=2CE,EBC=30,BGD=60,BGD=FGE,FGE=60.ADBC,AFG=BGD.AFG=60,易得GFE=60,EFG为等边三角形.AB=t,FG=t,CEFG=2t.,9.(2016宁夏,26,10分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,动点Q从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿AB向点B移动;同时点P从点B出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC向点C移动,连接QP,QD,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(03(不合题意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分)解法二:若存在x,使得QPDP,则RtQBPRtPCD,=,即=,整理,得x2-7x+9=0,(8分)解得x=或x=3(不合题意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分),评析本题是以矩形为载体的动点问题.主要考查矩形的性质,三角形的面积等.解题的关键是用含x的代数式表示各线段的长.属难题.,10.(2015福建龙岩,20,10分)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EFEC.(1)求证:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的长.,解析(1)证明:在矩形ABCD中,A=D=90,1+2=90.EFEC,FEC=90,2+3=90,1=3.(2分)在AEF和DCE中,AEFDCE,(4分)AE=DC.(6分)(2)由(1)得AE=DC,AE=DC=.在矩形ABCD中,AB=DC=,(8分)在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即()2+()2=BE2,BE=2.(10分),11.(2015山东聊城,21,8分)如图,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.,证明AB=BC,BD平分ABC,BDAC,AD=CD.(2分)四边形ABED是平行四边形,BEAD,BE=AD,(4分)BE=CD.四边形BECD是平行四边形.(6分)BDAC,BDC=90,BECD是矩形.(8分),12.(2014江苏扬州,28,12分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.求证:OCPPDA;若OCP与PDA的面积比为14,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求OAB的度数;(3)如图2,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作MEBP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.,图1,图2,解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,C=D=90,APD+DAP=90,APO是由ABO沿AO折叠而得,APO=B=90,APD+CPO=90,DAP=CPO,ADPPCO.(2分)ADPPCO,=,=,AD=8,CP=4,设AB=x,则DP=x-4,由D=90得AP2=AD2+DP2,x2=82+(x-4)2,x=10,即AB=10.(4分)(2)折叠后AOB与AOP重合,AP=AB,OAB=OAP,AB=CD,AP=CD,P是CD的中点,DP=AP,D=90,PAD=30,又OAB=OAP,OAB=30.(8分)(3)不变.作MHBN交PB于点H,MHP=ABP,MHF=NBF,AP=AB,APB=ABP,MHP=APB,MP=MH,MP=BN,BN=MH,NFB=MFH,NBFMHF,FB=FH,MP=MH,MEPB,PE=EH,EF=EH+FH,EF=EP+FB=PB,由(1)得AB=10,AD=8,DP=6,PC=4,PB=4,EF=PB=2.(12分),评析本题通过图形的变换综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识,属较难题.(1)通过等角的余角相等找到两组角相等判定两三角形相似,再利用三角形相似的性质、勾股定理等建立方程是突破口;(2)通过作辅助线构造全等三角形,再对所求线段进行转化是解题的关键.,1.(2015辽宁沈阳,7,3分)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所形成的四边形是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形,考点二菱形,答案B如图,在ABD中,E,F分别是AB,AD的中点,EF是ABD的中位线,EF=BD,同理,GH=BD,EH=AC,FG=AC,AC=BD,EF=FG=HG=HE,四边形EFGH是菱形.,评析顺次连接四边形各边中点所得的四边形是中点四边形.中点四边形一定是平行四边形,它的其他特征取决于原四边形对角线的特点:若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形的各角为直角;若原四边形的对角线相等,则中点四边形的各边相等.,2.(2014上海,6,4分)如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是()A.ABD与ABC的周长相等B.ABD与ABC的面积相等C.菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍D.菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍,答案B解法一:由题图可知SABD=S菱形ABCD,SABC=S菱形ABCD,所以SABD=SABC.解法二:ABC和ABD是同底等高的两个三角形,所以SABC=SABD.,3.(2014山东烟台,6,3分)如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若DAC=28,则OBC的度数为()A.28B.52C.62D.72,答案CAOM=CON,MAO=NCO,AM=CN,AOMCON,AO=CO,点O是菱形ABCD对角线的交点,BOAC,OBC=90-BCO=90-DAC=90-28=62.,4.(2016陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD中,ABC=60,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为.,答案2-2,解析当等腰PBC以PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧上.连接AC、BD相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.四边形ABCD是菱形,ACBD,ABO=ABC=30,BO=ABcos30=,BD=2BO=2,PB=BC=2,PD=BD-PB=2-2.当等腰三角形PBC以PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2.当等腰三角形PBC以BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则,点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.2-20),则BC=7kcm.上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,23k+54=6k7k,即(2x+7k)3k+54=42k2.易知四边形DENM、四边形AFMN是平行四边形,DE=AF=MN=2xcm.EF=4cm,4x+4=7k,即2x=.将代入得,3k+54=42k2,化简得7k2+4k-36=0.解得k1=2,k2=-(舍去).AB=12cm,BC=14cm,MN=5cm,x=.易证MCDMPQ,=,解得y=.PM=(cm).菱形MPNQ的周长为4=(cm).,评析本题主要考查平行四边形、菱形的性质以及相似三角形的性质.,7.(2014四川成都,24,4分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,连接AC,则AC长度的最小值是.,答案-1,解析过点M作MFCD交CD的延长线于F.由题意可知MA、MA是定值,AC的长度最小时,A在MC上(如图).菱形ABCD的边长为2,A=60,M是AD的中点,MD=MA=1,MDF=60.MF=MDsin60=,DF=MDcos60=.CF=CD+DF=.在RtMFC中,由勾股定理得MC=.AMN沿MN所在直线翻折得到AMN,MA=MA=1.AC=MC-MA=-1.故答案为-1.,评析本题是一道以菱形为依托的动点探究问题,主要考查菱形、轴对称(翻折)、锐角三角函数、勾股定理等知识的综合应用.根据已知分析确定点A的位置是本题的解题关键.,8.(2016辽宁沈阳,19,8分)如图,ABCABD,点E在边AB上,CEBD,连接DE.,求证:(1)CEB=CBE;(2)四边形BCED是菱形.,证明(1)ABCABD,ABC=ABD.CEBD,CEB=DBE,CEB=CBE.(2)ABCABD,BC=BD.由(1)得CEB=CBE,CE=CB,CE=BD,CEBD,四边形BCED是平行四边形.BC=BD,四边形BCED是菱形.,9.(2015江西南昌,20,8分)(1)如图1,纸片ABCD中,AD=5,SABCD=15.过点A作AEBC,垂足为E,沿AE剪下ABE,将它平移至DCE的位置,拼成四边形AEED,则四边形AEED的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图2,在(1)中的四边形纸片AEED中,在EE上取一点F,使EF=4,剪下AEF,将它平移至DEF的位置,拼成四边形AFFD.求证:四边形AFFD是菱形;求四边形AFFD的两条对角线的长.,解析(1)C.(2分)(2)AD=5,SABCD=15,AE=3.又在题图2中,EF=4,在RtAEF中,AF=5.AF=AD=5.又由AEF平移得到DEF,AFDF,AF=DF,四边形AFFD是平行四边形.又AF=AD,四边形AFFD是菱形.(5分)如图,连接AF,DF.,在RtDEF中,EF=EE-EF=5-4=1,DE=3,DF=.(6分)在RtAEF中,EF=EE+EF=5+4=9,AE=3,AF=3.(8分),10.(2014贵州贵阳,18,10分)如图,在RtABC中,ACB=90,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将ADE绕点E旋转180得到CFE,连接AF,CD.(1)求证:四边形ADCF是菱形;(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.,解析(1)证明:将ADE绕点E旋转180得到CFE,AE=CE,DE=FE.四边形ADCF为平行四边形.(3分)点D,E分别是AB,AC的中点,DE是ABC的中位线,DEBC.ACB=90,DFAC,四边形ADCF为菱形.(5分)(2)在RtABC中,BC=8,AC=6,AB=10.(7分)点D是AB边上的中点,AD=5.四边形ADCF为菱形,AF=FC=AD=5,(9分)C四边形ABCF=10+8+5+5=28.(10分),评析本题考查图形旋转的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识点,属容易题.,11.(2014山东青岛,24,12分)已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EFBD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0t8).解答下列问题:(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFES菱形ABCD=1740?若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;若不存在,请说明理由.,解析(1)四边形ABCD是菱形,ABCD,ACBD,OA=OC=AC=6cm,OB=OD=BD=8cm.在RtAOB中,AB=10cm.EFBD,FQD=COD=90.又FDQ=CDO,DFQDCO.=.即=,DF=tcm.四边形APFD是平行四边形,AP=DF.即10-t=t,解这个方程,得t=.答:当t=时,四边形APFD是平行四边形.(4分),S菱形ABCD=ABCG=ACBD,即10CG=1216,CG=cm.S梯形APFD=(AP+DF)CG=cm2.DFQDCO,=.,(2)过点C作CGAB于点G,即=,QF=tcm.同理,EQ=tcm.EF=QF+EQ=tcm.SEFD=EFQD=tt=t2cm2.y=-t2=-t2+t+48.(8分)(3)若S四边形APFES菱形ABCD=1740,则-t2+t+48=96,即5t2-8t-48=0,解这个方程,得t1=4,t2=-(舍去).过点P作PMEF于点M,PNBD于点N,当t=4时,PBNABO,=,即=.PN=cm,BN=cm.EM=EQ-MQ=3-=cm,PM=BD-BN-DQ=16-4=cm.,在RtPME中,PE=cm.(12分),评析本题主要考查菱形和四边形的面积,是动态几何的典型题目,中考中常以压轴题目出现,也是几何背景下的函数应用题.,12.(2014浙江杭州,22,12分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=4.动点P在线段BD上从点B向点D运动,PFAB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1,未被盖住部分的面积为S2,BP=x.(1)用含x的代数式分别表示S1,S2;(2)若S1=S2,求x的值.,解析(1)在RtABO中,由tanABO=,得ABO=60,因为BP=x,所以BF=,FP=.菱形ABCD的面积等于ACBD=8.当0x2时,S1=,S2=8-.当2x4时,四边形PFBG的面积等于.又因为PO=x-2,MN=,所以PMN的面积等于,所以五边形BGNMF的面积等于-,所以S1=2=-+8,S2=.(2)当0x2时,由S1=S2,即=8-,解得x=2(舍去);当2b).下列结论:BCGDCE;BGDE;=;(a-b)2SEFO=b2SDGO.其中结论正确的个数是()A.4B.3C.2D.1,答案B延长BG交DE于P,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,BC=DC,CG=CE,BCG=DCE=90,BCGDCE;DCE=90,CDE+CED=90,BCGDCE,CDE=CBG,CBG+CED=90,BPE=90,BGDE;OGCE,DGODCE,=,;易知DGOEFO,SDGOSEFO=,(a-b)2SEFO=b2SDGO.4个结论中有3个是正确的,故选B.,4.(2016天津,17,3分)如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于.,答案,解析由题意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=AB,DG=GF=GA=AE=BE=AB.S正方形MNPQ=MN2=AB2,S正方形AEFG=AE2=AB2.=.,5.(2016重庆,18,4分)正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE平分ADO交AC于点E,把ADE沿AD翻折,得到ADE,点F是DE的中点,连接AF,BF,EF.若AE=,则四边形ABFE的面积是.,答案,解析如图,连接EB、EE,设EE交AD于点N.作EMAB于M,易知四边形AMEN为正方形.AE=,AM=EM=EN=AN=1,DE平分ADO,ENDA,EODB,EO=EN=1,AO=+1,AB=AO=2+,四边形ABCD是正方形,根据对称性及翻折的性质,得ADEADEABE,AE=AE,DAE=DAE=45,AEE为等腰直角三角形,AB=2+,EM=1,SAEB=ABEM=1+,SAED=SADE=SAEB=1+,SBDE=SADB-SAEB-SAED=(2+)2-2=1+,S四边形AEDE=2SAED=2+,SAEE=()2=1,SDEE=(2+)-1=1+,DF=EF,SEFE=SDEE=,DF=EF,SBDE=1+,SFEB=SBDE=,S四边形ABFE=SAEE+SEFE+SAEB+SEFB=1+1+=.,评析本题考查正方形的性质、翻折(轴对称)的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质等,解题的关键是转化思想的应用.,6.(2014江苏连云港,16,3分)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于点N,则tanANE=.,解析设正方形边长为2,DH=x,则DE=1,CH=2-x,EH=CH=2-x,在RtDEH中,(2-x)2=x2+1,解得x=,所以tanHED=,因为HEN=90,所以AEN+DEH=90,又因为AEN+ANE=90,所以ANE=DEH,所以tanANE=.,答案,评析本题主要考查翻折的性质以及勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形的综合运用,抓住变换中不变的量是解决本题的关键.,7.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的