八年级数学上册第一二章知识点整理

1 / 11 八年级数学上册第一二章知识点整理 八年级数学上册第一二章知识点整理 勾股定理 一、思维导图 二、易错题 1、满足 a²+b²=c²的三个正整数，称为，比如： 5,12,。 解：勾股数； 5²+12²=13 2、在 ABc 中， AB=15， Ac=13，高 AD=12，则 ABc 的周长是。 解：应分两种情况说明： （ 1）当 ABc 为锐角三角形时，在 RtABD 中， BD=（ AB²-AD²） = （ 15²-12²） =9， 在 RtAcD 中， cD= （ Ac²-AD² ） =（ 13²-12²） =5， Bc=5+9=14 ABc 的周长为： 15+13+14=42； （ 2）当 ABc 为钝角三角形时，高 AD交 Bc延长线于 D 在 RtABD 中， BD= （ AB²-AD² ） =（ 15²-12²） =9 在 RtAcD 中， cD= （ Ac²-AD² ） =（ 13²-12²） =5 B c=9-5=4ABc 的周长为： 15+13+4=32 2 / 11 综上，当 ABc 为锐角三角形时， ABc 的周长为 42； 当 ABc 为钝角三角形时， ABc 的周长为 32 3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图），已知灯罩高 108cm，底面周长为 36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带 4 圈，最少需要彩纸多长？那么绕 n 圈呢？ 解：（ 1） 缠绕灯罩 4 圈，且高 108cm 一圈高： 1084=27cm 一圈彩带长： 27²+36²=45cm 四圈彩带总长： 454=180cm （ 2） 绕 n 圈，且高 108cm 一圈高： 108n （ cm） 一圈彩带长： （ 108n ） ²+36² 彩带总长：n （ 108n ） ²+36²=36n²+9 4、在正方形 ABcD中， E是 Bc中点， F为 cD上一点，且 DF=3cF，判断 AE和 EF的位置关系。 证：连 AF。设 DF=3x， cF=x AD=AB=Dc=Bc=x+3x=4xBE=Ec=2xB=c=D=90 AE²= （ 2x） 2+（ 4x） 2=20x²EF²=x²+（ 2x） ²=5x² AF²= （ 3x ） ²+ （ 4x ）²=25²AE²+EF²=AF²AEEF 5、如图，在 ABc 中， B=90 ，两直角边 AB=7， Bc=24，在三角形内有一点 P，使 P 到各边距离相等。与 Ac， cB， AB的交点为 G， F， E。则这个距离为。 3 / 11 解： B=90 Ac=AB²+Bc²=7²+24²=25 连cP， PA， BP，设 GA=x，则 EA=x BE=7-x=EB， cF=cG=17+x17+x+x=25x=4 这个距离为 7-4=3 6、在 ABc 中， B= ， c=60 ， AB的垂直平分线交 Bc于 D， BD²=72， AEBc 于 E，求 Ec²。 解： AB 的中垂线为 FD B=BAD ， ADc=45 ， DE=EA BD²=AD²=72 ， AEDc ，AE²+DE²=72 AE²=DE²=36c=60 ， EAc=30 设 Ec²=x²，则 Ac²=(2Ec)²=4x² X²+36=4x²X²=12Ec²=12 7、正方形 ABcD 的边长为 8， m 在 AB 上， Bm=2，对角线 Ac上有一动点 P，求 Pm+PB的最小值。 解：连接 mD。做 m关于 Ac的对称点 E交 AD于 E。 mB=2ED=2 最 小 值 为 BE 。 A=90BE= （ 8-2 ）²+8²=10Pm+PB 最小值为 10 8、一个梯子 AB 长，顶端 A 靠在墙 Ac 上。这时梯子下端 B与墙角 c 距离为，梯子向右水平滑动停在 DE 位置上，求梯子顶端 A 向下滑动了多少米？ 解 c=90 ， 4 / 11 AB²=Ac²+Bc² ，DE²=Ec²+cD² ²=Ac²+² ， ²=Ec²+（ +） ²， Ac=2m ， Ec=， AE=Ac -Ec=（ m）， 9、将一根长 24cm 的筷子置于底面直径 5cm，高 12cm 的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外的长度为 h（ cm），则 h 的取值 范围是。 解：当筷子与杯底垂直时 h 最大， h 最大 =24-12=12cm 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小，此时，杯内筷子长 =5²+12²=13cm h=24 -13=11cm h 的取值范围是 11cmh12cm 10、一张矩形纸片 ABcD的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，折叠后，使得点 D 与点 B 重合， c 与 G 重合，求折叠后 BE的长和折痕EF的长。 解： 折叠后 D 与 B 重合 ED=BE cF=cG， AB=Dc=3cm 设 Fc=x（ cm），则 BF=9-xcm， GF=x（ cm） A=B=c=D=G=90 BF²=BG²+GF²(9 -x)²=3²+x²x=4BF=9 -4=5cm 又 BEF=DEF=EFBBE=BF=5cm 5 / 11 作 FHAD 交 AD于 H， Fc=HD=3， EH=9-3-5=1cmFHE=90 EF=1²+3²=10 （ cm） 三、思考题 1、如图， ABc 为等腰三角形， c 为直角顶点， D1， D2，D3.Dn-1 是 cB 边上的 n 等分点，从 c 作 AD1 的垂线，分别交 AD1， AD2， AD3.ADn-1AB 于 P1， P2，P3 ， .Pn-1,Pn 点，连接 PnDn-1 ，求证 :AD1c=BDn -1Pn。 2、如图 ,等边三角形 ABc的边长 a=25+12 根号 3,P 是三角形ABc内的一点 ,若 PA2+PB2=Pc2。若 Pc=5，求 PA、 PB的长。 3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦 AB与小半圆相切且与直径平行弦 AB长 12厘米图中阴影部分面积是多少？ 4、已知 P,Q 均为质数，切 满足 5P2+3Q=59.则以 P+3，1-P+Q， 2P+Q-4为边长的三角形是什么三角形？ 5、如图， ABc 中三条角平分线交于点 o，已知 AB BccA，求证： oc oA oB。 6、将长为 2n（ n 为自然数且 n4 ）的一根铅丝折成各边的6 / 11 长均为整数的三角形，记（ a， b， c）为三边长分别是 a， b，c 且满足 a b c 的一个三角形，就 n=6 的情况，分别写出所有满足题意的（ a， b， c）所构成的三角形是什么三角形？ 7、如图， RTABc 中， D 是 Ac 中点， DEAB 与 E，求证：BE2-AE2=Bc2 实 数 一、思维导图 1.无理数定义：无限不循环小数 2.实数的分类：分为有理数和无理数。有理数分为：正有理数、负有理数、零 3.算术平方根：若一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，则这个正数 x 为 a 的算术平方根。 a 的算术平方根记作，读作 “ 根号 a” ， a 叫做被开方数。规定： 0 的算术平方根为 0。 4.平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。 5.二次根式的定义：一般形如（ a0 ）的代数式叫做二次根式，其中， a 叫做被开方数，被开方数必须大于或等于 0。 6.最简二次根式满足： . 分母中不含根号 =根号下没有分母=根号下没有分数 根号下不含可以开得尽方的数 7 / 11 7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 8.()2=a(a0) =a(a0) 二次根式的乘法法则： (a0 ， b0) 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 积的算术平方根的性质： (a0 ， b0) 两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积 二次根式的除法法则： =(a0 ， b 0) 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 商的算术平方根的性质： =(a0 ， b 0) 二、易错题 1.已知： y=x +2，求 . 解： x 20,2 x0 x=2,y=2 0+0=1 将 x=2， y=1代入所求式，得 原式 =3-3=0 2、下列说法： 只有正数才有平方根； 2 是 4 的平方根； 5 的平方根是； 都是 3 的平方根； 的平方根是 2，其中正确的是（） A.B.c.D. 8 / 11 解：错误原因 ： 0 的平方根为 0 ： 5 的平方根为 ：的平方根 是 2（任何非负数的平方根为非负数） 故选 D 3、若与互为相反数，求的值 . 解： 0 ， 0. 又 、互为相反数 =0 即 a-b+2=0b= a+b-1=0解得 a=- 代入原式，得 原式 =-2 答：所求式的值为 -2 4、已知 0 解：原式可化为 01 x -0 且 x2 解：使有意义的 x 的取值范围是 x0 ， 使有意义的 x 的取值范围是 x-20 ， x-20. 综上，使有意义的 x 的取值范围是 x2. 8、已知，且，求 x+y的值 . 解： 0 ， 0 又 =2 ， =1 又 ，即 x-y0 或 . x+y= 1 或 2 9、下列各式计算正确的是（） 10 / 11 A、 B、 c、 D、（ x0， y0 ） 解：错因： A.应为 B.应为 c.应为故选 D 10、是否存在正整数 a、 b（ a 解：存在 . ，因为只有同类二次根式才能合并，所以是同类二次根式 . 设 所以 m+n=6，又 a， b， a 解得 = 即 = 可得 . 三、思考题 1.设 x、 y 为正有理数，为无理数，求证： +为无理数。 2.设 x， y 及 +为整数，证明：，为整数。 3.若实数 x， y 满足 3+5 y =7，求 S=2-3 y的取值范围。 4.有下列三个命题： 1