高等数学第二章导数与微分

第二章 导数与微分2.1导数的求法一 基本概念 定义1 导数（可导）设在点的邻域有定义，若极限 存在，则称在点处可导，极限值为在点的导数：记作或导数的几何意义：是曲线上的点的切线的斜率，即，是切线与轴正向所成的夹角注1 表示导数的极限有三种形式，每种形式都需要我们熟记，因为在求一点导数时，不同的极限形式有不同的效果注2导数就是函数在该点的变化率，导数的绝对值越大，函数值变化的越快，导数的绝对值越小，变化越慢，当导数为零时，曲线在该点的切线平行于轴定义2 单侧导数 左导数和右导数统称为单侧导数。分别记为：，。 左导数： ；右导数： 。定义3 微分（可微）设在的邻域有定义，若，其中是不依赖于的常数，则称在点可微，并称是在点的微分，记作 若在点可微，则，从而有微分的几何意义：微分是曲线上的点的切线的纵坐标相应自变量改变量的增量注3 导数和微分的区别：一点的导数是一个常量，而一点的微分是一个变量，是一个无穷小量二 基本结论 定理 1（可导、可微和连续的三者关系）（1）可导和可微是等价的，即可导则可微，反之亦然；（2）可导（可微）一定连续，但反之不然定理2 （可导的充要条件）设在处可导左右导数都存在且相等，即存在定理3 （求导法则） 若函数和可导，则（1）；（2）；（3）（）（4）定理4 （求导公式）（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）.三 基本方法1. 一点导数的求法（1）公式法：用求导公式求出导函数，再求导函数在该点的函数值；（2）定义法：用导数定义求一点的导数公式法适合于求初等函数，具体函数的导数；定义法适合于求分段函数的分段点的导数，抽象函数的导数。例1 用定义法求下列一点的导数：（1）设，求；（2）设，在连续且，求解（1）（2）由于在连续，且，则有注4 诚然，（1）题可以用公式法求出导函数，然后求导函数在的函数值，只是函数的表示很麻烦（2）题绝对不能用公式求导，这是因为根本不知道是否可导。也就是说，下面解法，是错误的，尽管结果没问题。例 2 设，求解 由于是函数的分段点，所以只能用定义求出该点的左右导数，从而确定这点的导数；于是，所以2. 各类函数的导函数的求法：（1）初等函数的导数对初等函数的每一次求导，都需要确定函数是四则运算还是复合运算若四则运算，应用四则运算求导法则；若复合运算，需要确定复合函数的外函数和内函数复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数例3 （1）； （2）解 （1）函数表示为两个函数的和，根据导数运算性质，有 （第一个函数是两个函数的积，第二个复合函数）（两部分函数都是复合函数）（2）函数是复合函数，外函数是，内函数是，根据复合函数的导数运算性质有 （2）由参数方程确定函数的导数参数方程确定的函数的导数：一阶导数：； 二阶导数： 注5 求，由于函数是关于变量的函数，不含变量，没有办法对直接求导，所以只能对变量求导，即中间变量求导，再乘以中间变量对自变量的导数，表示为：二阶导数也是利用这个原理例5 已知，求；解 由于，于是， 例6 已知，求；解 由于，于是对再次求导，得到 （3）隐函数的导数 由方程所确定的隐函数的导数的求法： 1. 方程两边求导：将方程两边对变量求导，把看作的函数，最后从方程中解出； 2. 公式法：把方程转化为形式，即方程一端是零，另一端就是，于是有 ；例7 已知，求解（方法1）将方程两边对变量求导，是的函数，则有，解得 （方法2）令，则，所以 注6 求隐函数的二阶导数，只需在一阶导函数的基础上，再对自变量求导，把看作的函数，最后用已知的代替，从而求得（4）幂指函数的导数对幂指函数作恒等变换有，于是例8 设，求解 当然也可以对函数两边取对数，再求导，从而得到，这两种方法的原理是相同的。（5）多因子相乘除的导数： 例9 设，求解 取对数 ，两边求导，所以（6）变限积分函数的导数定理 若连续，和可导，则变限积分函数可导，且注7 在求导时，变限积分函数的被积函数不能含有变量，如果含有变量，可以通过下面三种变换，使被积函数中不再含有，然后应用变限积分函数的求导公式：1. 提取：2. 拆分：；3. 换元：令，有例10 设为连续函数，求下列变限积分函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）； （2）将提取到积分号前面，看作两个函数的积，从而有； （3）被积函数中含有，所以不能直接求导，利用拆分方法；（4）令，于是有（7）分段函数的导数 基本方法：在开区间上用求导公式求导，在分段点上用导数定义求导例11 设，讨论函数的连续性，并求其导函数解 当时，初等函数，有定义，连续当时，初等函数，有定义，连续当时，所以函数在点连续综上所述，函数在上连续当时， ；当时，初等函数，有定义，连续而且；，所以注8在例7中，函数在点的右导数，实质就是的导数在的函数值，也就是说不必用定义求，只需将代入，（）；就得到而函数在点的左导数就不能直接代入，这是由于右侧导函数，（），在点没有定义，所以只能用定义例12 ，求解 当时，；当时， ，所以 练习 2-11. 求下列初等函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4） 2. 求下列由方程确定函数的导数：（1）； （2）； （3）； （4）3. 求下列由参数方程确定函数的一阶、二阶导数：（1）； （2） 4. 求下列幂指函数的导数：（1）； （2）5. 用取对数法求下列函数的导数：（1）； （2）； 6. 求下列分段函数的导数：（1）； （2）； 7. 设，求，并讨论的连续性；8. 若，且存在，求 9. 设，在连续，若在可导，求10. 设，求11. 设在上可导，求的值。12. 已知，其中有二阶导数，且，（1）确定，使在连续；（2）求13. 设连续，且,，求，并讨论的连续性2.2 高阶导数的求法一 基本概念 定义1 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数定义2 阶导数：；注1高阶导数是在前一阶导函数基础上定义的，即对前阶导函数再一次对自变量求导，即二 基本结论定理1 （莱布尼兹公式） 定理2 （常见的阶导数公式）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）定理3 （和与差的阶导数） 和与差的高阶导数就等于高阶导数的和与差，即 注2上述公式是没有必要死记硬背的我们只需知道：指数函数、三角函数（正弦和余弦）、幂函数、简单一次分式、简单对数函数有阶导数公式，在具体解题时，可以推导、归纳，得到阶导数公式三 基本方法 1.逐次求导：低阶导数可以采用逐次求导方法如求等2.用基本公式求导：把函数变形，表示为简单一次分式、简单指数函数、简单对数函数和正弦函数、余弦函数的和或差的形式，再用求导公式3 用莱布尼兹公式求导：函数表示为两个函数的积，而每个函数都可以求出阶导数，此种情况可以利用莱布尼兹公式特别是形如，函数的高阶导数，一般都应用莱布尼兹公式4 利用泰勒级数和麦克劳林级数求一点的导数：（数三不要求）将函数展成泰勒级数或麦可劳林级数，根据麦可劳林级数或泰勒级数的展开公式，即麦克劳林级数：；泰勒级数：，它们（两个级数）的对应项系数相等，从而得到或例1 用高阶导数公式求下列函数的阶导数： （1）； （2）；（3）； （4）解 （1）将函数变形，有，于是，（2）将函数变形，有于是（3）将函数变形，有于是（4）利用公式，有例2 用莱布尼兹公式求下列函数的阶导数：（1）； （2）。解（1）利用莱布尼兹公式。（2）利用莱布尼兹公式 例3 设，计算（对数学三的考生不作要求） 解 由于是求点的高阶导数，所以将函数展出麦克劳林级数因为，于是逐项积分，有，所以 ， （1）下面求由于函数展成的麦克劳林级数为， （2）因为级数(1)和(2)是同一个级数，于是两个级数对应项的系数相等在级数(2)中，的系数是，在级数(1)中，的系数是，从而有于是有练习 2-21. 用高阶求导公式求下列函数的阶导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；2. 用莱布尼兹公式求下列函数的20阶导数：（1）； （2）； （3）； （4）（5）； （6）3. 用泰勒公式求函数在一点的高阶导数：（对数三的考生不作要求）（1）设函数，求和；（2）已知，求第二章答案与提示练习2-1答案与提示：1.（1）； （2）； （3）； （4）2.（1）； （2）；（3）（提示：取对数，利用隐函数求导法）； （4）3.（1），；（2）， 4. （1）； （2）5.（1）； （2）；6.（1），函数在的导数不存在； （2）；，函数在的导数不存在 7. ， 在连续；在是间断点，是第二类间断点8. 提示：从可以推导出，于是9. 提示：，根据可导，则有10. 提示：可用公式，也可以用定义11. 由连