2019年高等数学A-2考试题.doc

高等数学A-2 （08级）一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)（）1、设=（ ） 2、设区域则积分在极坐标下的累次积分为（） 3、设为球面,则对面积的曲面积分 =（） 2 3 44、设级数收敛，则下列级数必收敛的为（ ） 5、设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数, 则该非齐次线性方程的通解是（ ） 二、填空题 (本大题共5小题, 每小题3分，总计15分)1、曲面在点处的切平面方程为_。2、设，由二重积分的几何意义知=_。3、设椭圆的周长为，则曲线积分=_。4、当_时，级数条件收敛。5、若某三阶常系数线性齐次微分方程有解为， ；则该三阶常系数线性齐次微分方程为_。三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设数量场求：(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。2、计算二次积分。3、求微分方程的通解。4、计算积分，其中L是从点沿曲线到点的弧段。四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，。 2、计算曲面积分，其中为曲面 ，取下侧。3、求幂级数的收敛域及和函数，并求数项级数的和。4、设是周期为的周期函数，且 ()，试将展开成傅立叶级数。五、解答题(本题8分)已知曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，以为直径所作的圆均过点，求此曲线的方程。六、证明题(本题6分)已知正项级数收敛，证明数列收敛。08级解答一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)1、 2 、 3、 4、 5、二、填空题 (本大题共5小题, 每小题3分，总计15分)1 、 2、 3、 4、 5、三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设数量场求：(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。解：(1)； 4分(2)，故在点处方向导数的最大值为。 7分2、计算二次积分。解：= 4分 = 7分3、求微分方程的通解。特征方程,对应齐次方程的通解为 （其中为任意常数） 4分因是特征根，设特解为，其中A为待定常数，代入原方程， 得 6分从而得通解 7分4、计算积分，其中L是从点沿曲线到点的弧段。解：这里，。由于，可见不成立。 2分记，则。则曲线积分满足与路径无关的条件，选择与L起终点相同的直线段，有，而 6分故所求积分。 7分四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，。 解： 3分 7分2、计算曲面积分其中为曲面 ，取下侧。 解：取平面，取上侧则与构成封闭曲面，取外侧令与所围空间区域为，由Gauss公式，得 2分 7分3、求幂级数的收敛域及和函数，并数项级数的和。解：,时原级数为收敛，故此幂级数的收敛域为。 2分设，,则 5分故 7分4、设是周期为的周期函数，且 ()，试将展开成傅立叶级数。解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点处不连续，因此，的傅立叶级数收敛于，在连续点收敛于。 2分若不计，则是周期为的奇函数。 3分 5分故 7分五、解答题(本题8分)已知曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，以为直径所作的圆均过点，求此曲线的方程。解：过点的切线方程，令，即 2分由题意，得，化简，即 （Bernoulli方程） 4分令，得，其通解为故原方程通解为，又，得。所以该曲线的方程为。 8分六、证明题(本题6分)已知正项级数收敛，证明数列收敛。证明：记因正项级数收敛，故，又，由正项级数比较审敛法的极限形式知级数也收敛并记其和为 4分即，于是，故数列收敛。 6分高等数学A-2（09级）一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题3分, 总计12分)1、函数在点处的偏导数均存在是函数在点 存在全微分的（ ） 必要而非充分条件 充分而非必要条件充分必要条件 既非充分又非必要条件2、设为曲面上的部分，则曲面积分（ ）0 3、若区域为，则二重积分化成累次积分为 ( )其中。4、设为常数，则级数 （ ）条件收敛 绝对收敛 收敛性与有关 发散二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共4小题, 每小题3分，总计12分)1、函数在点处取得极值，则常数_。2、将交换积分次序得 _。 3、是以2为周期的函数，且在（上有表达式，是的傅立叶级数的和函数，则=_。4、已知某二阶常系数线性齐次微分方程的一个特解为 ；则该二阶常系数线性齐次微分方程为_。 三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设，求。2、求曲面在点处的切平面和法线方程 。3、计算二重积分其中。4、计算，其中是沿曲线从点A到B的圆弧。四、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设具有连续的二阶偏导数，求。2、设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，且。3、计算其中是曲面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。 4、设是周期为的周期函数，且 ()，试将展开成傅立叶级数。五、解答下列各题(本大题共2小题，每题7分，总计14分,每题要有必要的解题步骤)1、求幂级数的收敛域及和函数，并计算极限 。2、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。六、证明题(本题6分)设正项数列 单调减少，且发散，证明级数收敛。09级解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题3分, 总计12分)1、 2、 3、 4、 二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共4小题, 每小题3分，总计12分)1、_-5_ 2、 3、 4、三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设，求。 6分故 7分2、求曲面在点处的切平面和法线方程 。对应的切平面法向量 3分切平面方程，或 5分法线方程 7分3、计算二重积分其中。 3分 7分4、计算，其中是沿曲线从点A到B的圆弧。， 2分为了利用格林公式，补加，使成为闭曲线，且为所围区域的边界曲线的正向。 5分 7分四、解答下列各题(本大题共4小题，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设具有连续的二阶偏导数，求。 3分 7分2、设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，且。由题意， 化简得 3分令，即 ， 6分又因为 7分3、计算其中是曲面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。 .且 利用高斯公式，得 4分 7分4、设是周期为的周期函数，且 ()，试将展开成傅立叶级数。首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点处不连续，因此，的傅立叶级数收敛于，在连续点收敛于。 2分若不计，则是周期为的奇函数。 3分 5分故的傅立叶级数展开式为 7分五、解答下列各题(本大题共2小题，每题7分，总计14分,每题要有必要的解题步骤)1、求幂级数的收敛域及和函数，并计算极限 。,易知处原级数发散，故此幂级数的收敛域为。 2分设，,则5分因，故级数收敛，且。 7分2、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。特征方