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文档简介

二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x的一次多项式,1.求n次近似多项式,要求:,故,令,则,2.余项估计,令,(称为余项),则有,公式称为的n+1阶泰勒公式.,公式称为n+1阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒(Taylor)中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,泰勒,公式称为n+1阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,特例:,(1)当n=0时,泰勒公式变为,(2)当n=1时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林(Maclaurin)公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应用,误差,M为,在包含0,x的某区间上的上界.,例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过,解:已知,令x=1,得,由于,欲使,由计算可知当n=9时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,2.利用泰勒公式求极限,例2.求,解:,由于,用洛必达法则不方便!,3.利用泰勒公式证明不等式,例3.证明,证:,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2.常用函数的麦克劳林公式,3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式等.,(2)利用多项式逼近函数,例如,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,思考与练习,计算,解:,原式,第四节,泰勒(16851731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,麦克劳林(16981746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机
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