复变函数的学习要点

第一章 复数与复变函数的学习要点复变函数论是分析学的一个分支，称为复分析复变函数论中所涉及的函数是自变量与因变量均取复数的函数，称为复变函数复变函数论主要研究的对象，是在某种意义下可导（或可微）的复变函数，这种函数通常称为解析函数为了建立研究解析函数的理论基础，我们首先要对复数域和复变函数有一个清晰的认识本章主要介绍复数的基本概念、复数的基本运算（即四则运算，乘方与开方运算，共轭运算）、复数的三角表示与指数表示（统称极坐标表示）、平面拓扑（即平面点集）的一般概念及其复数表示、复变函数的极限与连续另外，为了研究的需要，在本章我们还将引入复球面与无穷远点 学习要点及基本要求1熟悉复数的三种常用的表示（代数、几何和极坐标表示），理解复数的模和幅角的含义，并知道复数0为什么不定义幅角2熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘方和开方、复数的共扼），并理解它们的几何意义掌握复数相等的两种规定：设，则且；且（或且）3掌握并理解有关复数的如下等式和不等式，并能利用它们解决一些简单的几何问题（例如表示向量到向量的夹角等），；，；，（其中）；，（其中）4掌握直线和圆周方程的如下几种常用的复数表示：直线的几种复数表示：（1）一般形式： ，其中是不为零的复常数，（2）过两点的直线：（复数方程）；，（复参数方程）若限制，则上面的参数方程为连接两点的直线段的参数方程（3）两点的连线段的垂直平分线：或圆周的几种复数表示：（1）一般形式：，其中是复常数，（2）不共线三点所确定的圆周：（3）以为心，为半径的圆周： （复数方程）， ，或（复参数方程）（4）以两点为对称点的圆周：，5理解复数在球面上的几何表示（即单位球面上的球极投影），非正常复数的几何表示（即单位球面上的北极点），复平面和扩充复平面的几何表示（即分别为复球面去掉北极点和复球面），并掌握复数与其球极投影点的坐标之间的如下关系：设，为在复球面上的球极投影，则（已知，可求），（已知，可求）6会用复数来表示一些平面点集，并会判断一个平面点集是否区域、单连通区域和多连通区域7理解简单（闭）曲线、光滑曲线和分段光滑曲线的含义8掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如，极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性9正确理解并熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数在点集上一致连续对任意两个点列，只要，总有复变函数在点集上不一致连续存在两个点列，虽然，但 10掌握讨论不存在的如下有效方法：设是点集中过的一条曲线（是的聚点），和是点集中过的两条不同曲线，若不存在或，都存在但极限值不相等，则一定不存在第二章 解析函数的学习要点解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用本章，首先，从复变函数的导数或可微的概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件柯西黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质及函数值的算法尤其是多值函数的分支函数的函数值的算法（即已知初值求终值的计算公式提供的算法）学习要点及基本要求1能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系： 在一点连续，可微与解析的关系（可微连续；解析可微）； 可微与解析两个概念之间的联系和差异； 可微和解析与复变函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别（进而体会实部、虚部两个二元实函数所满足的柯西黎曼条件的作用）2熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则）3能熟练运用实部、虚部两个二元实函数所满足的条件来讨论具体函数的可微性和解析性；能熟练地运用复变函数导数和解析的运算法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况及讨论方法希望大家要熟习： ；都在上处处连续但处处不可微，从而它们都在上处处不解析 ；在都在上处处连续但仅在原点可微，从而它们都在上处处不解析；在都在上处处连续但仅在一点可微，从而它们都在上处处不解析 （常函数）；多项式函数；指数函数；正弦和余弦函数和；双曲正弦和余弦函数和都在上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在上解析的函数） 有理函数；正切、余切、正割和余割函数（即、和）都在其自然定义域内解析4熟练掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式：函数在点可微，则理解柯西黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性5归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并达到下面的目的： 通过体验这些等价条件的证明进一步体会柯西黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用 通过这些等价条件，利用逆向思维的思想（反证法），简洁的判断某些函数的不解析性，例如，等都在复平面上不解析；一般地，若在区域内解析，且不恒为常数，则，等都在内不解析6熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质7通过幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数学习，达到下面的目的：（1）初步了解和体会研究初等多值函数的基本思想（即将其分支函数单值化）；初步掌握将初等多值函数单值化的基本方法（即寻找支点产生多值的客观原因，再取连接支点的适当支割线消除多值实现原因的方法）；（2）了解支点的特点（即动点单独围绕支点变化时，函数值会发生变化）这是判断支点的依据，了解支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化）这是作支割线的依据，并理解它们在将多值函数单值化中的作用；（3）知道多值解析函数的含义（即在单值化区域内，每个分支函数都是单值解析函数），据此说明为什么教材中涉及的具体多值函数除幅角函数外，其他的都是多值解析函数8熟练掌握将幅角函数，对数函数，一般幂函数（包括根式函数）以及稍复杂一点的两类常用根式类函数和单值化的方法；会根据具体问题的要求分出它们的单值分支函数，并会利用下面列举的已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，快速地求出满足初值条件要求的单分支函数在另一指定点处的函数值五类已知初值在连续变化意义下求终值的公式（注意：这些公式也是判断支点的手段；这些公式中后面的四类在今后的函数值的计算中经常用）：（1）一般公式（2个）： 设是某多值函数在区域内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定，比如是单值化区域，就是单值的，否则就是多值的），是内从到的任一条有向简单曲线，若已知在点的值为（称为初值），则此分支函数在另一点处的值（称为终值）要按下面的公式计算：其中表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 在上述公式中，若进一步还有（），则借助复数的极坐标表示以及下面的幅角类函数的已知初值求终值的公式，还可得下面的一般公式：设是某多值函数在区域内的分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），且（），是内从到的任一条有向简单曲线，若已知在点的值为（称为初值），则此分支函数在另一点处的值（称为终值）还可按下面的公式计算：，其中是初值中的因子，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量（2）幅角类函数的公式（2个）： 设是幅角函数在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 设在区域内连续，且，是在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量（3）对数类函数的公式（2个）： 设（称为确定分支的结构表示）是对数函数在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中，是内从到的任一条有向简单曲线， 表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 设在区域内连续，且，是在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中，是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量（4）根式类函数的公式（2个）： 设（称为确定分支的结构表示）是根式函数在区域内的一个分支函数，已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是初值中的因子，是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量 设在区域内连续，且，是根式类函数在区域内的一个分支函数，已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是初值中的因子，是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量特别，取（多项式函数）或（有理函数）时，上述公式就是两类常用根式类函数分值函数已知初值求终值的公式（5）一般幂函数的公式： 设（称为确定分支的结构表示）是一般幂函数在区域内的一个分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定），若已知在某一点的值为，则此分支函数在另一点的值要按下面的公式计算：其中是初值中的因子（具体可用计算），是内从到的任一条有向简单曲线，表示当动点沿从连续变到时，的连续改变量9在8涉及的计算中，幅角的连续改变量的计算是关键，下面列举的幅角连续改变量的计算公式是具体计算中常用的（希望熟练掌握）：设是一条有向简单曲线，和在上连续，且，则；特别，取，则注意到，有取，则注意到，有第三章 复积分的学习要点 复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，这些表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入学习要点及基本要求1能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而真正理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与二元实函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点复积分与实积分的具体关系如下：函数定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线上，则沿可积或存在和都存在此时还有2熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）3熟练掌握复积分计算的两种基本方法参数方程法和牛顿莱布尼兹公式法，并能用这两种方法熟练计算复积分 熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径（为光滑曲线）的参数方程为：，其中，在积分路径上连续，则，其中右边定积分上、下限要根据曲线的方向确定另外为了能用上述公式顺利地进行计算，还要能正确写出一些常见曲线的参数方程，例如：（1）连接两点和的直线段的参数方程：，（2）圆周的参数方程，或 熟记复积分的牛顿莱布尼兹公式：设函数在区域内连续，是区域内从到的任意积分路径（要求是光滑或逐段光滑的曲线），若在区域内存在原函数（即，），则这里值得注意的是：10 用牛顿莱布尼兹公式计算积分的关键是：找到被积函数在包含积分路径的某区域内的原函数 20 当为某多值函数在包含积分路径的某单值化区域内的单值解析分支函数时，的值一般不能随便取，要根据的值（常常作为初值）以及沿从连续变到来确定（即分支函数的已知初值求终值的公式来确定）4熟悉并掌握几个常用典型的积分： 若是平面上的一条围线，记表示的内部，表示的外部，则 若是平面上以为心，为半径的一段圆弧，其参数方程为：，（），方向是从到（即增加的方向或逆时针方向），则 特别，当为整个圆周时，此时， ，其中为从到的任意光滑或逐段光滑曲线特别当与重合（），即为简单闭曲线时，要学会善于利用积分曲线的方程，对被积函数进行简化，例如当积分曲线为圆周时，可利用对被积函数进行简化等5了解并熟悉柯西（积分）定理的各种形式，理解各种形式的条件和结论的含义，理解为什么积分与路径无关能成为单连通区域内解析函数的积分特征；熟练掌握运用各种形式的柯西（积分）定理计算复积分的方法（理解各种形式的柯西定理在计算积分中所起的作用）；初步掌握利用复积分来解决某些定积分问题的方法，体会这种方法的基本思路：即先选择适当的复积分，通过复积分的方法计算出积分的值，然后再利用参数方程法将复积分转化为实积分，通过比较实部和虚部，达到解决实积分的目的）初步掌握利用柯西定理来解决解析函数的原函数的存在性问题，关注以下三个要点：由牛顿莱布尼茨公式得，函数在区域内有原函数，则原函数必为此函数在区域内产生的变上限函数在单连通区域内，解析函数一定存在原函数；解析函数在此区域内所产生的变上限函数必为单值函数且是该解析函数在单连通区域内的一个原函数在多连通区域内，解析函数不一定有原函数；解析函数在此区域内所产生的变上限函数不一定为单值函数；当解析函数在此区域内的积分与路径无关时，它一定有原函数，且变上限函数就是它的一个原函数；当解析函数在此区域内的积分与路径有关时，它一定没有原函数，此时变上限函数是多值函数附：定理3.3若函数在单连通区域内解析，为取定的一点，则区域定义的变上限函数在解析，且为在内的原函数，即，定理3.4若函数在单连通区域内连续，且积分与路径无关，为取定的一点，则区域定义的变上限函数在解析，且为在内的原函数，即，问题思考：若解析函数在某多连通区域内的变上限函数是多值函数（即在内的积分与路径有关），试用考虑如何将在内单值化？并由此再体会第二章中，为什么将多值函数单值化时，要用割线将定义域割开，其道理是什么？6能正确地理解柯西（积分）公式的含义，掌握其证明的方法及其如下统一形式：设为有界区域，为其边界，若在解析，在闭区域上连续（即可以连续到上），则其中也称为柯西型积分并能熟练地应用柯西（积分）公式或其统一形式来计算复积分或某些其它的值（如在某一点的导数值等）7熟练掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练地运用高阶导数公式来计算复积分或证明某些定积分问题（如：等）8掌握解析函数的无穷可微性、复积分的柯西不等式、关于整函数的刘维尔定理及其刘维尔定理的简单应用（如：证明某些整函数为常函数，证明代数学基本定理等）9掌握莫勒拉定理以及解析函数的积分定义法10归纳复积分的常用计算方法： 当是非封闭简单曲线时，主要有下面的方法： 利用的参数方程，将复积分化为关于参数的定积分； 补充适当积分路径与原积分路径合成封闭曲线，再用柯西定理或柯西公式以及参数方程法此时要求补充的积分路径尽可能简单，以便在补充的积分路径上的复积分计算起来比较容易； 利用复积分的牛顿莱布尼兹公式 当是简单闭曲线时，主要有下面的方法：利用的参数方程，将复积分化为关于参数的定积分； 利用柯西定理或柯西（积分）公式或高阶导数的积分公式利用教材第3章习题3的第11或12题11单连通区域内积分与路径无关的两种说法：设是单连通区域，函数定义在上，则下面的两种说法是等价的：对于内任意两点，以及内任意一条以为起点，为终点的简单曲线，总有的值只与和有关，而与内从到的简单曲线无关（即积分与路径无关）对于内任意的简单闭曲线，总有注意：这两种说法也适合于多连通区域的情形第四、五章复级数的学习要点复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等根据所研究解析函数所涉及的问题的需要，在这两章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数（也称泰勒级数Taylor series），通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数（Laurent series），通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数在这两章，我们主要介绍以下内容：首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论（注意：这些内容大部分与数学分析中的相关内容一致，因此，在学习时，应采用回顾、对照学习法，这样既能获取学习复变函数所需的级数知识，还能对数学分析的相关知识进行必要的复习和巩固，拓展知识的范围，丰富知识应用的手段和技巧）其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双边幂级数）的概念及其性质，并建立圆环形区域（，）（包括挖去奇点的去心邻域）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类学习要点及基本要求1能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛、条件收敛等概念掌握复级数收敛的必要条件（例如，通项的极限为零）和充要条件（例如，级数收敛的柯西收敛准则；复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系），特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（例如：利用复级数的和求实级数的和的问题等，如利用，其中，求实级数和，的和）2了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质，比如：收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；两指标级数二次求和的可交换性，即在，以及，都是同号级数或至少有一个绝对收敛的条件下，有，成立注意：上面所列的性质中，乘积性和二次求和的可交换性也是今后求有些复杂解析函数的幂级数展式或洛朗展式的完整形式时经常用的技巧，而这样的技巧往往是传统数学分析教材中忽略的3了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭（紧）一致收敛的含义；掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛；掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性下面关于复函数项级数在区域内（内闭）一致收敛的几个结论是数学分析中忽略或没有的： 在区域内内闭一致收敛对任意，存在的某邻域，使得在内一致收敛（称为内闭一致收敛的局部判别法）；注意：在数学分析中，我们也可建立类似的平行结论 设解析函数项级数在区域内收敛，则在区域内内闭一致收敛在区域内内闭一致收敛对任意整数，在区域内内闭一致收敛； 设为有界区域，每一项函数在内解析，在上连续，若在上一致收敛，则在上一致收敛，进而在内一致收敛注意：上面的两个结论是解析函数项级数特有的，对数学分析中的可微函数项级数，上面的两个结论一般不成立4熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法：记，是的不解析点中距最近的点，则幂级数的收敛半径有下面两个常用的计算公式：利用系数计算的公式：（常规公式，也称柯西阿达玛公式）利用和函数的计算公式：（技巧性公式，前提是要知道和函数）5熟练掌握同类幂级数的运算性质比如：设有两个同类幂级数，其收敛半径分别为，不妨设，则在它们收敛的公共圆域内加、减性：乘积性：注意：（1）在用乘积性时，级数不能缺项，若缺项需要将所缺项补齐后，再用乘积性（2）缺奇数项或偶数项幂级数的两种补项技巧： 对形如的级数可借用因子的取值特点进行补项得：；对形如的级数可借用因子的取值特点进行补项得： 对形如的级数可借用正弦值的取值特点进行补项得：；对形如的级数可借用正弦值的取值特点进行补项得：6熟练掌握幂级数和函数的如下性质：设的收敛半径，则在其收敛圆内逐项积分性：逐项微分性：收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，即，（逐项微分），（逐项积分）这三个幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛圆和收敛圆周注意：对收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，只要注意到下面的上极限等式立即可得 以上第5和6两个要点是求解析函数幂级数展式的间接法的基础之一7掌握泰勒定理的条件和结论，了解解析函数的（幂）级数定义法，从而理解为什么只有当函数在一点解析时，函数在这一点才能展开成幂级数熟练掌握如何将解析函数在指定的解析点展开成幂级数的方法（常用的有三种：直接法，间接法和利用解析函数的惟一性的方法）和技巧，并牢记如下几个主要初等解析函数的幂级数展开式（称为基本展式）：，；，其中表示对数函数的主值支，即满足的单值解析分支函数（其中支割线为：），其中表示的第个单值解析分支函数，其中为复常数，表示一般幂函数的主值支，即满足的单值解析分支函数（其中支割线为：）其中表示的第个单值解析分支函数特别，当时，；，注意： 在间接法中，除常规方法外，还应关注下面两种数学分析中忽略的方法： 对于两个基本展式中所涉及的函数的商的幂级数展式，可先分别求出和的展式，然后用代数中的辗转相除法； 对于两个基本展式中所涉及的函数复合而成的函数在处的幂级数展式，可先求出外函数展式，再求出的展式，最后用二次求和的可交换性得出结论，例如，当时， 当有些乘积函数可划归为适当简单函数的线性组合时，此时函数的幂级数展式可利用同类幂级数的线性运算更为简单地算出，例如，等8掌握解析函数零点以及零点阶数的定义，掌握解析函数零点阶数的判别方法（即解析函数以为阶零点存在的某邻域，使得在内，其中在内解析，且）并能合理利用零点阶数的定义或零点阶数的判别法确定解析函数零点的阶数能正确理解并掌握解析函数零点孤立性掌握解析函数的惟一性及其初步的应用（比如，利用惟一性证明三角恒等式，解析函数的幂级数展式，解析函数的最大模和最小模原理等），掌握解析函数的最大模和最小模原理的初步应用解析函数的最大模原理及其几个相关的结论：最大模原理：设函数在区域内解析，则在区域内取得最大值的充要条件是在区域内为常函数设为有界区域，为其边界，若在内解析，在闭区域上连续，则，即在上的最大值一定能在边界上取得最小模原理：设函数在区域内解析，且，则在区域内取得最小值的充要条件是在区域内为常函数设为有界区域，为其边界，若在内解析，在闭区域上连续，且，则，即在上的最小值一定能在边界上取得9了解形式幂级数（即洛朗级数或双边幂级数）的含义及其收敛的定义，并能解释其收敛范围为什么一般只能是圆环掌握洛朗级数在其收敛圆环内的性质（解析性，逐项积分和逐项微分性）掌握圆环形区域内解析函数的洛朗展开定理（即洛朗定理），并能熟练地将解析函数在指定的圆环内展开成洛朗级数注意： 求解析函数在指定圆环形区域内的洛朗展式的方法，基本上是沿用求幂级数展式的方法不过在运用基本展式时要注意，先根据所求展式的要求（一般由指定的圆环或去心邻域来确定），并兼顾所要用的基本展式成立的范围，把的适当幂作为一个整体，再用基本展式例如，将函数在内展成洛朗级数，此时，根据基本展式，成立的范围是，我们可以先将函数变形为，然后将作为一个整体，对在圆环内用基本展式得， 解析函数在使其解析的圆形区域内的幂级数展式，也就是它在此圆形区域内的洛朗展式，即洛朗展式是幂级数展式的推广，因此，当函数在一个圆形区域内解析时，要求函数在此圆形区域内的洛朗展式，只须求出此函数在该圆形区域内的幂级数展式即可 理解函数在圆环内能展开成洛朗级数的条件是什么（注意：条件是函数在圆环