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2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(216)一、填空题1.若，则的最大值为 。2.已知的周长为4，且。则的面积为 。3.已知函数。若，则实数的取值范围是 。4.设O为正三棱锥PABC底面的中心，各侧棱两两夹角为，PC与平面PAB所成角为.记点O到各面的距离为，过点O的动平面与PC交于点S，与PA、PB的延长线分别交于点Q、R。则 (结果用含的表达式表示)。5.设为平面上的两点，为点关于的对称点，为点关于的对称点，.若,则 。6.在数列中，若相邻两项为二次方程的两个根，则当时， 。7.一种单人纸牌游戏的规则如下：将七对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中取牌并放回，不过当取到成对的牌时，就将成对的牌放到一边，当游戏者每次总取三张牌（所剩的若不够三张牌就全部取完）时，若取到三张牌中两两互不成对，游戏就结束；否则，取牌继续进行，直到书包中没有纸牌为止，则书包空的概率为 。8.设椭圆的离心率，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直径）为两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任何一点，的平分线PM与长轴交于点。则的取值范围是 。二、解答题9.设实系数三次多项式有三个非零实根，证明：10.已知点满足且,过点的直线为（1）证明：对于任意的，点均在直一上；（2）求对所有，均有的最大实数的值。11.已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为的两条直线，与抛物线交于点A、B、C、D，M、N分别为线段AB、CD的中点。（1）当且时，求面积的最小值。（2）若，证明：直线MN过定点。1、 如图1，与交于A、B两点，且点O1在上，P为弧上一点，PC平分与交于点C，延长CP与交于点D，过D作的切线与直线AB交于点Q，CD与AB交于点E，证明：。二、求所有的正整数，使得为非负整数三、给定整数，设。证明：四、平面上有个点，任意三点不共线，任意两点之间连一条线段，并将每条线段染为红色与蓝色之一，称三边颜色相同的三角形为“同色三角形”.记同色三角形的个数为S。（
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