六年级奥数数论综合讲座

1 / 25 六年级奥数数论综合讲座 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 数论综合（一） 涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题 1如果把任意 n 个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么 n 是多少 ? 【分析与解】我们知道如果有 5 个连 续的自然数，因为其内必有 2 的倍数，也有 5 的倍数，则它们乘积的个位数字只能是 0。 所以 n 小于 5 :当 n 为 4 时，如果其内含有 5 的倍数 (个位数字为 o 或 5)，显然其内含有 2 的倍数，那么它们乘积的个位数字为 0； 如果不含有 5 的倍数，则这 4 个连续的个位数字只能是 1，2， 3， 4 或 6， 7， 8， 9；它们的积的个位数字都是 4； 所以，当 n 为 4 时，任意 4 个连续自然数相乘，其积的个位2 / 25 数字只有两科可能 ：当 n 为 3 时，有 123 的个位数字为 6， 234 的个位数字为 4， 345 的个位数字为 0， ，不满足 ：当 n 为 2 时，有 12 ， 23 ， 34 ， 45 的个位数字分别为 2， 6， 4， 0，显然不满足 至于 n 取 1 显然不满足了 所以满足条件的 n 是 4 2如果四个两位质数 a， b， c， d 两两不同，并且满足，等式 a+b=c+d那么， (1)a+b 的最小可能值是多少 ? (2)a+b 的最大可能值是多少 ? 【分析与解】两位的质数有 11， 13， 17， 19， 23， 29， 3l，37， 41， 43， 47， 53， 59， 6l， 67， 71， 73， 79， 83， 89， 97 可得出，最小为 11+19=13+17=30，最大为 97+71=89+79=168 所以满足条件的 a+b最小可能值为 30，最大可能值为 168 3如果某整数同时具备如下 3 条性质： 这个数与 1 的差是质数； 这个数除以 2 所得的商也是质数； 3 / 25 这个数除以 9 所得的余数是 5 那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数 【分析与解】条件 也就是这个数与 1 的差是 2 或奇数，这个数只能是 3 或者偶数，再根据条件 ，除以 9 余 5，在两位的偶数中只有 14， 32， 50， 68， 86这 5 个数满足条件 其中 86与 50不符合 ， 32与 68不符合 ，三个条件都符合的只有 14 所以两位幸运数只有 14 4在 555555的约数中，最大的三位数是多少 ? 【 分析与解】 555555=51111001 =357111337 显然其最大的三位数约数为 777 5从一张长 2002毫米，宽 847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米 ? 【分析与解】从长 2002 毫米、宽 847 毫米的长方形纸板上4 / 25 首先可剪下边长为 847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是 2002 除以 847 所得的商而余数恰好是 剩下的长方形的宽，于是有： 2002847=2308 ， 847308=2231 ，308231=177 23177=3 不难得知，最后剪去的正方形边长为 77毫米 6已知存在三个小于 20的自然数，它们的最大公约数是 1，且两两均不互质请写出所有可能的答案 【分析与解】设这三个数为 a、 b、 c，且 a b c，因为两两不互质，所以它们均是合数 小于 20的合数有 4， 6， 8， 9， 10， 12， 14， 15， 16， 18其中只含 1 种因数的合数不满足，所以只剩下 6， 10， 12， 14，15， 18 这 6 个数，但是 14=27 ，其中质因数 7 只有 14 含有，无法找到两个不与 14互质的数 所以只剩下 6， 10， 12， 15， 18这 5 个数存在可能的排列 所以，所有可能的答案为 (6， 10， 15)； (10， 12， 15)； (10，15， 18) 7把 26， 33， 34， 35， 63， 85， 91， 143 分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是 1那么最少要分成5 / 25 多少组 ? 【分析与解】 26=213 ， 33=311 ， 34=217 ， 35=57 ，63=7 ， 85=517 ， 91=713 ， 143=1113 由于质因数 13 出现在 26、 91、 143 三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下 3 组： 将 26、 33、 35 分为一组， 91、 34、 33 分为一组，而 143、63、 85分为一组 所以，至少要分成 3 组 8图 10-1 中两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48厘米，小圆直径 30 厘米两只甲虫同时从 A 出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远 ? 【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远如果沿小圆爬行的甲虫爬到 A 点，沿大圆 爬行的甲虫恰好爬到B 点，两甲虫的距离便最远 小圆周长为 30=307r ，大圆周长为 48，一半便是 24， 30与 24的最小公倍数时 120 12030=4 12024=5 所以小圆上甲虫爬了 4 圈时，大圆上甲虫爬了 5 个圆周长，即爬到了过 A 的直径另一点 B这时两只甲虫相距最远 6 / 25 9设 a 与 b 是两个不相等的非零自然数 (1)如果它们的最小公倍数是 72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值 ? (2)如果它们的最小公倍数是 60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值 ? 【分析 与解】 (1)a 与 b 的最小公倍数 72=22233 ，有 12个约数： 1， 2， 3， 4， 6， 8， 9， 12， 18， 24， 36， 72不妨设 a b :当 a=72时， b 可取小于 72的 11种约数， a+b72+1=73 ； :当 a=36 时， b 必须取 8 或 24， a+b 的值为 44 或 60，均不同第一种情况中的值； ：当 a=24时， b 必须取 9 或 18， a+b的值为 33或 42，均不同第一、二种情况中的值； 当 a=18时， b 必须取 8， a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值； ：当 a=12时， b 无解； :当 a=9时， b 必须取 8， a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值 总之， a+b可以有 ll+2+2+1+1=17 种不同的值 (2)60=2235 ，有 12个约数： 1， 2， 3， 4， 5， 6， 10，12， 15， 20， 30， 60 a、 b 为 60的约数，不妨设 a b 7 / 25 ：当 a=60时， b 可取 60外的任何一个数，即可取 11个值，于是 a b 可取 11种不同的值： 59， 58， 57， 56， 55， 54，50， 48， 45， 40， 30； 当 a=30时， b 可取 4， 12， 20，于是 a b 可取 26， 18，10； ：当 a=20 时， b 可取 3， 6， 12， 15，所以 a b 可取 17，14， 8， 5； 当 a=15时， b 可取 4， 12，所以 a b 可取 11， 3； :当 a=12时， b 可取 5， 10，所以 a b 可取 7， 2 总之， a b 可以有 11+3+4+2+2=22 种不同的值 10狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米 ? 【分析与解】由于 = ， = 所以狐狸跳 4 个米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳 2 个米的距离 时，将掉进陷阱 又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了 9 秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了 9 秒 . 距离为 9=( 米 ) 8 / 25 11.在小于 1000的自然数中，分别除以 18 及 33所得余数相同的数有多少个 ?(余数可以为 0) 【分析与解】我们知道 18， 33的最小公倍数为 18， 33=198，所以每 198个数一次 1 198之间只有 1， 2， 3， ， 17， 198(余 o)这 18个数除以 18 及 33 所得的余数相同，而 999198=59 ，所以共有 518+ 9=99个这样的数 12甲、乙、丙三数分别为 603， 939， 393某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的 2 倍求 A 等于多少 ? 【分析与解】由题意知 4 倍 393 除以 A 的余数，等于 2 倍939除以 A 的余数，等于甲 603除以 A 的余数 即 603A=ak ； (2939)A=bk ；(4393)A=ck 于是有 (1878 603)A=b a； (1878 1572)A=b c；(1572 603)A=c a 所以 A为 1275， 306， 969的约数， (1275， 306， 969)=173=51 于是， A 可能是 51， 17(不可能是 3，因为不满足余数是另9 / 25 一余数的 4 倍 ) 当 A 为 51时，有 60351=1142 ； 93951=1821 ；39351=736 不满足； 当 A 为 17 时，有 60317=358 ； 93917=554 ；39317=232 ；满足 所以，除数 4 为 17 13证明：形如 11， 111， 1111， 11111， 的数中没有完全平方数 【分析与解】我们知道奇数 的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以 4 余 1，偶数的完全平方数能被 4 整除 现在这些数都是奇数，它们除以 4 的余数都是 3，所以不可能为完全平方数 评注：设奇数为 2n+1，则它的平方为 +4n+1，显然除以 4 余1 14有 8 个盒子，各盒内分别装有奶糖 9， 17， 24， 28， 30，31， 33， 44块甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁 3 人所取走已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的 2 倍问：甲取走的一盒中有多少块奶糖 ? 10 / 25 【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七 盒中，糖的块数是丁所取糖块数的 5 倍 八盒糖总块数为 9+17+24+28+30+31+33+44=216 从 216减去 5 的倍数，所得差的个位数字只能是 1 或 6 观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是 6 的，只有一个个位数字是 1 的数 31 因此甲取走的一盒中有 3l块奶糖 15在一根长木棍上，有三种刻度线第一种刻度线将木棍分成 10等份；第二种将木棍分成 12等份；第三种将木棍分成 15 等份如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段 ? 【分析与解】 10， 12， 15的最小公倍数 10， 12， 15=60，把这根木棍的作为一个长度单位，这样，木棍 10 等份的每一等份长 6 个单位； 12 等份的每等份长 5 个单位； 15 等份的每等份长 4 单位 不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是 9， 11，14(相应于 10， 12， 15等份 )，共计 34个 由于 5， 6 的最小公倍数为 30，所以 10与 12等份的等分点在 30单位处相重，必须从 34中减 1 11 / 25 又由于 4， 5 的最小公倍数为 20，所以 12与 15 等份的等分点在 20单位和 40单位两处相重，必须再减去 2 同样， 6， 4 的最小公倍数为 12，所以 15 与 10 等份的等 分点在 12， 24， 36， 48单位处相重，必须再减去 4 由于这些相重点各不相同，所以从 34 个内分点中减去 1，再减去 2，再减去 4，得 27个刻度点沿这些刻度点把木棍锯成 28段 数论综合 (二 ) 进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题取整符号 与取小数部分符号 的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题各种数论证明题 典型问题 1算式 153425=43214 是几进位制数的乘法 ? 【分析与解】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为 45=20 ，但是现在为 4，说明进走 20 4=16，所以进位制为 16 的约数： 16、 8、 4、 2 因为原式中有数字 5，所以不可能为 4,2进位，而在十进制12 / 25 中有 153425=38350 43214，所以在原式中不到 10就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制 2求方程 19x 96x=0的解的个数 【分析与解】有 x为一个数的小数部分，显然小于 1，则 96x小于 96，而 19x=96x，所以 19x小于 96，即x小于，又 x为整数，所以 x可以取 0， 1， 2， 3， 4， 5，对应有 6 组解 进一步计算有 0， 1，为原方程的解 3一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于 7如果把组成它的数字都加上 3，便得到另外一个完全平方数求原来的四位数 【 分 析 与 解 】 设 这 个 四 位 数为 每位数字均加 3，并且没有进位，为 有 得： 3333= （ n m ）(n+m) 将 3333 分 解 质 因 数 ， 有 3333=311101 ，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8 个约数，但是有 n+m n m，所以只有 4种可能满足题意，一一考察，如下表： 13 / 25 如上表，只有 1156， 4489满足，即原来这个四位数为 1156 4将表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案 【分析与解】设有，化简有 (a 6)(b 6)=6=2233 ， 评注：形如 (t为己知常数 )的解法及解的个数 (t为已知常数 )类问题，可以通过计算，转化为 (A t)(B t)=； 我们将分解质因数后，再令 (A t)其中一个为的一个约数 (A t)=a，那么 A=a+t，则 (t为已知常数 )， 所以，一般公式为 (a为 t 的一个约数 )； 设的约数有 x 个，则 A、 B 有组 (调换顺序算一种 ) 注意有一组解 A、 B 相等，就是 5在给定的圆周上有 2000个点任取一点标上数 1；按顺时针方向从标有 1 的点往后数 2 个点，在第 2 个点上标上数 2；从标有 2 的点再往后数 3 个点，在第 3 个点上标上数 3； ；依此类推，直至在圆周上标出 1993对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数问标有数 1993 的那个点上标的最小数是多少 ? 【分析与解】记标有 1 为第 1 号，序号顺时针的依次增大当超过一圈时，编号仍然依次增加，如 1 号也是 2001号， 4001号， 14 / 25 则标有 2 的是 1+2 号，标有 3 的是 1+2+3 号，标有 4 的是1+2+3+4， ，标有 1993的是 1+2+3+1993=1987021 号 1987021 除以 2000 的余数为 1021，即圆周上的第 1021 个点标为 1993 那么 1021+2000n=1+2+3+k= ，即 2042+4000n=k(k+1). 当 n=0时， k(k+1)=2042，无整数解； 当 n=1时， k(k+1)=6042，无整数解； 当 n=2时， k(k+1)=10042，无整数解； 当 n=3 时， k(k+1)=14042，有 118119=14042 ，此时标有118； 随着 n 的增大， k 也增大 所以，标有 1993的那个点上标出的最小数为 118 6.有些三位数，如果它本身增加 3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的求所有这样的三位数 【分析与解】设这个 三位数为，数字和为 a+b+c，如果没有进位，那么，显然数字和增加了 3，不满足，所以一定有进位， 则 +3=，数字和为 0+(b+1)+(c+3 10)=，则 a+b+c=9，而 c+3必须有进位，所以 c 只能为 7， 8， 9 一一验，如下表： 15 / 25 验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足 所以，原来的三位数为 207， 117或 108 7将某个 17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数 【分析与解】先假设和的各位数字全是奇数，设这个 17 位数为，则 a+d为奇数， b+c的和小于 10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的 13 位数仍具有题述性质 依次类推 6 次后，得到一位数，它与自身相加的和的个位数字必是偶数，矛盾 . 即开始的假设不正确，所以和中至少有一个数字是偶数 数论综合（三） 内容概述 具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题 典型问题 2.有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被 第三个数整除那么这16 / 25 样的 3 个自然数的和的最小值是多少 ? 【分析与解】设这三个自然数为 A， B， c，且 A= ， B=,c= ，当、 c 均是质数时显然满足题意，为了使 A， B， c 的和最小，则质数、应尽可能的取较小值，显然当、为 2、 3、 5 时最小，有 A=23=6,B=35=15 ， c=52=10 于是，满足这样的 3 个自然数的和的最小值是 6+15+10=31 4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对 “ 好数 ” ，例如 70与 30那么在 1， 2， ， 16这16个整数中，有 “ 好数 ” 多少对 ? 【分析与解】设这两个数为、，且 500,000,使得 A111,111(mod1,000,000),那么那个 A 即为题中所求的值 .(说明见评注 ) 当 =999,999,有 A=888,889 时 ,A=888,888,111,111,显然满足上面的条件 . 所以 888,889即为所 求的 A. 评注：如果存在 500， 000，使得 A111 ， 111(mod1，20 / 25 000， 000)，那么那个 A 即为题中所求的值 这是因为如果对于上面的 A，还存在一个六位数 B，使得BA=111 ， 111(mod1,000， 000)，那么有 (A -BA)=0(mod1 ，000， 000)，即 (-B)A0(mod1 ， 000， 000)因为 A 不含有质因数 2、 5，所以 (-B)为 1， 000， 000 的倍数， -B1 ，000， 000，那么 1， 000， 000，与为六位数矛盾 也就是说不存在小于等于 500， 000 的 t，使得 A 的后六位为 111， 111，那么也不可能使得 A 的后 6 位相同 14.已知 m， n， k 为自然数， mnk ， 2+2-2 是 100的倍数 ,求 m+n-k 后的最小值 【分析与解】方法一：首先注意到 100=2252 如果 n=k，那么 2m 是 100 的倍数，因而是 5 的倍数，这是不可能的所以 n-k1. 被 22整除 ,所以 k2. 设 =m-k， =n-k，则 ，且都是整数 2a+2b-1 被 52整除，要求 +k=m+n-k 的最小值 不难看出 210+21-1=1025，能被 25 整除，所以 +k 的最小值小于 10+l+2=13 而且在 =10， =1， k=2时，上式等号成立 还需证明在 +10 时， 2a+2b-l 不可能被 25整除 有下表 a987654 21 / 25 11,21,2,31,2,3,41,2,3,4,51,2,3,4 3 时， 2a+2b-18+8=16 不能被 52整除其他表中情况，不难逐一检验，均不满足被 25整除的要求 因此 +-k 即 m+n-k 的最小值是 13 方法二：注意到有 100=2255 ， 4 所以 k 最小为 2 还有 25 ，令 m-k=x,n-k=y 则有 l(mod25) 因为 5 去除 2， 22， 23， 24， 25余数分别为 2， 4， 3， 1， 2；余数是 4 个一周期 .于是， x=4p+2， y=4q+1； 或者是 x=4P+3， y=4Q+3 (1)x=4p+2， y=4q+1 时 当 x=2， y=1，于是不是 100的倍数； 当 x=6， y=l，于是不是 100的倍数； 当 x=10， y=l，于是是 l00的倍数； (2)x=4P+3， y=4Q+3 当 x=3， y=3，于是不是 l00的倍数； 当 x=7， y=3，于是不是 l00的倍数： 其余的将超过 (1)种情况，所以，最小为 m+n-k=12+3-2=13 22 / 25 数论综合（四） 内容概述 主要是 “ 小升初 ” 综合素质测试中较难的数论问题 1任意选取 9 个连续的正整数，即它们的乘积为 P，最小公倍数为 Q我们知道， P 除以 Q 所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少 ? 【分析与解】将 9 个连续的正整数作因式分解，如果某个质数是其中至少两个分解式的因子，那么次数最高的那个方幂会包含在最小公倍数 Q 中，而其他方幂的乘积则出现在 P 除以 Q 的商中显然这样的质数必定 小于 9，只可能是 2， 3，5 或 7 记 PQ=R ，则 R 的质因数必定取自 2， 3， 5， 7 两个不同的 7的倍数至少相差 7，因此在 9个连续正整数中，最多有两个数含有质因数 7当有两个数是 7 的倍数是，可能它们都不能被 77 整除，也可能其中一个数是 77 的倍数，而另一个不是于是 R 的质因数分解式中 7 的幂次最高是 1 类似的分析， R 中最多包含一个质因数 5 在 9 个连续的正整数中，恰有 3 个数是 3 的倍数，其中一个数能被 9 整除，而另一两个数仅能被 3 整除，因此 R 中所包23 / 25 含的质因数 3 的幂次必定为 2 在 9 个连续的正整数中， 最多有 5 个数是偶数此时，除去含有 2 的幂次最高的数外，其余的 4 的数含有质因数 2 最多的情形是：其中有 2 个仅为 2 的倍数，有 1 个是 4 的倍数，另一个是 8 的倍数即 R 的质因数分解式中 2 的幂次最多是1+1+2+3=7 综上所述， R 的最大值是 273257=40320 事实上，对于 9 个连续正整数 560， 561， ， 568， P 除以 Q 所得到的商恰是 40320 2老师在黑板上依次写了三个数 21、 7、 8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上 2，其他数减去 1，试问能否经过若干次这样的操 作后，使得： (1)三个数都变成 12？ (2)三个数变成 23、 15、 19？ 【分析与解】如果两个数都加上 2，那么它们的差不变；如果两个数都减去 1，那么它们的差也不变； 如果一个数加上 2，一个数减去 1，那么它们的差增大或减小 3所以，不管怎样，它们的差增大或减小 3 的倍数也就是说，不管怎么操作，这两个数的差除以 3 的余数是不变的 21 与 7 的差除以 3 的余数为 2； 21 与 8 的差除以 3 的余