2019-2020学年高二数学上学期第二次段考12月试题理.doc

2019-2020学年高二数学上学期第二次段考12月试题理 一、选择题（共12小题；共60分）1. 给定下列四个命题：如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是 A. 和B. 和C. 和D. 和 2. 已知直线 a 和平面 ，=l，a，a，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是 A. 相交或平行B. 相交或异面C. 平行或异面D. 相交、平行或异面 3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为 A. 2B. 4C. 3D. 52 4. 设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x，则被 y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是 A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 3x-2y+1=0D. x+2y+3=0 6. 已知双曲线 x2a2-y2b2=1a0,b0 的焦距为 25，且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为 A. x2-y24=1B. x24-y2=1C. 3x220-3y25=1D. 3x25-3y220=1 7. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD面ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为下图中的 A. B. C. D. 8. 双曲线 x23-y2=1 的两个焦点分别为 F1,F2，点 P 在双曲线上，且满足 PF1+PF2=25，则 PF1F2 的面积为 A. 12B. 3C.1D. 5 9. 已知球 O 的半径为 2，四点 S，A，B，C 均在球 O 的表面上，且 SC=4，AB=3，SCA=SCB=6，则点 B 到平面 SAC 的距离为 A. 32B. 32C. 33D. 1 10. 已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA，PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值是 A. 32B. 2C. 3D. 22 11. E 为正四面体 D-ABC 棱 AD 的中点，平面 过点 A，且 平面ECB，平面ABC=m，平面ACD=n，则 m，n 所成角的余弦值为 A. 33B. 63C. 22D. 13 12. 设椭圆 C：x2a2+y2b2=1ab0 的左、右焦点分别为 F1，F2，其焦距为 2c，点 Qc,a2 在椭圆的内部，点 P 是椭圆 C 上的动点，且 PF1+PQ5F1F2 恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 A. 15,22B. 14,22C. 13,22D. 25,22 二、填空题（共4小题；共20分）13. 若命题”x0R, 使 x02+2a-1x0+10 经过椭圆 x2a2+y2b2=1 ab0 的两个焦点 F1，F2，且与该椭圆有四个不同的交点，设 P 是其中的一个交点，若 PF1F2 的面积为 26，椭圆的长轴为 15，则 a+b+c= 三、解答题（共6小题；共70分）17. （10分）如图，三棱锥 A-BCD 中，AB 平面 BCD，CDBD（1）求证：CD 平面 ABD；（2）若 AB=BD=CD=1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积 18. （12分）已知点 A0,2，圆 O：x2+y2=1（1）求经过点 A 与圆 O 相切的直线方程；（2）若点 P 是圆 O 上的动点，求 OPAP 的取值范围 19. （12分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PAD 为正三角形，四边形 ABCD 为直角梯形，CDAB，BCAB，平面PAD平面ABCD，点 E，F 分别为 AD，CP 的中点，AD=AB=2CD=2（1）证明：直线EF平面PAB；（2）求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值 20. （12分） 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 32，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 3，圆 C 的方程为 x-a2+y-b2=ab2（1）求椭圆及圆 C 的方程：（2）过原点 O 作直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，若 CACB=-2，求直线 l 被圆 C 截得的弦长 21. （12分）如图 1，E，F 分别是 AC，AB 的中点，ACB=90，CAB=30，沿着 EF 将 AEF 折起，记二面角 A-EF-C 的度数为 （1）当 =90 时，即得到图 2，求二面角 A-BF-C 的余弦值；（2）如图 3 中，若 ABCF，求 cos 的值 22. （12分）已知两点F1(-1,0)及F2(1,0)，点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且PF1,F1F2,|PF2|构成等差数列。（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M、N是直线l上的两点，且F1Ml , F2Nl ,求四边形F1MNF2面积S的最大值。佛山一中xxxx上学期第二次段考高二年级理科数学答案一、选择题（共12小题，每题5分）：1-5.DDCAA,6-10.BACBD,11-12 AB二、填空题（共4小题，每题5分）：13.-12,32 14.3, 15.-34,+ 16.13+26三、大题（共6小题，17题10分,18-22每题12分，总共70分）：17. (10分)（1） 在三棱锥 A-BCD 中， AB 平面 BCD，又 CD 平面 BCD，ABCD 1分 又 BDCD，且 BDAB=B，CD 平面 ABD 3分 （2） 法一：由 AB 平面 BCD，得 ABBD， AB=BD=1， SABD=12 5分 M 是 AD 中点， SABM=12SABD=14 6分 由（1）知，CD平面ABD， 三棱锥 C-ABM 的高 h=CD=1， 8分 因此三棱锥 A-MBC 的体积为VA-MBC=VC-ABM=13SABMh=112. 10分 法二：由 AB 平面 BCD 知，平面 ABD 平面 BCD， 4分 又平面 ABD 平面 BCD=BD，如图，过点 M 作 MNBD 交 BD 于点 N，则 MN 平面 BCD，且MN=12AB=12, 6分 又 CDBD,BD=CD=1，所以SBCD=12, 7分 三棱锥 A-MBC 的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=13ABSBCD-13MNSBCD=112. 10分 18. （1） 由题意，所求直线的斜率存在 1分 设切线方程为 y=kx+2，即 kx-y+2=0， 2分 所以圆心 O 到直线的距离为 d=2k2+1， 3分 所以 d=2k2+1=1，解得 k=3， 4分 所求直线方程为 y=3x+2 或 y=-3x+2 6分 （2） 设点 Px,y，所以 OP=x,y，AP=x,y-2 8分 所以 OPAP=x2+y2-2y 9分 因为点 P 在圆上，所以 x2+y2=1，所以 OPAP=1-2y 10分 又因为 x2+y2=1，所以 -1y1， 11分 所以 OPAP-1,3 12分 19. （1） 取 BC 中点 M，连接 EM，FM，如图 1， 易知 EMAB，EM平面PAB，AB平面PAB 得 EM平面PAB， 2分同理 FMPBFM平面PAB，PB平面PAB得FM平面PAB，4分又 EMFM=M，EM平面EFM，FM平面EFM， 所以，平面EFM平面PAB 5分又 EF平面EFM，所以直线 EF平面PAB 6分 （2） 解法一：连接 PE，PM如图 2，因为 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，且 PEAD，所以 PE平面ABCD， 又 BC平面ABCD，所以 PEBC 又因为 EMBC，PEEM=E，PE平面PEM，EM平面PEM，所以 BC平面PEM，平面PBC平面PEM 8分 过点 E 作 EHPM 于点 H，连接 FH，由 平面PBC平面PEM 可知，EH平面PBC 所以直线 EF 与平面 PBC 所成角为 EFH 10分在直角三角形 PEC 中，求得 EF=12PC=62，在直角三角形 PEM 中，求得 EH=377，所以，sinEFH=EHEF=37762=427 12分20. （1） 设椭圆的焦距为 2c，左、右焦点分别为 F1-c,0，F2c,0，由离心率为 32，可得 e2=1-b2a2=34，即 a=2b，b=33c， 1分以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 12b2c=3， 即 1233c2c=3，所以 c=3，则 a=2，b=1， 3分所以椭圆的方程为 x24+y2=1，圆 C 的方程为 x-22+y-12=4 5分（2）法一：由题意得 CACB=CACBcosACB=22cosACB=-2 8分所以cosACB=-12，又ACB0，ACB=120 10分AB=22sin60=23 12分法二： 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x=0，与圆 C 相切，不符合题意； 6分 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程为 y=kx，由 y=kx,x-22+y-12=4, 可得 k2+1x2-2k+4x+1=0，由条件可得 =2k+42-4k2+10，即 k-34， 7分设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=2k+4k2+1，x1x2=1k2+1，y1+y2=kx1+x2=2k2+4kk2+1，y1y2=k2x1x2=k2k2+1， 而圆心 C 的坐标为 2,1，则 CA=x1-2,y1-1，CB=x2-2,y2-1，所以 CACB=x1-2x2-2+y1-1y2-1=-2， 8分即 x1x2-2x1+x2+y1y2-y1+y2+5=-2， 所以 1k2+1-22k+4k2+1+k2k2+1-2k2+4kk2+1+5=-2， 解得 k=0 或 k=43， 10分当 k=0 时，在圆 C 中，令 y=0 可得 x=23，故直线 l 被圆 C 截得的弦长为 23；当 k=43 时，直线 l 的方程为 4x-3y=0，圆心 2,1 到直线 l 的距离 d=8-35=1，故直线 l 被圆 C 截得的弦长为 222-12=23； 11分综上可知，直线 l 被圆 C 截得的弦长为 23 12分21. （1） 因为AEEF,CEEF 所以AEC即为二面角A-EF-C 的平面角 1分当=90时，则AEEC 2分又AEEF，EFEC=E，所以AE平面CEFB 3分过点 E 向 BF 作垂线交 BF 延长线于 H，连接 AH， 则 AHE 为二面角 A-BF-C 的平面角 4分设 BC=2aEF=a，AB=4a，AC=23a，AE=3a，EH=32a，cosAHE=EHAH=32a3a2+34a2=55 6分（2） 过点 A 向 CE 作垂线，垂足为 G， 由（1）知EF面ACE，即面BCEF面ACE，所以AG面BCEF 7分又CF面BCEF，AGCF 8分因为 ABCF，AGAB=ACF面ABG 9分又GB面ABG 有 GBCF， 10分因 BCF 为正三角形，故 CG=BCtan30=233a，则 GE=33a， 11分而 AE=3a，故 cos=GEAE=13 12分22.（1）依题意，设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1.因为PF1,F1F2,|PF2|构成等差数列，所以2a=PF1+PF2=2F1F2=4，所以a=2 .2分又因为c=1，所以b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1. 4分（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x24+y23=1中，得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0 由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，=64k2m2-4(4k2+3)( 4m2-12)=0,化简得： m2=4k2+3， 5分设d1=F1M=|-k+m|k2+1, d2=F2N=|k+m|k2+1, 6分法1：当 k0时，设直线l的倾斜角为，则d1-d2=MN|tan|, 所以MN=d1-d2k S=12d1-d2kd1+d2=d12-d222k=2mk2+1=2mm2-34+1=8|m|+1|m| 8分因为m2=4k2+3，所以当k0时，m3，m+1m3+13=433, S23. 10分当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=23. 11分所以四边形F1MNF2面积 S 的最大值为23. 12分 法2：因为d12+d22=-k+mk2+1