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关于拉格朗日乘子法的理解2018-11-071 关于拉格朗日乘子法有拉格朗日乘子法的地方,肯定会是一个组合优化的问题。带约束的优化问题很好说,比如下面这个问题:注:在数学里面s.t.是subject to 的缩写,受约束的意思按中文习惯应该是 使得.满足.s.t. = subject to这是一个带等式约束的优化问题,有目标值,有约束条件。那么如果假设没有这个约束条件,这个问题该如何求解呢?直接f对x求导等于0,解x就可以了,可以看到没有约束的话,求偏导等于0,那么各个x均等于0,这样f=0了。但是x都为0不满足约束条件。在这里说一点,为什么上面说求导为0就可以呢?理论上多数问题是可以的,但是有的问题不可以。如果求导为0一定可以的话,那么f就是一个凸优化问题,什么是凸呢,下图:图1凸就是开口朝一个方向(向下或者向上)。准确的数学关系就是:注意的是这个条件是对函数的任意值x取值。如果满足第一个就是开口向上的凸,反之开口向下的凸。对于凸问题可以去求导,从图中可以很容易看出只有一个极点,那么它就是最优点,直观也很合理。类似的如下图,有时候满足第一个关系,有时候满足第二个关系。所以它是一个非凸的问题,对它进行求导会得到很多个极点。从上图可以看出,只有一个极点是最优解,其他的是局部最优解,那么真实问题时候你选择哪个?所以,拉格朗日乘子法是一定适合于凸问题的,不一定适合其他的问题。有约束的问题,既然有了约束不能直接求导,那么把约束去掉不就可以了吗。那么怎么去掉呢?拉格朗日来实现。既然是等式约束,那么就把这个约束乘一个系数加到目标函数里面去,比如上面的函数就变为:现在这个优化目标函数没有约束条件,既然这样,我们对于x求偏导等于0,如下所示:把它再带到约束条件中去,可以解出1 和 2两个变量,这样再带回去求x就可以了。那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法解决了。那么带有不等式的约
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