数学本科毕业论文-Jordan标准形及其应用.doc

本科毕业论文（设计）题 目 Jordan标准形及其应用 院（系） 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 XXXXXX 学 号 09020109 指导教师 XXXXX 职称 XXXXXX 论文字数 6987 完成日期: 2013 年 月 日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名： 日期： 巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 3巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）Jordan标准形及其应用摘 要矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要组成部分，因为不是每一个线性变换都有一组基使得它在这组基下的矩阵成为对角形，这个时候为了探索在选择适当的基的情况下，一般的线性变换能化简成什么形状,我们引入了标准形。因为矩阵的标准形具有结构简单、易于计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用，尤其关于化矩阵为若尔当标准形的理论及方法，已经列为线性微分方程组理论的必不可少的基础知识，例如利用若尔当标准形证明方阵的特征根的性质，在计算矩阵多项式中的应用，在计算行列式中的应用,在求解线性微分方程组的应用，现在我们着重讨论的是标准形的理论和应用。 关键词：若尔当标准形；特征根；矩阵多项式；行列式 The Standard Jordan and Its Application AbstractJordan canonical form of matrix is an important part of linear algebra. Its due to that not all linear transformation has a set of base which could make it in this group under the matrix become diagonal shape. In order to explore the linear transformation generally can be simplified into which kind of shape in the case of selecting the appropriate base, we introduced Jordan standard form. Since the canonical form of a matrix has the advantages of simple structure, easy to calculate and others, so it plays a very important role in solving the matrix problems, especially about the theory and method which could transform matrix into Jordan normal form. For these reasons,it has been listed as the essential foundation of knowledge to help solve the linear differential equations theory. Nowadays, the Jordan canonical form of matrix is extensively used in linear algebra, such as the character of using the Jordan standard form to proof the characteristic root of matrix, in addition, application in calculating the matrix polynomial, determinant and linear differential equation. Now what we will discuss emphatically is the theory of Jordan standard form and its application. Keywords: Jordan normal form, characteristic roots, matrix polynomial, determinantI目 录中文摘要I英文摘要II引言11. Jordan矩阵相关的定义定理11.1 Jordan矩阵相关的定义11.2 Jordan标准形相关的定理32. 矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵的解法72.1 Jordan标准形的计算92.2相似变换矩阵的解法103. Jordan标准形的应用123.1利用若尔当标准形证明方阵的特征根的性质123.2 在计算矩阵多项式中的应用143.3 在计算行列式中的应用163.4 在求解线性微分方程组的应用17结束语19参考文献20巢湖学院2013届本科毕业论文（设计） 引 言对于学过高代的我们都知道，在矩阵对角化中对于属于不同特征值的特征向量不可能是线性相关的，即使把它们组合在一起也无济于事。此外，如果它们的个数恰好和空间的维数相同，那么可以通过一组合适的基将此线性变换化为对角形；反之，不管通过哪组基，这个矩阵都不能变换为对角形。换而言之，若为维线性空间中的一个线性变换，那么的矩阵可以变换为对角形的充要条件是有且只有个线性无关的特征向量。然而，对于每一个线性变换，符合我们上面讲的“合适的基”不可能都只有一组，但是考虑到矩阵对角化的简明方便，我们还是希望在选择适当的基的情况下，一般的线性变换尽可能的对角化从而简化成某种形式，这个时候我们就要引入标准形。接下来我们将要讨论说明的就是标准形的定义、定理、求法以及标准形的一些简要应用。1. Jordan矩阵相关的定义定理1.1 Jordan矩阵相关的定义首先我们来介绍一下一个最基本的概念，“什么是矩阵”：定义1 .1.11 由个数排列而成的行列的形如 的称为一个矩阵。 有了矩阵的定义做基础，我们给出矩阵的定义。定义1.1.21 形式为的矩阵称为块，矩阵中的指复数.若一个准对角矩阵上的元素都是若尔当块，那么这个矩阵就称为若尔当形矩阵，它的一般形式为，其中,并且中有一些可以相等.例如，这些矩阵都是块,而像这样的矩阵就是一个形矩阵。顾名思义，一级矩阵实质上指的就是一级块，即Jordan矩阵中涵盖了对角形矩阵。为什么会这样呢？显而易见，矩阵是一个下三角形矩阵，所以很容易能够得出其特征多项式的全部的根（重根按重数算），即为其主对角线上的元素。接下来我们来看下一个很重要的概念：定义1.1.3 2 在数域上线性空间中存在一个线性变换，如果中有一数，能够存在一个非零向量，并且有=.那么此时称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。并且只有特征值能够决定它的特征向量，这是由于不管一个特征值有多少特征向量，一个特征向量只能从属于一个特征值。1.2 Jordan标准形相关的定理定理1.2.1 3 如果两个-矩阵有相同的不变因子（或行列式因子），那么这两个矩阵等价，这也是其充要条件。定理1.2.2 2 若当定理（1）设，即有可逆阵T，使=,其中=， (2) 设，若，为A的全部特征值，则的全部特征值为，即 = 。定理1.2.3 4矩阵与相似的充要条件是它们有相同的不变因子。引理 若维线性空间上线性变换满足，是某一个正整数，我们就称为上的幂零线性变换.那么此时对于,线性空间中肯定有如下形式的一组元素作为基 ，于是在这组基下的矩阵为（1） 证明 对维数作归纳法。当=1，有基，并且可以得到=. 那么就可以得到=0.所以就是要求的基。此时我们假设此引理在维数小于的时候仍然成立。接下来我们对满足条件的维线性空间来考察的不变子空间.如果的维数仍然是，那么=，从而可以得到，进一步得到=0，矛盾！故的维数小于.此时将看成是上的线性变换，那么仍然有=0.通过上述归纳假设可知，上有一组基 ，其中均为正整数.由于都属于，则有使得.那么可以排除下列向量集合，其中最后一行中的向量是的部分向量，所以是线性无关的，即可证得归纳法正确。定理1.2.4 5 若复数域上的线性空间中有一线性变换，那么中必然存在一组基，并且在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，并称其为的若尔当标准形。证明 设的特征多项式是，其中，是的全部不同的根。现在我们将分解为=，即的不变子空间的直和。其中=V，如果能够证明每个上存在一组基，并且能通过这组基转化为若尔当形矩阵，那么定理即可得到证明。由引理的证明接下来我们证明定理1.2.4。在上有，作=（）则可以得到。通过引理，我们知道在的基下转化为形如(1)的若尔当形。于=+，显然（1）中矩阵与相加所得到的和就是在该组基下的矩阵，也就是我们可以看出，它也是一个矩阵。如果把所有的基组合起来就可以得到的基,并且在这基下的矩阵依旧是若尔当形矩阵。此时上述结果如果用矩阵表示就为：定理 1.2.5 1 每个级复矩阵都相似于一个若尔当形矩阵，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵确定的，而且是唯一确定的，此时称其为的若尔当标准形.证明 我们现在设级矩阵的初等因子 （1）由一一对应的思想，我们让每个初等因子都对应于一个形如的若尔当块。我们让这些若尔当块构成一个若尔当形矩阵根据上面记算，的初等因子也是（1）.因为与有相同的初等因子，所以它们相似.如果存在的另一相似矩阵，且其为一若尔当形矩阵，那么由定理可知它们拥有相同的初等因子，所以我们可以知道与除了其中若尔当块排列的次序以外是相同的，由此就可以得唯一性.在这应当说明的是，因为矩阵涵盖了对角矩阵，换而言之对角矩阵是其特殊情形，具体地说即由一级块构成的形矩阵，这样我们顺其自然的就可以得到以下定理:定理 1.2.6 1复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是，的不变因子都没有重根。2. 矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵的解法在上面的讨论和引述中，我们虽然了解了一些关于矩阵的定义及其一些重要的定理,但是为了能让若尔当标准形在矩阵方程论、矩阵函数论、以及常微分方程中有更多的应用，我们有必要讨论一下矩阵的标准形的解题过程和其相似矩阵的求解步骤。在标准形相关问题的求解中，我们对初等因子的知识加以利用，为此我们给出 ：引理 6 用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部的初等因子。现在我们给出引理的证明过程： 证明 为了解题需要我们不妨假设已化为对角形 ，这之中的的最高项的系数都是1.我们可以把分解成如下形式，即=，其中.我们要证的就是对于其中相同的一次因式的幂在的主对角线上面按照一定次序排列后，得到一个新的对角形矩阵，并且它与等价.那么这个时候就是的标准形并且一切不等于1的就是A的全部的初等因子.此时由于证明的需要，首先讨论.令 ，于是可以得到 对于其中的每一个都与是互素的，而且对于每一对相邻的指数，那么在中我们将的位置互换，并且其余的因式保持不动.因为和等价.很显然我们能够得到与对角矩阵等价。 接着对进行和上面一样的讨论.这样一直进行下去，直到对角矩阵上面主对角线上面的元素包含的幂是按照逐级上升的次幂排列时为止，然后对进行同样的处理，最后我们就可以得到与是等价的一个对角形矩阵，而且它的主对角线上面包含的任意相同的一次因式的幂都是升幂排列的。2.1 Jordan标准形的计算方法步骤为了叙述方便，我们先给出标准形的一般求解步骤：1. 用矩阵的初等变换把化为对角形式，得到的全部初等因子。由上面我们证明的引理若尔当形矩阵的初等因子也就很容易算出。 那么我们就给出以下步骤2 .对于每个初等因子作出一个n级的块. 3 .把所有的块写成对角矩阵，即为的标准形。78下面我们给出实例具体讲解一下：例2.1.1求矩阵的若尔当标准形。 解 ：根据以上我们给出的方法我们首先求的初等因子：即=很明显的初等因子是，所以的标准形就是.2.2 相似变换矩阵的求法由定理可知对任意矩阵都能求出一个n级可逆矩阵可以满足,其中为块。变换矩阵的求解步骤为：1.令=其中，则及分块矩阵的乘法可以得到即，i=1,2,.,t.2.求,记则，可得其中是矩阵对应于特征值的特征向量，并可根据依次求出且它们线性无关。9103.依次求出则变换矩阵例2.2.1 现有矩阵，试求其标准形和变换。解：=的特征矩阵的初等因子是，所以的标准形是,于是有可逆矩阵使得.令,则可以得到（）=(,)=(-,-).比较上式两边，可以得到 ,那么可以得到是的对应于特征值-1的两个线性无关的特征向量，从方程组=0可以得到两个线性无关的特征向量是，选取=,而的选取应该能够保证非齐次线性方程有解，又由于的线性组合依旧是=0的解，因此我们选取其中的待定的常数，只要能满足线性无关，且能够使得有解即可。因为=（-2，）所以选使得方程组有解。那么就可以求出当时，该方程组存在解；并且它的解为=0. 其中为任意非零常数。取得=2，那么=-3，于是可以得到.显然，它们是线性无关的。从而，即有.3.Jordan标准形的应用前面我们讨论了标准形的定理定义和其相似变换问题的一些解题方法，现在我们讨论标准形在其他具体问题中的应用。3.17利用若尔当标准形证明方阵的特征根的性质首先我们研究下若尔当标准形在证明方阵的特征根中的应用，给出如下定理 若m阶方阵的特征根是则的特征根是 证明：设的若尔当标准形为,其中且=即与相似，但是即J的特征根的n次幂就是的特征根.因为相似方阵对应着相同的特征根，所以的就是的就是的特征根的n次幂.例3.1.1 设秩=秩（）.证明：一旦有零特征值，那么它所对应的初等因子的次数不超过.证明 设的若尔当标准形为=， 其中为中所有特征值为零的若尔当形矩阵.其他若当块（=1,2，)的特征值均非零，即|0（=1,2，).另设为中最大块的级数，它对应的初等因子为，下证.用反证法.若，则由式有=此时可以得到= 这时对于，所以 秩（）秩（）. 但都非奇异，所以秩（）=秩（）.（=1,2，） 从而由，有 : 秩秩（）.这与假设矛盾.即可得证.例3.1.2 设都是级实对称阵，是的一个特征根，则存在的一个特征根，和的一个特征根，使=.证 =，=且=.那么存在正交阵，使 =，=.故的全部特征根为.3.2 在计算矩阵多项式中的应用我们知道多项式的计算是高等代数中必不可少的内容，现在我们研究下标准形在计算矩阵多项式的时候是怎么应用的。例3.2.1 已知多项式与矩阵计算.其中.解 先求的初等因子.对进行变换可以得到=,此时很容易知道，为的初等因子，那么其标准形为 ，并且，且变换矩阵P为，则可求得，此时还有= = 其中是在1处的导数值.例3.2.2 数域上的线性空间中存在一变换，且为线性变换，它的特征多项式和最小多项式分别是，并且=.（1）求的所有不变因子；（2） 写出的若当标准形。解 （1）设线性变换在某一组基下的矩阵为，.计算可得=，=.所以 = ， = = = = 1.因此的所有不变因子为，.(2) 因为的初等因子为，。所以的若当标准为（不计若当块次序）.以上我们可以知道标准形的引入对计算矩阵多项式起到了很大的简化作用。3.3 在计算行列式中的应用在上面我们知道了标准形有着简化计算的作用，现在我们研究一下在求行列式的过程中，标准形是不是也能起到很好的作用呢？例3.3.1 求行列式 . 解：,我们可以很容易得到的特征矩阵的为：所以的标准形为,且求得,所以有 而此时，又有 ，所以 以上内容充分反映了标准形在这个计算过程的应用。3.4 在求解线性微分方程组中的应用现在我们引入在解线性方程组中标准形的应用,看看是不是依然能起到很好的作用?例3.4.110 求解以下线性微分方程组 解：在此我们可以令（t）=,则微分方程组的矩阵形式就为，另外我们可以求得的若尔当标准形为：，也可以求得它的变换矩阵为，则此时AT=J.我们作线性变换=,其中的=,则有=，即可以得到=，或者(t)=(t)，（t）=0，（t）=（t）那么它的一般解就是(t)=+t，(t)=，（t）=