弹性力学平面问题的极坐标解答.ppt

第四章平面问题的极坐标解答,41DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates,42GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates,43StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates,49Effectofcircularholesonstressdistribution,4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates,44CoordinatesTransformationofStressComponents,45AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements,46HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures,411ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary,46圆环或圆筒受均布压力(P64),HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures,利用边界条件求待定常数A、B、C,考察环向位移(forcircumferentialdisplacement)：,是多值项，对于同一r，当不同，该项有不同的值，而在此轴对称问题中，这是不可能的(P65),Inthehollowcylinder,thisisphysicallyimpossible.,根据位移单值条件，可知：B=0,上述边界条件变为：,最后求得：,讨论只有内压或只有外压单独作用的情况,a、只有内压力的作用：qb=0,Ifqb=0(onlyinternalpressureqa=0acts),结论：r总为压应力，为拉应力,risalwayscompressionandisalwaystension.,Whentheouterradiusbismuchlargethantheinnerradiusa,thecylinderbecomesalargebodywithasmallcircularholeofradiusa.,应力与a2/r2成正比，当ra时，应力分量很小，这也证实了圣维南原理,Attheedgeofthehole(r=a),r=-qaand=-qa.Atalargedistancefromthehole,thestressesarenegligiblysmall.,Bothrandarealwayscompression.,Thedistributionofthenormalstressesisapproximatelyshowninthefigurebelow,49圆孔的孔边、应力集中,一、应力集中(stressconcentration)：,具有小孔的弹性体，受力时孔边的应力远大于无孔时的应力或距孔边稍远处的应力，这种现象称为应力集中现象,二、应力集中的原因：,不是由于截面减小而使应力增大，而是由于孔的存在，孔附近的应力状态与应变状态完全改变了,Effectofcircularholesonstressdistribution,三、应力集中的特点：,（1）局部现象：离孔越远，应力集中现象消失越快,（2）应力集中程度与孔的形状有关，圆孔较小；尖角孔应力集中程度高,（3）同样形状的孔，应力集中的倍数与孔的大小无关,四、圆孔的孔边应力集中问题,圆孔的孔边应力可以用较简单的数学工具描述,例2.图示矩形薄板离边界较远处有半径为a的小圆孔，板四边承受均布拉力q,坐标轴如图所示，因为我们要研究孔边应力，所以采用极坐标,a、矩形薄板四边受拉,Effectofcircularholesonstressdistribution,由于应力集中的局部性，在大圆周处，应力情况与无孔时相同,原来的问题就转换成这样一个新问题：内半径为a，外半径为b的圆环，在外边界受拉应力r的作用，如图,其解答可用前面讨论过的圆环受均布压力时的解答（拉密解），即：,因为ba，所以,应力分量表达式变为,例3.图示带小孔矩形薄板左右两边承受均布拉力q，上下两边承受均布压力,b、矩形薄板左右两边受均布拉，上下两受均布压,原来的问题就转换成这样一个新问题：内半径为a，外半径为b的圆环，在外边界受拉应力r=qcos2和剪应力r=-qsin2的作用,孔边的边界条件为：,用半逆解法：,因为,所以，可假设应力函数：,将其代入相容方程：,解此微分方程得：,应力分量：,A、B、C、D为待定常数，由边界条件确定,由此求得A、B、C、D,当A、B、C、D为：,最后求得应力分量为：,c、矩形薄板左右两边受不相等的均布拉力,将两部分解答叠加，即得q1、q2作用下的应力分量,其应力分量为：,讨论：,2、沿y轴应力：=90或=-90,求得：,3、沿x轴应力：=0,求得：,归纳：,（1）上述公式是计算圆孔孔边应力的基本公式，它只是对无限域中的小圆孔才是精确的，但由于孔边应力集中是局部现象，所以只要弹性体的边界离开圆孔中心由足够的距离，应用公式时不会引起较大的误差,（2）对任意形状的薄板，受有任意面力，在距离边界较远处有一小圆孔，如何求孔边应力？,a、先求出无孔