5-UPSPRPU并联机构基本分析.doc

5-UPS/PRPU并联机构基本分析（燕山大学机械工程学院 秦皇岛 066004）摘要：本文介绍了一种5-UPS/PRPU机构，该机构采用5个驱动分支和1个约束分支，可实现三维移动和两维转动。文中建立了PRPU分支的位置正反解公式、UPS分支的位置反解公式和速度公式。确定了PRPU分支在机构的运动中，将始终约束动平台绕自身法线的转动。该机构具有很好的速度灵巧度和较大的工作空间，工作空间内无奇异位形存在。PRPU分支可以反映动平台在运动过程中的实际位姿变化，在该分支上安装传感器可实现对动平台位姿的实时检测。适用于欧拉角转速形式的雅可比矩阵，验证了该机构关节空间和工作空间的速度映射为一对一映射，为实现机床进给速度的控制奠定了基础，通过matlab遗传算法工具箱，分析了工作空间及奇异性等问题。最后计算出了各分支的一阶二阶影响系数矩阵。关键词：5-UPS/PRPU机构 位置正反解 雅可比矩阵 工作空间 奇异性 影响系数矩阵0 前言并联机构(Parallel Mechanism，PM)可定义为动平台和定平台通过至少两个独立的运动链相连接，机构具有两个或两个以上自由度，且以并联方式驱动的一种闭环机构。由于并联机构具有累积误差小、精度较高、运动部分重量轻、速度高、动态响应好、结构紧凑、刚度高、承载能力大等特点，因此在需要高刚度、高精度或者大载荷而无须很大工作空间的领域内得到了广泛应用，如：运动模拟器、工业机器人、微操作机器人、力传感器、并联机床。5-UPS/PRPU机构可以很好的应用在并联机床中，对于机床的加工而言，可实现三维移动两维转动的5自由度并联机构就能够加工任意复杂形状的零件，因为绕主轴旋转的转动自由度可以通过机床电主轴自身的旋转来实现，该自由度对于机床加工而言为冗余自由度。因此对于并联机床，5自由度并联机构可实现机床的五坐标加工。机床加工通过5个自由度的进给运动和1个自由度的主切削运动来实现。1自由度分析5-UPS/PRPU机床机构如图1-1所示,其中包括定平台,动平台以及连接定平台与动平台的分支等组成。其特征在于定平台通过五个结构完全相同的驱动分支虎克铰一移动副一球副分支以及一个约束分支移动副一转动副一移动副一虎克铰分支与动平台相连接。下面通过螺旋理论方法及公式法进行自由度运算。1.1 UPS支链分析建立坐标系如图1-2(a)所示 ，下方球副，以球副中心为坐标原点，沿连杆方向为Z轴建立，以XA、YA、ZA来表示，上方以虎克铰为中心建立，各坐标轴以XB、YB、ZB来表示。图1-1(a) (b)图1-2可求得各螺旋为： 由于所得的6个螺旋线性无关，所以没有约束反螺旋，此分支的自由度为6，对运动平台不产生约束。1.2 PRPU中间支链的自由度分析建立坐标系如图1-2(b)所示，其中对应于第1个移动副，对应于第1个转动副，对应于第2个移动副，对应于虎克铰的第1个转动副，对应于虎克铰的第2个转动副。可以求得各螺旋为：从中可以看出，有一个约束反螺旋，支链的自由度为 5，对机构有一个绕Z轴约束，由前面的分析可知，五个 UPS 支链对此机构的公共约束为 0，这样该机构的自由度就取决于中间支链，因而此机构的自由度为 5。此外也可以通过公式直接求解，本机构类似于Stewart平台，也属于闭环空间机构。其自由度的计算可采用Kutzbach Grubler公式 (1-1)式中 M机构的自由度数n 机构的总构件数g 机构的运动副数fi 第个运动副的相对自由度数如图1-1所示，本机构中，且无复合铰链、虚约束、局部自由度等特殊情况，则有即该机构自由度数为5，将UPS的五个移动副做为驱动关节，该机构能实现确定的运动。2位置分析位置分析是求解机构输入与输出构件之间的位置关系，当已知机构输入件的位置，求解机构输出件的位置和姿态是位置正解；若已知机构输出件的位置和姿态，求解机构输入件的位置是位置反解。位置反解分析是机构运动学分析的基本任务。2.1 PRPU分支位置正反解分析空间机构是由复杂的三维连杆和运动副组成，假设所有连杆都是刚性的，空间运动链就是由运动副连接各杆件组成的，为表示各杆件之间的相对位置和姿态，可采用D-H方法建立中间约束分支PRPU分支的坐标系，如图2-1所示，基坐标系0与定坐标系A平行，坐标系1-5分别对应各个运动副构件，其中把虎克铰等效于两个转动副，坐标系5与动坐标系B平行。图2-1相应的D-H参数如表2-1所示其中变量为：；常量为：。序号i杆长ai-1扭角偏置di转角i100d1020002 30d304004 5005表2-1 PRPU分支D-H参数设l0A为坐标系0和定坐标系A原点之间的距离，l5B为坐标系5和动坐标系B原点之间的距离。其中： ai是从到Z沿Xi的距离，是从到Z绕的转角，是从到沿的距离，是从到绕的转角。坐标系i相对于坐标系i-1的变换矩阵可看成是经4个子变换得到的：先绕Xi-1轴转角，然后沿Xi-1轴移动ai-1，再绕Zi轴转角，最后沿Zi轴移动。则的一般表达式为 (2-1)式中 ssinccos根据表2-1中所列的连杆参数，可以建立中间分支各坐标系之间的变换矩阵为 (2-2)利用式(2-2)，可得到动坐标系B相对于定坐标系A的变换矩阵为(2-3)若采用Z-Y-X欧拉角表示动系B相对于定系A的姿态，则动系B的当前姿态可用3次有序转动来描述，如图2-2所示，先绕轴转角，再绕轴转角，最后绕轴转角。则动坐标系B相对于定坐标系A的旋转变换矩阵以欧拉角形式可表示为 (2-4)图2-2 欧拉角和欧拉角速度则动坐标系B相对于定坐标系A的变换矩阵以欧拉角形式表示为 (2-5)其中为动坐标系B原点在定坐标系A的位置坐标，为动坐标系B在定坐标系A的姿态欧拉角。式(2-3)与式(2-5)均是由动坐标系B到定坐标系A的坐标变换矩阵，两个公式是等价的，则可以得到 (2-6)由式(2-6)可知，动平台的姿态参数中绕(动平台法线)的参数为一常数，则动平台绕自身法线转动的角速度为0，因此PRPU分支在机构的运动中，将始终约束动平台绕自身法线方向的转动，该自由度在机床加工中为冗余自由度。当动平台位姿参数确定，约束分支参数可确定。 (2-7)由于中间约束分支PRPU分支反映了动平台在运动过程中的实际位姿，因此可以在中间分支上安装旋转编码器和光栅尺实时测量出变量，通过式(2-6)进行运算得到动平台的实际位姿。该运算算式简单，实时性好，可以取代并联机构常用的繁琐的正解算法来计算动平台的位姿，且能消除正解的多解性，为该机床实现在笛卡儿坐标下的闭环控制提供了可行途径，从而有望进一步提高机床的加工精度。2.2 UPS分支位置反解分析如图2-3所示建立坐标系，定坐标系A在定平台上，动坐标系B在动平台上。若求位置反解，则动平台的位姿参数为已知，设R为动平台姿态的方向余弦矩阵，为动坐标系B原点在定坐标系A中的位置矢量。根据给定机构的各个结构尺寸，利用几何关系，可求出动、定平台各个UPS分支铰链点在各自坐标系中的坐标值。当动平台和定平台铰链点都均布时，机构在初始位置下处于奇异位形，为了避开这种情况，可使动平台铰链点仍然均布，定平台铰链点不均布。图2-3 5-UPS/PRPU五自由度并联机床机构简图定平台上五个铰链点中，第1个铰链点U1沿定坐标系A的Y坐标轴方向，坐标值为，其余4个铰链点Ui为均匀布置，半径为，位置角为，则定平台上铰链点Ui在定坐标系A的坐标可表示为即动平台上5个铰链点为均匀布置，第1个铰链点S1沿坐标系B的Z坐标轴负方向，半径为，位置角为，则动平台上铰链点在动坐标系B的坐标表示为即动平台上铰链点在定坐标系A中位置矢量为则可得到5个驱动杆杆长在定坐标系A中的矢量，即，则 (2-8)其中 用欧拉角表示的方向余弦矩阵R(其中)如下所示(2-9)根据5个驱动杆的动端点坐标和已知的静端点坐标，即可求得各驱动杆长度为 (2-10)其中 由结构参数，通过式(2-10)可以求得5个驱动杆的杆长为 （2-11）根据式(2-11)，可以将机构动平台中心点的位姿，转化为关节空间中的驱动杆杆长，从而实现对动平台的控制。3速度分析3.1 5-UPS分支速度分析动平台的速度反映了刀具的进给速度，当进给速度过大的时候，容易产生一系列不良后果，如刀具磨损加剧甚至于损坏刀具，加工表面质量下降，粗糙度增大，容易产生“积屑瘤”等；当进给速度过低的时候也会出现使加工的表面粗糙度增大、工作效率低等缺点。因此对动平台速度进行分析，规划出理想的加工速度。如图3-1所示，在定坐标系A中，为动平台中心点的线速度；为动平台的角速度；为铰点相对于的矢径；为铰点的速度；为虎克铰点相对于的矢量，为杆的单位方向矢量；为杆的杆长变化速率，即驱动杆驱动速度，其中。图3-1 运动速度分析示意图UPS分支与动平台连接的球铰点Si的速度可表示如下 (3-1)驱动杆的驱动速度可以表示为 (3-2)把式(3-1)带入式(3-2)，可得 (3-3)对于全部5个驱动支链，有 (3-4)其中 雅可比矩阵表示动平台六维速度与关节驱动速度矢量之间的映射关系，称为并联机床的速度传递矩阵，也可以称为各驱动杆速度对动平台六维速度的一阶影响系数矩阵。该雅可比矩阵只适用于由工作空间向关节空间的速度映射，即当给定动平台上刀具的进给速度，可以唯一得到5个驱动支链的驱动速度；而当给定各关节驱动速度，则由式不能得到唯一的动平台六维速度。为保证工作空间和关节空间的一一对应关系，需推导出的速度传递矩阵。当用欧拉角表示动平台的姿态时，如图2-4所示，欧拉角对时间的导数为在Z轴上，在轴上， 在轴上，、和非正交。将、和转换到定坐标系A上，则动平台的转动角速度可以用欧拉角的导数来表示 (3-5)在本机构中，所以，则 (3-6)根据式(3-6)可将动平台的六维速度表示为 (3-7)其中 将式(3-7)代入式(3-6)，可得到 (3-8)其中 为适用于欧拉角转速形式的雅可比矩阵。由于为方阵，当机构非奇异时可以得到其逆矩阵，则有 (3-9)雅可比矩阵描述了5个驱动杆与动平台速度之间的映射关系。在一般位形下，该雅可比矩阵是非奇异的，表明对于该并联机床，关节空间和工作空间之间的速度映射为一一映射，即当给定动平台上刀具的进给速度，可以唯一得到5个驱动支链的驱动速度，同样当给定5个驱动支链的驱动速度时，也可以唯一得到动平台上刀具的进给速度。因此可以在并联机床的工作空间规划刀具在加工过程中的进给速度，通过该矩阵得到在并联机床的关节空间中驱动杆的驱动速度，从而实现对机床加工过程中刀具进给速度的控制。 对式(2-11)求导，可得到各驱动分支的速度公式为 (3-10) 对式(3-10)进行化简处理后，可以得到雅可比矩阵的具体表示形式为 (3-11)其中 雅可比矩阵已经成为分析及优化并联机床性能强有力的工具，通过对雅可比矩阵进行奇异值分解，可以对机构的结构参数进行优化，避免奇异位形的出现，还可以利用其条件数和各向同性作为灵巧性的度量指标等。3.2 PRPU分支构件的运动分析将PRPU分支中的构件按运动副可包含移动副构件1，转动副构件2，移动副构件3，转动副构件4和转动副构件5；lC2表示构件2质心到坐标系2原点的距离，lC3表示构件3质心到坐标系3原点的距离。在前面对PRPU分支的分析中，机构动平台的位姿参数表示为，其中为动坐标系B原点在定坐标系A中的位置坐标，为动坐标系B相对于定坐标系A的姿态欧拉角；约束分支参数表示为。则动平台位姿参数和约束分支参数的关系为式(2-7)所示。对式(2-7)求导，可得到 (3-12)其中 为雅克比矩阵或一阶影响系数矩阵，表示为对式(3-12)进行求导，可得到 (3-13)其中 ，为二阶影响系数矩阵，表示为其中 由式(4-1)和(4-2)可得 (3-14) (3-15)若、已知，则利用速度和加速度递推公式132，可得到中间分支各构件i在坐标系i的速度、加速度及质心处Ci的速度和加速度如下所示 根据PRPU分支的各构件坐标系i相对于定坐标系A的旋转变换矩阵，可得到中间分支各构件质心处在定坐标系A中的速度和加速度表示 (3-16) (3-17)旋转变换矩阵由第2章中的式(2-7)得到 中间分支各构件质心处在定坐标系A中的速度和加速度表示为 质心处Ci的速度和约束分支参数导数的关系可以表示为 (3-18)其中 的具体表示为 将式(3-14)代入式(3-18)，则 (3-19)3.3 UPS分支构件的运动分析 由前面分析可知，UPS分支与动平台连接的球铰点Si的速度可用动平台速度表示，如式(2-17)所示。也可以用UPS分支速度表示为 (3-20)式中 驱动分支的角速度驱动分支的线速度由于驱动分支与定平台通过虎克铰相连，无绕轴转动，则，即，且，即。用点乘公式(4-9)可以得到 (3-21)将式(2-17)代入式(4-10)可得驱动杆的线速度表示为 (3-22)其中 表示矢量的反对称算子矩阵，若， 则用叉乘公式(4-11)可以得到 (3-23)将式(2-17)代入式(4-12)可得驱动杆的摆动角速度为 (3-24)对式(4-11)求导可得驱动杆的线加速度为 (3-25)此处对应于影响系数矩阵其中 为单位矩阵对式(4-12)求导可得驱动杆的摆动角加速度为 (3-26)驱动分支可分为摆动杆和伸缩杆两部分，如图2-6所示，和定平台相连的为摆动杆，其质心为Cui，质心Cui与虎克铰点Ui的距离为lui；和动平台相连的为伸缩杆，其质心为Csi，质心Csi与球铰点Si的距离为lsi。摆动杆构件质心处的线速度和线加速度为 (3-27) (3-28)伸缩杆构件质心的速度和加速度为 (3-29) (3-30)摆动杆构件和伸缩杆构件的角速度和角加速度同为和。经整理，驱动杆2个构件的速度与动平台速度的关系可以表示为 (3-31)其中 (3-32)其中 (3-33)将式(2-17)代入式(4-12)可得驱动杆的摆动角速度为 (3-34)对式(4-11)求导可得驱动杆的线加速度为 (3-35)此处对应于影响系数矩阵其中 为单位矩阵对式(4-12)求导可得驱动杆的摆动角加速度为 (3-36)驱动分支可分为摆动杆和伸缩杆两部分，如图2-6所示，和定平台相连的为摆动杆，其质心为Cui，质心Cui与虎克铰点Ui的距离为lui；和动平台相连的为伸缩杆，其质心为Csi，质心Csi与球铰点Si的距离为lsi。摆动杆构件质心处的线速度和线加速度为 (3-37) (3-38) 伸缩杆构件质心的速度和加速度为 (3-39) (3-40)摆动杆构件和伸缩杆构件的角速度和角加速度同为 和 。经整理，驱动杆2个构件的速度与动平台速度的关系可以表示为 (3-41)其中 (4-21)其中 4 工作空间与奇异位型分析前面已经推得机构的速度传递矩阵式中，方阵即为速度传递矩阵，它仅与 五个参数相关。将的行列式值的绝对值记为 J，那么，求解机构奇异解，就是求解机构在工作空间内使得 J 的值为零或无穷大的位姿。这里先以J值趋于零的情况为例。根据遗传算法，先把寻找机构奇异点的问题转化成最优化问题。如果速度传递矩阵的 J 值为零，那么它的倒数 J /1 将是无穷大。这样一来，只要定义一个很小的常数 A(如 A=0.001)，并令B=1/(J+A)作为问题的适值函数，那么求奇异解的问题就转化成了可用遗传算法运算求解的最优化问题。 在作了上述转化以后，当J等于或非常接近零时，适值函数将取到或趋向最大值 A /1，机构处于奇异位姿。如果通过遗传算法求得的最大适值 与 A /1 有一定的距离，则说明在该工作空间里，没有使得 J 值为零的点；也就是说，工作空间里没有使速度传递矩阵的值为零的奇异解。 通过使用matlab工具箱进行运算得到一系列的结果，部分见表 从表 4-1 可以看到，在工作空间中，存在不少奇异的位姿。这说明了遗传算法的优越性。对于机构工作空间中的奇异点，总的说来，各奇异点基本上都接近各参数对应的边界，各个参数对机构奇异性的影响以的影响最为显著；X 的影响次之；再次是 Y、Z；最后是。在逐步缩小工作空间运行遗传算法的同时，我们也发现，当工作空间缩小到一定范围时，J 的最小值始终不为零，这说明在这样的工作空间内没有奇异点。这个工作空间大致如下：X:854 - 1600(mm)Y:-400 - 400(mm)Z:-400 - 400(mm) :-30。 - 22。 :-30。 - 30。 表4-15 静力学分析由于约束分支PRPU分支对机床动平台产生约束力矩，机床受力不但与外加载荷有关，还和动平台的位姿有关。动平台的位姿参数可以表示为，其中为动坐标系B原点在定坐标系A中的位置坐标，为动坐标系B相对于定坐标系A的姿态欧拉角。图5-1并联机床静力分析简图当 5-UPS/PRPU机构的位姿一定，5个驱动杆杆长l1, l2 ,，l5 确定，中间约束分支也处于确定状态，该机构成为一个稳定的结构。并联机床动平台的受力情况如图5-1所示，在动坐标系B中表示，动平台上作用有六维外力矢，其中F 为动平台所受外力的合力矢，作用点为动平台中心点OB，M为所受外力的合力矩；5个驱动杆上有驱动力fi，这些驱动力是沿杆的方向的，ri为铰点Si相对于OB的矢径；ni为杆Li的单位方向矢量；MC为中间约束分支对动平台的约束力偶矩，其单位方向矢量与动平台法线的夹角为；其中i=1,2,5。则动平台受到以下几个力和力矩的作用：(1) 5个驱动杆沿各自轴线的轴向驱动力，表示为；(2) 中间分支作用在动平台上的约束力偶矩；(3) 外部作用在动平台上的六维外力矢量负载 (5-1) (5-2)当动平台处于静力平衡状态时，动平台所受合力为零，则机床静力平衡方程为 (5-3)即 (5-4) 取动坐标系B为分析坐标系，则静力平衡方程表示为矩阵形式如下 (5-5)其中 称为并联机床动平台与驱动杆以及约束分支之间的静力传递矩阵。取的前5列组成的矩阵，转化到定坐标系A中表示为 (5-6)式(3-7)中的与第2章式(2-20)中的互为转置矩阵，即，这称为速度映射和力映射之间的对偶关系，是机构具有的一种通性。应当注意的是雅可比矩阵用于速度映射和力映射时的作用方向是相反的，前者是从动平台到驱动杆，后者是从驱动杆到动平台。6 结论（1） 通过运用螺旋理论及公式，计算出机构自由度。（2） 求出了各分支位置正反解析表达式。（3） 对机构的位置空间及奇异性分析，求出工作空间。（4） 进行了机构的运动学及动力学分析。 参考文献1 言川宣. 机床结构的重大创新VARIAX机床问世. 世界制造技术与装备市场, 1995, 1: 16-172 晓林. “六条腿”机床技术在英国机床公司的新进展. 世界制造技术与装备市场, 1997, 2: 87-883 J. 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