2020届人教A版-导数及其应用-单元测试(1).docx

导数及其应用一、单选题1曲线 在点处的切线平行于直线, 则点的坐标是()A B. C.和 D.和【答案】C【解析】先设切点坐标，然后对f（x）进行求导，根据曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到f（x）即可得到答案解答：解：设P0点的坐标为（a，f（a），由f（x）=x3+x-2，得到f（x）=3x2+1，由曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，即f（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=-1，当a=1时，f（1）=0；当a=-1时，f（-1）=-4，则P0点的坐标为（1，0）或（-1，-4）故选C2定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f(x)0,f(0)=4，则不等式exf(x)4(其中e 为自然对数的底数)的解集为()A(3,+) B(-,0)(3,+)C(-,0)(0,+) D(0,+)【答案】D【解析】【分析】设gx=exfx，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，即可求解.【详解】设g(x)exf(x) (xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exf(x)f(x)，因为f(x)f(x)0，所以g (x)0，所以g(x)在定义域上单调递增，因为exf(x) 4，所以g(x)4.又因为g(0)e0f(0)4，所以g(x)g(0)，所以x0.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.3函数y=x+3x+2lnx的单调递减区间是A(3，1) B(0,1) C(1,3) D(0，3)【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可【详解】函数的定义域是（0，+），y=13x2+2x=x+3x-1x2 ，令y（x）0，解得：0x1，故函数在（0，1）递减，故选：B【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题4若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，即导函数要么无增减性，要么在直线两侧单调性相反；对于，由图得，在处切线的斜率最小，在处的切线的斜率最大，故导函数图象不关于对称，所以不正确；对于，由图得，在处切线的斜率最大，在处的切线的斜率最小，故导函数图象不关于对称，所以不正确；对于，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数的图象关于对称，所以正确；对于，由图得，原函数有一对称中心，在直线与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线对称，所以正确，故选C考点：导数与函数的关系及函数的对称性的判定.【方法点晴】本题主要考查了函数单调性与其导函数之间的关系、函数图象的对称性的判定与证明，解答此类题目，要注意运用课本定义的灵活运用，是对课本知识的深化和探究，属于中档试题，同时也是易错题，本题的解答中因为函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，即导函数要么无增减性，要么在直线两侧单调性相反，从而根据图象得到结论.5已知函数f(x)=x-2sinx+ex-1ex，则满足f(x-2)+f(x)0的x的取值范围是()A(-,-1)B(-,1)C(-1,+)D(1,+)【答案】D【解析】【分析】先判断fx是奇函数，且fx在R递增，根据函数的单调性和奇偶性得到关于x的不等式，进而可得结果【详解】因为fx的定义域是R，f-x=-x+2sinx+1ex-ex=-x-2sinx+ex-1ex=-fx，故fx是奇函数，又fx=1-2cosx+ex+1ex1-2+20，故fx在R递增，若fx-2+fx0，等价于fx-2-fx=f-x，故x-2-x，解得x1，故选D【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，属于中档题函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现.6设函数fx=ex3x-1-ax+a，其中a1，若仅有两个整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )A-2e,1 B73e2,1C0,2e D73e2,2e【答案】D【解析】设g(x)=ex(3x-1),h(x)=ax-a, g(x)=ex(3x+2)，x-23,g(x)-23,g(x)0,g(x)递增，g(0)=-10,g(-1)-h(-1)=-4e-1+2a0a-2，则不等式f(log2|3x-1|)0，所以F(x)在定义域内单调递增，由f(1)=1，得F(1)=f(1)+2=3，因为f(log2|3x-1|)3-log2|3x-1|等价于f(log2|3x-1|)+2log2|3x-1|3，令t=log2|3x-1|，有f(t)+2t3，则有t1，即log2|3x-1|1，从而0|3x-1|2，解得x1,且x0. 故选：B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如fxfx构造gx=fxex， fx+fx0构造gx=exfx， xfxfx构造gx=fxx， xfx+fx1恒成立，则实数a的取值范围是 ( )A11,+) B13,+) C15,+) D17,+)【答案】C【解析】【分析】首先，由fp+1-fq+1p-q表示点p+1,fp+1与点q+1,fq+1连线斜率，然后得到函数图象上在区间1,2内任意两点连线的斜率大于1 ,从而得到fx=ax+1-2x1在1,2内恒成立，分离参数后,转化成a2x2+3x+1在1,2内恒成立，从而求解得到a的取值范围.【详解】fp+1-fq+1p-q的几何意义，表示点p+1,fp+1与点q+1,fq+1连线斜率，实数p,q在区间0,1内，故p+1和q+1在1,2内，不等式fp+1-fq+1p-q1恒成立，函数图象上在区间1,2内任意两点连线的斜率大于1 ,故函数的导数大于1在1,2内恒成立，fx=ax+1-2x1在1,2内恒成立，由函数的定义域知，x-1，所以a2x2+3x+1在1,2内恒成立，由于二次函数y=2x2+3x+1在1,2上是单调递增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1在1,2上取最大值为15，a15，a15,+，故选C.【点睛】本题主要考查导数在研究函数性质中的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，解答本题的关键是将不等式问题转化为斜率问题，再转化为不等式恒成立问题.11设函数y=f(x)的图像如右图，则导函数y=f(x)的图像可能是下图中的( )【答案】D【解析】试题分析：由原函数可知函数先增后减再增，因此其导函数fx先正后负再正，观察图像可知D正确考点：函数导数与图像12已知函数，则下列说法正确的是( )A.有且只有一个零点 B.至少有两个零点C.最多有两个零点 D.一定有三个零点 【答案】 C 【解析】试题分析：,令=0解得x=2或x=2，所以函数f（x）在或上是增函数，在（2,2）上是减函数，f（2）极大值为f（2）=16+a16，极小值f（2）=16+a0，所以在（2,2）上存在f（x）=0；在x=2时可能使f（x）=0，因此最多有两个零，故选C.考点：1.函数的导数；2.导数的极值；二、填空题13设函数fx=x-a2+2lnx-2a2，其中x0，aR，存在x0使得fx045成立，则实数a的值是A15 B25 C12 D1【答案】15【解析】试题分析：函数f(x)可以看作是动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得y=2x=2，解得x=1，所以曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离最小，最小距离d=25=255，则f(x)45，根据题意，要使f(x0)45，则f(x0)=45，此时N恰好为垂足，由kMN=2a-0a-1=2aa-1=-12，解得a=15.考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，然后由两直线斜率的关系式求得实数a的值.14 = 【答案】【解析】试题分析：。考点：定积分计算。点评：简单题，利用导数公式，求原函数是解题的关键。15曲线在处的切线斜率是 【答案】.【解析】16如图为一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），尺寸如图所示（单位：cm），则这个长方体的对角线长为 cm【答案】【解析】略三、解答题17已知函数f(x)=lnx-axx+1(aR)（）若函数f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为118，求a的值；（）若函数h(x)=f(x)+ax+1，且h(x)在(0,+)上单调递增，求a的取值范围；（）若b,c(0,+)，且bc，求证：2(b-c)b+c0，设q(x)=lnx-2(x-1)x+1，根据函数的单调性证明即可【详解】（）f(x)=1x-a(x+1)2，故f(2)=12-a9=118，解得：a=4；（）h(x)=f(x)+ax+1=lnx-a(x-1)x+1，h(x)=x2+(2-2a)x+1x(x+1)2，由函数在(0,+)递增，得h(x)0在x0恒成立，即x2+(2-2a)x+10，(x0)，故2a-2x+1x，由x+1x2x1x=2，当且仅当x=1时取最小值2，故2a-22，解得：a2，即a(-,2；（）要证明2(b-c)b+c2(bc-1)bc+1，即证lnbc-2(bc-1)bc+10，设q(x)=lnx-2(x-1)x+1，由（）得，q(x)在（(1,+)递增，而bc1，故q(x)q(1)=0，即lnbc-2(bc-1)bc+10，故2(b-c)b+c0),且C(4,2).由此可得,故曲线段OC的方程为y2=x()(II) 设P(t2,t)(),则在矩形PQBN中,|PQ|=2+t,|PN|=4-t2.工业园区面积S(t)=|PQ|PN|=(2+t)( 4-t2)= -t3-2t2+4t+8.导数= -3t2-4t+4,当时,; 当时,.所以S(t)在上为增函数,在上为减函数.所以时,Smax=;此时. 答：当矩形的长为km,宽为km时,园区面积最大,最大值为km2【点睛】本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了导数在最大值和最小值中的应用，设出动点P的坐标，能把矩形面积用动点坐标表示是解答该题的关键所在，此题是有一定难度题目.19（本小题满分13分）已知，函数.（1）当时讨论函数的单调性；（2）当取何值时，取最小值，证明你的结论.【答案】解：（1）单调递减；单调递增；单调递减.6分（2）13分【解析】略20已知函数fx=a2lnx-x2+ax.(1)讨论fx的单调性；(2)若fx0，求a的取值范围.【答案】(1)见解析(2) -2e34a1【解析】试题分析：（1）定义域为(0，+)，f(x)=-(x-a)(2x+a)x,分类讨论a的情况，从而得到fx的单调性；（2）对a分类讨论求出fx的最大值，建立关于a的不等关系，解得a的范围，最后取并集.试题解析：（）f(x)=a2lnx-x2+ax，定义域为(0，+)，f(x)=a2x-2x+a=-2x2-ax-a2x=-(x-a)(2x+a)x1当a0时，x(0，a)，f(x)0；x(a，+)，f(x)0；f(x)在(0，a)上单调递增，f(x)在(a，+)上单调递减；2当a=0时，f(x)=-x2，此时f(x)在(0，+)上单调递减；3当a0；x-a2，+，f(x)0时，f(x)max=f(a)=a2lna-a2+a2=a2lna0，解得0a1；2当a=0时，f(x)=-x20，在(0，+)上恒成立；3当a0时，f(x)max=f-a2=a2ln-a2-a24-a22=a2ln-a2-3a240，即ln-a234，解得-2e34a0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min0，若f(x)0恒成立，转化为f(x)maxg(x)恒成立，可转化为f(xmin)g(x)max.21（本题满分14分）已知函数（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的值【答案】（1）证明见