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5函数的凸性与拐点,返回,任意弧段位于所张弦的上方,任意点的切线在曲线上方,任意弧段位于所张弦的下方，任意点的切线在曲线下方,凸函数,凹函数,设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)，则线段AB间的任意点C(x,y)可表示为：,x,C,注：如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则,则称f为I上的一个凸函数.反之如果总有,则称f为I上的一个凹函数.,相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.,引理f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是：,从而有,因为f(x)为I上的凸函数，所以,整理后即为(3)式.,即,由于必要性的证明是可逆的，从而得到,（充分性）对于任意,则,所以f为I上的凸函数.,同理可证f为I上的凸函数的充要条件是：对于,例1设f为开区间(a,b)上的凸函数,那么它在,证,(a,b)中每一点的左、右导数存在.,由引理得到,则右极限,这就证明了F(h)有下界.所以,定理6.13设f为区间I上的可导函数,则下述,论断互相等价：,证,我们在这里再一次强调，,的切线位于曲线的下方.,于相应曲线段的上方;而它,义是:曲线y=f(x)的弦位,函数f是凸函数的几何意,(本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的,极值点与稳定点是等价的.),例3设函数f(x)为(a,b)上的可导凸(凹)函数.,此下面这个例题自然就产生了.,值总是极小值,可微凹函数的极值总是极大值.因,定理6.14设f(x)在区间I上二阶可导，则f(x),在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为：,解因为,例4,图中所示的M是一个拐点.,定义2,曲线的切线，并且切线的两侧分别,是严格凸和严格凹的，这时称,下面两个定理是显然的.,定理6.15,定理6.16,但根据定义2,点(0,0)却是曲线,这是著名的詹森不等式.,由数学归纳法不难证明：f为I上的凸函数充要,即：,均为正数.,詹森不等式,例5,证,即,又因,故有,再由对数函数是严格增的，就证得,复习思考题,1.两个凸函数的乘积是否是凸函数?,2.两个凸函数的复合是否是凸函数?,3.任选一个凸函数,利用詹森不等式构造出新的,不等式.,的严格凹函数，所以有,例6,例4设函数f(x)为(a
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