2019-2020年高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量教学案(I).doc

2019-2020年高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量教学案(I)一考场传真1. 【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D 2【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线x=对称Cf(x+)的一个零点为x=Df(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】函数的最小正周期为 ，则函数的周期为 ，取 ，可得函数 的一个周期为 ，选项A正确；函数的对称轴为 ，即： ，取 可得y=f(x)的图像关于直线x=对称，选项B正确； ，函数的零点满足 ，即 ，取 可得f(x+)的一个零点为x=，选项C正确；当 时， ，函数在该区间内不单调，选项D错误；故选D.3【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为A3B2CD2【答案】A ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.4【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选B. 5【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】 6【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 .【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：，由自变量的范围：可得：，当时，函数取得最大值1. 7【2017课标1，理17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长. 8【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求.【解析】(1)由题设及，故.上式两边平方，整理得，解得(舍去)，.（2）由得，故.又，则.由余弦定理及得：，所以b=2.9【2017课标3，理17】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积.二高考研究【考纲解读】1.考纲要求考纲要求：三角函数：了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值证明；掌握三角函数的图像与性质，了解函数的图像，了解参数对函数图像变化的影响；掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题.平面向量：掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件. 【命题规律】(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查yAsin(x)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档（3）三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用.（4）解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中，既有选择题、填空题，还有解答题（5）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.3学法导航 1. 已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3. 函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题4. (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解5关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口6(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系7数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算8在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题一基础知识整合基础知识：一基础知识整合1三角函数的图象及常用性质(表中kZ)ysin xycos xytan x图象增区间，减区间无对称轴xkxk无对称中心(k，0)2.三角函数的两种常见变换(1)ysin x ysin (x)yAsin(x)(A0，0)ysin xysin(x)yAsin (x)(A0，0)3正弦型函数yAsin (x)的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x轴垂直的直线；正切型函数yAtan(x)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.4三角形面积公式：(1)Saha(ha为BC边上的高)；(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B；(3)S(R为ABC外接圆的半径)；(4)S2R2sin Asin Bsin C(R为ABC外接圆的半径)；(5)S ；(6)S(abc)rpr(p(abc)，r为ABC内切圆的半径)5四边形面积公式：Sl1l2sin (l1，l2为对角线长，为对角线夹角)6正弦定理及其变形：2R(2R为ABC外接圆的半径)7余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C.8常用边角互化方法：sin A；sin B；sin C；cos A； cos B；cos C.9平面向量中的四个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影10平面向量的两个重要定理：(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底11两非零向量平行、垂直的充要条件：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)若abab(b0)；abx1y2x2y10；(2)若abab0；abx1x2y1y20.12平面向量的三个性质：(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .13平面向量的三个锦囊：(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12 (其中121)(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是()(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心G.二高频考点突破考点1 三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，是角终边上的一点，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】C【例2】已知，则 .【答案】【解析】【规律方法】1、利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴.2. 正、余弦三兄妹“、”的应用与通过平方关系联系到一起，即，因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.的求值技巧：当已知，时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有或，这两个公式中的其中一个平方后即可求出，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出的值或者把、与联立，通过解方程组的方法也可以求出的值3.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有: 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解；的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形 （2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.4温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.5. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有：与；与；与等. (2)常见的互补关系有： 与;与等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题.6. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.7提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整数倍去掉后再进行运算，如.【举一反三】已知为锐角，且，则（ ）A B C D【答案】A【解析】已知为锐角，故选A. 考点2 三角函数的图像与性质【例3】【四川省内江市2018届第一次模拟】已知函数，则A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称【答案】C【例4】【广西玉林市2018届期中】已知的三个内角所对的边长分别是，且，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）A. B. C. D. 【分析】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.【答案】D【规律方法】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在其定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)B的形式，然后再求解(2)对于形式yasin xbcos x型的三角函数，要通过引入辅助角化为y sin(x)(cos ，sin )的形式来求(3)对于yAsin(x)函数求单调区间时，一般将化为大于0的值【举一反三】【内蒙古包钢2018届月考】函数的部分图象如图所示,则的单调递减区间为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象可得周期T=,由图象可知,其中一个递减区间为,所以的单调递减区间为.故选：D考点3 三角恒等变换【例5】若，则的值为（ ）A B C D【答案】D【规律方法】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.(3)公式变形使用：如,等 (4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:；，.(5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：等.（7）辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定，的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.如等.2.题型与方法:题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如， 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如()，等题型二，三角函数式的化简与证明：三角函数式的化简：常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等.（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明.题型三. 辅助角公式：函数(为常数)，可以化为或，其中可由的值唯一确定【举一反三】【四川省内江市2018届第一次模拟】A. B. C. D. 【答案】B【解析】故选B 考点4解三角形【例6】【安徽省淮南市2018届高三第四次联考】在中，角的对边分别为，且， ，则角等于()A. B. 或 C. D. 【答案】A【规律方法】 1.在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角(或直角)，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口【举一反三】【四川省成都市2018届一诊】已知中，角的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【解析】(1) ，由正弦定理可得，又（2）由余弦定理可得，又 的面积为考点5 解三角形在实际生活中应用【例7】 “郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）当返回舱距地面1万米的点的时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东60方向，仰角为60，救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为30，救援中心测得着陆点位于其正东方向（1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离分析： （1）在中，在中， 万米；（2） 万米 【规律方法】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的把握解三角形应用题的四步：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用【举一反三】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的.位于该市的某大学与市中心的距离，且.现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学.其中，.（）求大学与站的距离；（）求铁路段的长.（II），且为锐角，在中，由正弦定理得，即，又，在中，由正弦定理得，即，即铁路段的长为.考点6 平面向量的线性运算【例8】【2018辽宁庄河两校联考】已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 分析：一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量，再根据向量的平方运算，求出，令其小于半径即可求出【答案】B【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式即可得1，2的值向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：为的重心，特别地为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；等于已知AD是中BC边的中线.为的垂心；是ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心. 的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线).，为的外心.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形中，设，则有以下的结论：通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若,可判断四边形为平行四边形；若对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；对角线垂直.则平行四边形为菱形；说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).【举一反三】【内蒙古呼和浩特市2018届质调】已知是平面上不共线的三点， 是的重心，动点满足： ，则一定为的A. 重心 B. 边中线的三等分点（非重心）C. 边中线的中点 D. 边的中点【答案】B 考点7 平面向量的数量积【例9】如图，在中，则的值为（ ）A1 B2 C3 D4分析：本题考查向量的数量积的定义和性质，同时考查诱导公式和正弦定理的运用，是关于向量数量积的常考题型，属于中档题；运用向量的数量积的定义，结合条件可得，再由诱导公式可得，结合三角形中的正弦定理和直角三角形的锐角三角函数的定义，计算即可得到所求值.【答案】C【规律方法】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用|计算;思路2，利用计算.3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律.4.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【举一反三】【内蒙古呼和浩特市2018届质调】在中， ， ， 是所在平面上的一点，若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图， . .选A.考点8 平面向量和三角函数的综合问题【例10】【2018河北衡水武邑中点二调】已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为_分析：解题时先由正弦定理把ABC的边a，c用含